五基本极限定理

1、第五章基本极限定理【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】2学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1理解切比雪夫（车贝晓夫）不等式；2、了解车贝晓夫大数定理及 Bernoulli大数定理；3、知道独立同分布的中心极限定理，了解德莫佛一拉普拉斯中心极限 定理.【本章重点】车贝晓夫不等式，车贝晓夫大数定理及 Bernoulli大数定理.【本章难点】对车贝晓夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解【授课内容及学时分配】§ 5.0前言在第一章中我们曾提出，大量重复试验中事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数n的无限增大，事件A在n次试验中出现的次数与试验次数之比土（即频n率）稳定

2、在某个确定的常数附近（频率的稳定性），以此常数来近似作为事件A在一 次试验中发生的概率，并在实际中，当 n充分大时，用频率值作为概率值的近似估 计.对于这些，我们需要给出理论上的说明，而这些理论正是概率论的理论基础.§ 5.1切比雪夫不等式及大数定律、切比雪夫不等式 定理1设随机变量具有有限的期望与方差，则对-；弋，有P(© -E® 口兰咛或P（匕_E（） c可兰1D()亠2证明：仅对连续的情形给予证明，设的分布函数为F（x），则P( -E() 一 "二 dF(x)乞IE)dF(x)x_E(3| 为x_E(® 為*1 -：.2D()2 一(xE

3、( )2dF(x) 2zz该不等式表明：当D(©很小时，P(U-E(©)启硏也很小，即©的取值偏离E&)的可能性很小.这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具.、大数定律(包括强大数定律和弱大数定律，本书主要讲弱大数定律)定义：设;' ；是随机变量序列，它们都具有有限的数学期望EJ,E2),，若对1/ -lim P* 送-j E 乞-i i ® -|n yn:=0,则称n服从弱大数定律.定理2 (车贝晓夫大数定律)设相互独立的随机变量I/',；分别具有数学期望E(1),E(n)及方差D

4、(1),D(n)，若存在常数C使D( J<C ,12(方差一致有界)，则 n服从大数定律既对任意的； 0，有lim Pn-pc i证明：由车贝晓夫不等式知：-；0,有:n0即丄£E(：j)汩兰 12 D( 勺)=鳥 2 兰;C2= C2T0(nT00)nj土ny名nynwnwnw注：切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli大数定理和Poisson大数定律.定理3( Bernoulli大数定理)设Jn是n重Bernoulli试验中事件A出现的次数，已知在每次试验中A出现的概率为jlim P-p3呂> =0nnp (0 ： p :

5、 1)，则对 一 ；0，第i次试验中A出现第i次试验中A不出现i=1,2, ,nE( i) =P ,D(二P(1P)乞1 , i=1,2, ,n4于是由切比雪夫不等式，对- ；0，有p丿吃_pr丄p11 n -送匕i -E-z ©/丄p丄，-Ei)*n1|n yin yn i 41 J兰D 1送点一E(©)卜昙瓦陰0(nT «) ziny丿 n Eynw可见，只要把即土 > P （n：）.故 服从大数定律. n看作服从（0-1 ）分布的随机变量即可.Bernoulli大数定律在理论上说明了在大量重复独立实验中，事件出现频率的稳定性，正是因为这种稳定性，概率才

6、有客观意义.而Poisson大数定律则为切比雪夫大数定律的另一特例定理4 （Poissor大数定律）设Jn是n次独立试验中事件A出现的次数，已知在第i次试验中A出现的概率为pi（ 0 ： pi ：1） , i =1,2，则对- ；0nm|: - ：Pi-；=0证：（略）显然，Poisson大数定律是作为Bernoulli大数定律的推广，它表明随着n；二， n次独立试验中事件A出现的概率稳定于各次试验中事件 A出现的概率的算术平均 值.推论：设1/',；是相互独立的随机变量，且服从相同的分布,E( J", D( J y2 i =1,2,，则 一 ；0,有:nmPn1 n1坠卩_

7、送£ _卩兰科=1n i三1 n即丄7 i以概率1收敛这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值然后用其平均值来代替岁.§ 5.2中心极限定理设 n是相互独立的随机变量序列，E1 -山D < = c2i i =1,2/ ,nnnnn令 Sn=v i -Ei 则 Bn2 = DSn=D V i -E < 二、D i -2i，i壬i丝i£iS设n =-Sn （标准化）n =1,2，下面研究；的分布：BnDf 1 :设 n为相互独立的随机变量序列，若P < X以概率1收敛于标准正态分1 X丄2布N（

8、0,1）的分布函数：:（x）,即lim P n沁=1 e 2dt，则称 n服从中心极限定理.Df2:（不讲）设随机变量1, 2,的分布函数为h（X）, F2（X）,，若Fn（X）弱收 敛于正态分布N（；2）的分布函数，则称 n渐近于正态分布N（2） 中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲两种形式：一、独立同分布的中心极限定理定理1:（莱维一林德伯格定理）设 n是独立同分布的随机变量序列，E i =，D i二厂2 （有限），若-R，n二（i 一 ”）随机变量；的分布函数Fn（X）二乞收敛于标准正态分布 N 0,1Jnb的分布函数，即lim._Fn（x） -：（x），则 n服从中心极限定理.n

9、证：（略）更进一步的有：对 飞：b，lim_Pa ： n乞b = "（b） 门（a）二、德莫佛一拉普拉斯中心极限定理定理2:设n (n =1,2,)是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为 p 0 ： p " , q = 1 - p，则对- x ： R,有2np1 x tlim P _nx：adt 二 xnJ、npq2，或一 a :：: b，有 lim Pa ： n _ np 岂 b = b _ a n 护npE证明:第i次试验成功反之- - 1 ,为独立同分布的随机变量序列，且E p D j二p(1 - p)乞4n npn显然：n = 7 1，此时打iT该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证作为以上二定理的应用，我们给出下面例子：Ex1:(关于二项分布的近似计算式)设' B(n,p)，试求Pg ：- m?m?解 Pg :： _m2=' Cnkpk(1-p)n'k尹m