#第3章315知能优化训练

1、知能优化训练 同步测&1 已知 a= (1, - 2,1), a+ b= (- 1,2, 1)，贝U b等于()A (2, 4,2)B. ( 2,4, 2)C ( 2,0, 2)D . (2,1 , 3)解析：选 B.b= (a + b) a = ( 1,2, 1) (1, 2,1)= ( 2,4, 2).2已知 a= (1,0,1), b= ( 2, 1,1), c= (3,1,0)，则 |a b+ 2c|等于()A. 3 10B. 2 10C. 10D. 5解析：选 A. a b+ 2c= (1,0,1) ( 2, 1,1) + (6,2,0) = (3,1,0) + (6,2,0

2、) = (9,3,0), |a b+ 2c|= 310.3. 已知空间三个向量a= (1, 2, z), b= (x,2, 4), c= ( 1, y,3)，若它们分别两两垂直，贝 H x =, y=, z=.解析： a丄b,x 4 4z= 0./ a丄 c, 1+ ( 2)y+ 3z= 0.T b丄c, x+ 2y 12= 0, x= 64, y= 26, z= 17.答案：64 26 174. 已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2, 1,2)、(4,5, 1)、( 2,2,3).求 点P的坐标，使：AP= *AB AC).解：Ab= (2,6 , 3), AC= ( 4,3,1

3、).设 P 为(x, y, z),则 AP = (x 2, y+ 1, z 2),1 ->->->3T (AB AC) = AP = (3, 3， 2).1 1 x= 5, y= 2，z= 0,则点 P 坐标为(5, 2，0). 课时训缘一、选择题1. 已知向量 a= (4, 2, 4), b= (6 , 3,2)，则下列结论正确的是 ()A. a+ b= (10, 5, 6)B. a b= (2 , 1, 6)C. a b= 10D. |a|= 6解析：选 D.a+ b= (10, 5, 2), a b= ( 2,1, 6), a b= 22, |a|= 6,. A、B、C

4、 错.2. 若a = (a1,a2,a3),b=(b1,b2,4),则詈=詈=詈是a / b 的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件a a aa1 =入 b解析：选 A.当 b1 b2 b3 0 时，71= a2= 73= X? $? a / b;b1 b2 b3皿=入临=入3当b b2 b3= 0时，不妨设b1= 0,则"a1”无意义.3. 已知向量 a= (1,1,0), b= ( 1,0,2), 且 ka + b与2a b互相垂直，则 k的值是()137%解析：选 D. a = (1,1,0) , b= ( 1,0,2), ka+ b

5、= (k , k,0) + ( 1,0,2) = (k 1, k,2), 2a b= (2,2,0) ( 1,0,2) = (3,2 , 2). / (ka+ b)丄(2a b), 3(k 1) + 2k 4= 0,即 k = 7.54.已知A点的坐标是（一1, 2,6） , B点的坐标是（1,2 , 6） , O为坐标原点，则向量 OA与 OB的夹角是（）nB.23 nD运解析：选 C.cos OA , OB> = 0 乎 |OA|OB|5.1 4 361 + 4 + 31+4+36OA , OB > = n.若 a = (2x,1,3) , b= (1, 2y9),且 a 与

6、b 为共线向量，贝U ()1 1x = 2 , y= 1x=1,y=1B.C - x= 1, y=3_ 2f13D- x =-6, y= 3解析：选C. Ta = X b入 R), (2x,1,3)=(入2yX 9 X( X R).1由 9X= 3，得 X= 3. x=16.二2x=扌-又36.A ABC 的顶点分别为 A(1, 1,2), B(5, 6,2), C(1,3, 1)，贝U AC 边上的高 BD 等 于()_A. 5B. 41C. 4D. 2 5解析：选 A.设 AD = XKC(入 R) , D(x , y , z), 则(x 1 , y+ 1, z 2) = X0,4 , 3

7、), x= 1, y= 4X 1 , z= 2 3X BD = ( 4,4X+ 5, 3”.又 AC = (0,4 , 3),4 4(4 W 5) 3( 3 X= 0. X= 4.-4，5，?.|BD|= J -42+ 5 2 +5 Bd =二、填空题7.已知 ABC 的三个顶点为 A(3,3,2)、B(4, - 3,7)、C(0,5,1), M 为 BC 的中点，则 |aM|解析：M(2,1,4) , Am = (- 1,- 2,2).+ 4+ 4= 3.答案：38在 ABC 中，已知 AB= (2,4,0), BC = (- 1,3,0)，则/ ABC =.解析： BA= (-2, - 4

8、,0), BC= (- 1,3,0), BA BC = 2- 12+ 0 =- 10,|bA|= 2 晶|BC|=亦 cos BA, BC>BA-bC =- 10=-2|BA| |BC| 5102/ ABC = 135°答案：135°9已知点 A, B, C的坐标分别为(0,1,0), (- 1,0,- 1), (2,1,1)，点P的坐标为(x,0, z), 若PA丄Ab, PA丄AC，则点p的坐标为.解析：由已知得pA= (-x,1,- z),aB = (- 1,- 1, - 1), AC = (2,0,1).又PA丄Ab, PA丄AC, Pa Ab = x-1 +

9、 z= 0,PA AC = - 2x + 0 - z= 0,即 x+ z= 1,2x+ z= 0, x=- 1, z= 2,点P的坐标为(一1,0,2).答案：(-1,0,2)三、解答题10. 已知向量 a = (4, - 2,- 4), b= (6, - 3,2).求：(1) |b|; (2)(2a + 3b) (a - 2b).解：(1)|b|= b2= 62+ - 3 2+ 22= 7;2 2(2) (2a+ 3b) (a- 2b)= 2a + 3a b-4a b- 6b=2X 62-22- 6X 72=- 244.11. 已知向量 a= (1, - 3,2), b= (- 2,1,1)

10、,以及点 A(-3,- 1, 4), B(-2,- 2,2).(1) 求 |2a+ b|;(2) 在直线AB上是否存在一点 E,使(DE丄b(O为原点).解：(1)2a + b= (2, - 6,4) + (- 2,1,1)= (0,- 5,5),所以 |2a+ b|=02+ - 5 2+ 52= 5 2.(2)OE = OA + AE = OA+ tAB= (-3, - 1,4) + t(1, - 1, - 2) = (- 3+ t, - 1-t,4- 2t)(t R), 若OE 丄 b,则Oe b= 0,即2(- 3+1) + (- 1-1) + (4- 2t)= 0,解得 t=f,故存在

11、点 E,使OE5丄b,此时E点坐标为(一6，-严，2).55512.如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi 的底面 ABC 中，CA = CB = 1,Z BCA = 90 °棱AAi= 2, M、N分别是AiBi、AiA的中点.(1)求BN的模；求异面直线 BAi与CBi所成角的余弦值；求证：AiB丄CiM.C解：以C为坐标原点，以CA、CB、CCi的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角 坐标系Cxyz,如图.(1) 由题意得N(i,O,i), B(O,i,O),|BN|= 'i2 + i 2+ i2= 3.(2) 依题意得 Ai(i,0,2), B(O,i,O), C(0,0,0), Bi(0,i,2), Ci(0,0,2). BAi= (i, i,2), CBi = (0,i,2),BAi CBi= 3.- |BAi|=6, |C