06平面向量学案

1、专题22 平面向量概念和运算%i.向量的概念序号名称定义向量向量的模零向量单位向量平行向量（共线向量）相等的向量相反的向量向量的夹角%i.向量的加法与减法翥法三角 形法则已知向量a , b,在平面任取一点 A,作向量AB = a , BC = b,贝U向量就是a与方的和，记作 a + b,即向量a + b =CAaB平行 四边 形法则已知两个不共线向量 a, b,在平面任取一点 A,作向量ABAa , AA = b,以AB与AD为邻边作平行四边形 ABCD ,贝9向量就是a与方的和，即向量 a + A=.AaB运算律向量的减 法已知向量。，b,在平面任取一点 A,作AB = a , AC =

2、b ,则向量就是0与力的差，记作 a-b ,即向量a-b =CAaB例1.若0、E、F是不共线的任意三点，则以下关系式中成立的是（）A.EF =OF + OEB.EF =OF-OEC.EF =OF + OED.EF =-OF-OE例2.在平行四边形 ABC冲，BC + DC + BA等于（）A. BCB. DAC. ABD. AC例3.如果0、力都是单位向量，则的取值范围是（）B.（ 0,2）A. （1,2）%1. 实数与向量的积1. 实数与向量的积：实数 2与向量0的积是一个向量，记作如，长度与方向规定如下%1 | 如=；%1当人0时，如与。的方向；当人 vO时，如与0的方向；%1当人=0时

3、，Aa =.例5.如图，。是 AABC的边AB上的中点，则向量 CQ等于（）A. -BC + -BA-BCBA 2BC BA2D. BC + -BA2例 6.在 ABC 中，AB = c, AC = b.若点。满足 BD = 2DC ,贝U AD=()例7.设尸是AABC所在平面内的一点,A. PA + PB = 0B. PC-bPA = OC. PB + PC = 0D. PA + PB + PC = 0BC + BA = 2BP,贝9()2.运算律： =；例8. | (2a + 66 ) -3&等于()A. a -2bB. a-b3.两个向量平行（共线）的充要条件:（4 + ） Q

4、=;人（+ 方）=C. aD. b向量力（0主0）的充要条件是，使得.例9.已知非零向量乌、° ?不共线，设向量a = 3e -4e2 , b = 6exA-ke2,且0 力，则A：的 值为（ ）A. 8B. -8C. 3D. -3例10.已知0、方是不共线的向量，AB = Xa + b , AC = a十曲，（A, e R），那么A, B,。三点共线的充要条件为（）A. 人 + / =2B. 人一日=1C. 人 /d = 1D. 2/ = 1%1.向量的数量积：1. 向量的数量积：己知两个非零向量0与研则数量 叫做0与力的数量积（内积），记作 a b，即a b=?2. 运算律： a

5、 b = b a ； （如），=九（。方） =。（幼）3（ q + d）c= u c + ? c例11.己知向量。与力的夹角为120。，且同=同=4,那么的值为；b2a + b ）的值为例12.己知向量0、力满足力）？（ 2 " +力）=一 4，且同=2, ” |=则g与力夹角的余 弦值等于3.性质:设。、方都是非零向量，。是a与3的夹角，则：%1 ea=ae =|a|cos 0 （。是与力方向相同的单位向量）%1 a-Lb。a b = O%1 0或者 |。丨=J （、）2%1 cos<9=.向量B在向量a方向上的正射影的数量为同cosO =人例13.在AAfiC中，“A3?

6、3C = 0”是“ AABC为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例14.若a与b-c都是非零向量，贝 ij "a* = a ? c"是"aL。一 c）"的（A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件，C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例15.已知|a| = 4，同=3, a，方的夹角为60。，贝川+方|16.向量a ,满足=1, a-b = A, a与方的夹角为 60。，则” | =例17.若同=1,洌=2, c = a + b ,若c丄a ,则向量0与力的夹角为专题23平面向量的坐标运

7、算%i.平面向量基本定理：如果G,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有 且只有一对实数4、%，使 4 =.%1. 平面向量的坐标1. 平面向量的坐标：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量/作为基底，对于 一个向量a，有且只有一对实数 x、y,使得a = xi + y- j ,则称(x,y)为向量a的 坐标，记做a = (x, y).2. 向量a的坐标与起点为原点的向量是-对应的关系，艮L向量 a = (x, y) < 一对应 > 向量。4 < 一对应 > 点 A( x, y)%1.平面向量的坐标运算1.设 a = (A- ,y,),=(扬

8、见)，人 eR，贝 a + b = ；? a-b =；%1 Aa =. a-b=.13例 1.已知向量 a = (1,1),=(1,-1),贝 -a- bA.例 2.设向量 a = (-1,2), 3 = (2,-1),贝 lj (a />)(? + 等于.2. 若 a = (x, y),贝 J |a| =；例3.设向量a与方的夹角为们且a =(3,3), 2b-a = (-U )，则cos6?=.例4.已知向量a =(4.2),? = (1,-1),则力在a方向上的正射影的数量为3. 若点 A (x ( , , B (%2,y2)，则 AB =,|AB=.(两点间距离公式)例5.已知即

9、C的三个顶点的坐标分别为A (-1,0) , B (l,2) , C (0,c)，且 ABLBC,那么c的值是()A. -1B. 1C. -3D. 3例 6.已知点 A (-1,2 )、3 (2,3)、。( 3,-1)，若 AD = 2AB-3BC ,则点。的坐标为%1.向量平行和垂直的充要条件设向量 <1 = 3，叫)，ft = (X2,y2), a/bo ； a_LZ>=.例7.已知向量a = (2,3) , Z> =(x,6)，旦allb,则实数x等于.例8.已知a = (l,2)，方 = (-3,2)，且 ka + 2b与2a 4b平行，则实数#等于.例9.已知向量a

10、 = (-2,1) , /> = (0,1)，若存在实数人使得bLAa + b )，则实数人的值为？例 10.若 | a | = 2A/13 , Z> = ( 2,3),且 a_LZ>,则 a 的坐标是%1.向量的应用例 11.已知向量 a - (3,4) , b - (since,costz)，且 a >,则 tan (z 的值为例12.设向量a = (1,0 ) , Z? = ( cosasinO),其中0蜀5，则的最大值是(OC-Q4)= 0,贝U AASC例13.若0是AASC所在平面内的一点，且满足(30 + OC)定是( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形例14.设。是 A3C所在平面内一点,D为BC边中