03年试题及答案

1、2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)、填空：(本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。)1.设对一切实数 x和y,恒有f(x + y) = f(x) + f(y),且知/ (扼)=1则sin xln(l + t)dt设 f(x)="2x-e-2ev + l3 .设/(x,y,z) = ez yz2 ,其中z = z(x, y)是由方程x+y + z + xyz =。所确定的隐函数，则%2)24 =r _1 V _157 _1J (或1 3_1-2. _ = 14 4 4一 在点M (1,1,1)处的切线方程为 Jx-2y-+ z = 0 ,x-2y + z

2、 = 0二、选择题：(本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确 项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。)1.当尤一 0时，下列无穷小量 VI + tan x - VI + sin x ；从低阶到高阶的排列顺序为 (D(A)；(B)；(C)；(D)。cJ*"' ； =；°，在“。处存在最高阶导数的阶数为，B2-设 /(%)=(A) 1 阶;(B) 2 阶；(C) 3 阶；(D) 4 阶。3.设函数y = f(x)在x=l处有连续的导函数，又1血七重=2,则了 =1是(B )H x-1(A)曲线y

3、= /(x)拐点的横坐标；(B)函数y = /(x)的极小值点;(C)函数y = /(x)的极大值点;(D)以上答案均不正确4.设函数f,g在区间口,/?上连续，且g(x) v /(x) v m (秫为常数)，则曲线y = g(x),y = f(x),x = a和x = b所围平面图形绕直线 y = m旋转而成的旋转体体积为(A) 7M2m - /(x) - g(x)/(x) -g(x)dx ；(B) 勿,2m -/(x) + g(x)f(x) - g(x)dx ；(C) 7rAm-f(x) + g (x) f(x)-g (x)dx ；(D)g(x) f (x) - g(x)dx o5.设S

4、:亍+开+亍=Q2(ZZ0),§为S在第一卦限中的部分，则有(B) jjyds = 4 jpds ; sSi(C) jjzds = 4 jpz/s ；SS三、?, b, c为何值时，下式成立(D)卜.灿=4严sot2dtlim - i sin x-ax ji +/(本题6分)解：注意到左边的极限中，无论。为何值总有分母趋于零 于是可知必有b=0,当8=0时使用诺必达法则得到lim 1t2dti °in x-ax因此要想极限存在，分子必须为无穷小量x2=lim J1 + 产(cosx-6z)vl + x 由上式可知：当 x 0时，若则此极限存在，且其值为0;若。=1,则.t2

5、dtx2lim - =|im= -2xt sin x - x2+ 广 (cos x-1)71 + X2 综上所述，得到如下结论：Z? = 0, c = 0；或q=i, b = 0, c = 2(Px)Xa,CoSYy-q,其中仞(对具有连续二阶导函数，且仞(0) = 1 。x = 0确定的值，使/(工)在点x = 0处可导，并求/ z(x) o讨论广在点工=0处的连续性。(本题8分)? z、. a(x)-cosx . (p (x) + smX ,/c、lim f(x) = hm = lim = (p (0)xaOio Xio 1*即当Q = 0(O)时，f(x)在点x=o处连续。当壬0时，,_

6、 仞'3) + sin xx -仞-cosxJ =j；X当X = 0时，a(X)-COSX ,f(0) = lim /(X)-/(0) =lim = 1 血风)-cos : -W'(。)XT x 0 XTOXXTX=lim 仞 3兰sin x_ _顼(0) = aam + cosx = J_ 十 xio 2xio 22故：仞'( 工)+ sin xx - S(x) - cos xf 3) = < X力口 0) + 1，x = 0(2)因为lim f?) = lim 5 (x)+ sinxx 伊 3) + cosxXTOX->0子.69z(x) + sin x

7、 + A(px) + cosx- (px) - sin x a(x)+ cosx 仞"(0) + 1=lim=lim -io2X1022所以，f(x)在点X = 0处连续。五、设正值函数/'3)在1,+8)上连续，求函数 F(x)=X-+ lnx-+ lnd f(t)dt的最小值点。(本题6分)土 E+mjf/W-作 +inj解：-+ lnxf (x)+ln xf (x)=十一Fx)=注意到：在 |,+00)±x)>0,因此,当X>1时，力>0。=-"2 1命：F (x) = 0,得+一 = 0,解此方程得到唯-驻点 X =20X Xf

8、y(x)dx o (本题 6 分)f y(x)dx = xy(x)A- xyx)dx2y(l)- xarctan(x-l) rfx六、设 yx) = arctan(x-l)2,且 y(0) = 0,求解：22y(1) _ j_ 1)arctan(x-V) dx- arctan(xd) dx1 7T 1畀 1 7T 1ln(l + z/2)=2 4 40 8 4In 2y(l) - jA(x-l)arctan(x -l)2dx- y(1) - y(0) = -A(x-1)arctan(x -l)2dx命 x l=r、f/arctanf2 力 一 ？ £ arctan 2) = ? ar

