高考数学复习：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题热点一定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.例1(2019·汕尾质检)已知P(0,2)是椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点，C的离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请

2、说明理由.解(1)由题意可得解得a，b2，c，椭圆的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，可得(3k22)x26ktx3t2120，36(kt)24×(3k22)(3t212)>0，即24(6k2t24)>0，则x1x2，x1x2，由l1与l2的斜率之和为4，可得4，又y1kx1t，y2kx2t，2k2k4，化简可得tk2，ykxk2k(x1)2，直线AB经过定点(1，2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xm，A(m，y1)，B(m，y2)，又点A，B均在椭圆上，A，B关于x

3、轴对称，y1y20，m1，故直线AB方程为x1，也过点(1，2)，综上直线AB经过定点，定点为(1，2).跟踪演练1(2019·攀枝花模拟)已知抛物线C：y22px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.(1)求抛物线C的方程和实数t的值；(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解(1)由抛物线定义可知|PF|45，解得p2，故抛物线C的方程为y24x，将P(4，t)(t>0)代入抛物线方程解得t4.(2)以MN为直径的圆一定过点F

4、，理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为xmy1(mR)，代入抛物线C：y24x，化简整理得y24my40，则由(1)知P(4,4)，所以直线PA的方程为y4(x4)(x4)，令x1得y，即M，同理可得N，kMF·kNF·1，MFNF，故以MN为直径的圆过点F.(也可用·0).热点二定值问题求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2(2019·闽粤赣三省十校联考)已知椭圆C：1(a>b>0)经过点(0，)

5、，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0).(1)求椭圆C的方程；(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M，N两点的横坐标之和为常数.(1)解因为椭圆经过点(0，)，所以b，又因为e，所以，又c2a2b2，解得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P，M，N三点坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为yyPk1(xxP)，由方程组消去y，得(34k)x28k1(k1xPyP)x4kx8k1xPyP4y120，由根与系数的关系可得xMxP，故xMxP，同理可得xNxP，

6、又k1·k2，故xNxP，则xNxPxM，从而xNxM0，即M，N两点的横坐标之和为常数0.跟踪演练2(2019·揭阳模拟)已知点P在椭圆C：1(a>b>0)上，椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A，B两点，且满足|OA|2|OB|2的值为常数(其中O为坐标原点).求k的值以及这个常数；写出一般性结论(不用证明)：斜率为定值k的直线l与椭圆1(a>b>0)交于A，B两点，且满足|OA|2|OB|2的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？解(1)由点P在椭圆上得1,2c2，3b22a22a2b2，c1，又a2

7、b2c2，3b22(b21)2(b21)b2，2b43b220，解得b22，得a23，椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykxt，联立1，得(3k22)x26ktx3t260，24(3k2t22)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，又y2，y2，|OA|2|OB|2(xy)(xy)(xx)4(x1x2)22x1x244×4，要使|OA|2|OB|2为常数，只需18k2120，得k2，|OA|2|OB|2×45，k±±，这个常数为5；k±，这个常数为a2b2.热点三存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出

8、问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3已知椭圆C：1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x3y120的距离为3，椭圆C的离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由已知椭圆C的方程

9、为1(a>b>0)，设椭圆的上焦点F1(0，c)，由F1到直线4x3y120的距离为3，得3，所以c1，又椭圆C的离心率e，所以，又a2b2c2，求得a24，b23.椭圆C的方程为1.(2)存在.理由如下：由(1)得椭圆E：1，设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)×12256k248>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在点P(0，t)满足条件，由于，所以PM平分APB.所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.即0，即x2(y1t)x1(y2t)

10、0.将y1kx11，y2kx21代入上式，整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k·0，整理得3kk(1t)0，即k(4t)0，因为k0，所以t4.所以存在点P(0,4)，使得.跟踪演练3(2019·凉山模拟)椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且·1，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的方程为1(a>b>0)，半焦距为c.则A(a,0)，M(0，b)，F(c,0)，(c，b)，

11、(ac,0)，由·1，即acc21，又，a2b2c2，解得椭圆的标准方程为y21.(2)F为MPQ的垂心，MFPQ，又M(0,1)，F(1,0)，kMF1，kPQ1，设直线PQ：yxm(m1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线方程代入y21，得3x24mx2m220，令(4m)212(2m22)>0，解得<m<，则x1x2，x1x2，又，(1x1，y1)，(x2，y21)，x2x1x2y1y2y10，即(1m)·(x1x2)2x1x2mm20，(1m)·2·mm20，即3m2m40，解得m或m1(舍去)，存在直线l：yx使F为