9、ctan wt/w1 LI f 0 2AiuM=m arctanw du =2 2u _ xciyly七、设变换v = x + 2jy解：计算一、二阶偏导数327.,把方程ox327 1 3/y oy 2 dy3Az=0化为dudv=0,试确定a。(本题7分)dz dz dz-=1- , dx du dvdz _ dzQ * 3z 1dy du 2yy 为 Ayd2Z _ q2Z q d2Z 2d2Z3x du dudv 3vdz丘 I 2 'aA +a?/2a z顼-27vz小，口 d2Z代入方程-d2Za%2：=0,得到dy2 2 dyd2zd2z 1 dz箜+(2-a)2 2 2

10、 vdx dy 2 dy4 J du20,dudv于是有J5 =，所以 a = 2。2 。壬 02xydx + Q(x, y)dy与路径无关八、设函数 Q(x,y)在x 0 _y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分0,1)XI,z)、并且对任意的 t 恒有 2xydx + Q(x, y)dy = I 2xydx + Q(x, y)dy ,求 Q(x,y)。(本题 7 分) :o,o)Jo,o) ?.解：由曲线积分与路径无关知dQ_d _=(2xy) = 2x , ox dy所以Q3,y)=+ C(y),其中为待定函数。又2xydx + 2(x, y)dy = 尸 + C(y)iy =户 + C(

11、y)dy ；AAIxydx + Q(x, y)dy = J 1 + C(y)dy = t+ c(y)dy。根据题设，有户 + ( C(y)dy。+ J C(y)dy ,上式两边对f求导，得到2t = I + C(t),于是知 C(t) = 2t-1,即 C(y) = 2y 1,故 Q(x,y) = x2 +2y-1,九、设函数/?()具有二阶连续导函数，且/(0) = 0,f，(0) = 0,f(0)>0o在曲线J =/(x)上任意取一点(x,f(x)(xAO) 作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求lim对也。(本题8分)5心)解：过点(x,f(x)的曲线y=f(x)的切线方程为：

12、y-f(x) = f ,(x)(X-x),注意到：由于广(0) = 0,f(0)>0,所以当时广3)。0。因此，此直线在 x轴上的截距为&在0与X之间；olim_m = lim 业匚也1 ° Xxf (x)4 = x-。且 lim / = lim x - lim = 0。' f (x)10 XT。XTo f (x)利用泰勒公式将/*3)在X°0点处展开，得到f(x) = /(0) + f(O)X +1 国)X2二：广(看)X2,类似可得：/ ( )= ?氏在0与之间。代入得X-/7A2) A2lim住=lim % 3苗，项心，"lim E =

13、广0)= J_i °IM+* ) 一 (° )+f(o) 2对于任意给定的正数a和力，在开区间(0,1)内存在不同的§和们 使得a+b o(本题7分)证明：取数(o,i),由连续函数介值定理知，存在(0,1),使得f(c)= ； /。在区间o,a与Mi上分别应用拉格朗日中值定理，有/( )= / 顼 C)二或 C < 77 < 11-C1-C由于/e (0,1)所以即广(沼0,广()黄0。从而Q bub ciC(zz) + b llC)bu + bu ciu)1 1 f(S) f()A 1A(l-A)A(I-A )_C 1-Cnh注意到：若取=，贝01

14、 =，并且，1 #6(0,1),代入得a+b a+baba、b _ a+b f(S)广()b十一、设F(x) = -(I + e-1)+ f (xT)e-"故，试证明在区间-1,1 F(±有且仅有两个实根。(本2X 题7分)证明：dt=-|(l + e-1) + x e_,2f: dtte dt +dt=!(I + eT) + ige"力 + _xge "力 + ?e" . fe"erdt + xAe-A dt=e-1 + ex2 + xe" dt + 处 e" dt + 2x P Qr dt2 2J-i JJ)=

15、e-1 + ex2 + xe-/2 dt-x fez dt + 2xe" dt2 2J-iJ)=-? + e-+ 2 小 W又注意到：F(0) = |-je-S0;2e2 2ee-r dt = 2 £ dt >0,(当 x>0 时)。F(x)为F?) = 2xe-' + 2xe-+ 2 因此，函数 F(x)在闭区间0,1有且仅有唯一一个实根；又偶函数，所以F(x)在闭区间-1,0上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数F(x)在闭区间上有且仅有两个实根十二、设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明-1+ yfy dxdy其中：Z)为圆域"亍+殳a。(本题8分)证明：取极坐标系，由！ r '册彳得到堂=堂 .力+堂.少 =Acos 研+ 3r 3r dy 3r 3x将上式两端同乘 r,得到 尸或=Turcosrsin 对;+ yfA。dr dx于是有y = r sin z? » sin ”I = f矶 dxdy ="'汕加 =+ y2&am