12、MPQ的垂心.真题体验(2019 ·全国，理，21)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明设D，A(x1，y1)，则x2y1.由yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10，4t24>0，于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2

13、)12t21，|AB|x1x2|·2(t21).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2，因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与坐标为(1，t)的向量平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.当t0时，S3；当t±1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.押题预测已知抛物线E：y24x，圆C：(x3)2y21.(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；(2)在(1)的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使AMOBM

14、O(O为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0)，当直线的斜率不存在时，过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k，则所求的直线方程为yk(x1)，即kxyk0，所以圆心到直线l的距离为d，当直线l与圆相切时，有d1，即1，解得k±，所以所求的切线方程为y(x1)或y(x1).(2)由(1)知，不妨设直线l：y(x1)，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立方程组得x214x10，显然>0，所以x1x214，x1·x21，假设存在点M(t,

15、0)使AMOBMO，则kAMkBM0.而kAM，kBM，所以kAMkBM0y1x2y2x1(y1y2)t02x1x2(x2x1)(x1x22)t0，即214(142)t0t1，故存在点M(1,0)符合条件.当直线l：y(x1)时，由对称性易知点M(1,0)也符合条件.综上可知在(1)的条件下，存在点M(1,0)，使AMOBMO.A组专题通关1.已知点(1，)，都在椭圆C：1(a>b>0)上.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q(异于顶点)，记椭圆C与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y4上.(

16、1)解由题意得得故椭圆C的方程为1.(2)证明由题意可设直线l的方程为ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(y1，y2±2).联立整理得(k22)x22kx30.所以x1x2，x1x2，则2kx1x23(x1x2).由题意不妨设A1(0,2)，A2(0，2)，则直线A1P的方程为x(y2)，直线A2Q的方程为x(y2).联立整理得(y22)x1(y2)(y12)x2(y2)，所以(3x1x2)y4kx1x26x12x2.把代入上式，得(3x1x2)y4kx1x26x12x26(x1x2)6x12x212x14x2，当x23x1时，可得y4，当x23x1时，即A1PA2Q不符合

17、题意.综上，故点S恒在直线y4上.2.(2019·临川九校联考)在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：mn为定值，并求出此定值.解(1)因为长轴长为8，所以2a8，a4，又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，所以ba2，由于椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由m，得m(1x1，3y1)，所以x1，y1，所以A，因为点A在椭圆1

18、上，所以得到1，得到9m296m48x0；同理，由n，可得9n296n48x0，所以m，n可看作是关于x的方程9x296x48x0的两个根，所以mn，为定值.3.(2019·上饶模拟)已知圆C1的方程为(x2)2y232，点C2(2,0)，点M为圆C1上的任意一点，线段MC2的垂直平分线与线段MC1相交于点N.(1)求点N的轨迹C的方程；(2)已知点A(0,2)，过点A且斜率为k的直线l交轨迹C于P，Q两点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPBQ，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.解(1)|NC2|NM|，|NC1|NC2|NC1|NM|C1

19、M|4>|C1C2|，知点N的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，则a2，c2，b24，点N的轨迹C的方程为1，(2)设直线l：ykx2，与椭圆联立消去y，得(2k21)x28kx80，128k232(2k21)>0，k2>，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)4，(x1x2，y1y2)，点B，代入椭圆方程2228，得k2(舍负)，又k2满足>0，k±，存在常数k±，使得平行四边形OPBQ的顶点B在椭圆上.B组能力提高4.(2019·泸州质检)已知椭圆C：1(a>b>0)，点P1(1,1)，P2(

20、0，)，P3(，)，P4(，)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设R(x0，y0)是椭圆C上的动点，由原点O向圆(xx0)2(yy0)22引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.解(1)由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，<1，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，b，1，解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2)直线OP：yk1x，与圆R相切，即有(x2)k2x0y0k1y20，同理直线OQ：yk2x与圆R相切，可得(x2)k2x0y0k2y20，即k1，k2为关于k的方程(x2)k22x0y0ky20的两个不等的实根，可得k1k2，点R(x0，y0)在椭圆C上，1，k1k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|OP|·|x1|，点Q到直线OP的距离d，|x1|，|x2|，OPQ的面积S|OP|·d|x1x2|·|k1k