11变化率与导数113导数的几何意义

1、1. 1.3导数的几何意义整体设计教材分析本节课是在学习了变化率、 导数概念等知识的基础上，结合函数图象来研究导数的几何意义，是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容探究和理解导数的几何意义，就是从几何的角度分析问题，利用割线和切线的辩证关系，通过逐步逼近的方法和“以直代曲”思想的运用，在给切线以新的定义的同时，产生了导数的几何意义.本节的学习为研究变量和函数提供了重要的方法，为今后学习函数单调性创造了条件.课时分配1课时.教学目标1. 知识与技能目标通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用.2. 过程与方法目标培养学生分析、抽象、概括等思维能力； 通过“以直代曲”思想的

2、具体运用，使学生达 到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯.3. 情感、态度与价值观渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣， 培养学生不断发现、 探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的 魅力.重点难点重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.难点：发现、理解及应用导数的几何意义.教学过程引入新课提出问题：平面几何中，我们怎样判断一条直线是否是圆的切线？学情预测：学生一定回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线.提出问题：能否将它推广为一般曲线的切线定义？直线与曲线只有一个公共点就是相切吗？学情预测：学生可能无从入手

3、，教师可通过帮助学生回忆以前学过的曲线与切线来引导.活动设计:活动成果：师生共同得出如下结论： 有些曲线虽然和直线只有一个交点，但不是相切而是相交，有些曲线在某点处和直线相切，但整体上却和直线有多个交点所以，对于一般曲线，我们必须重新寻求曲线切线的定义.提出问题：曲线在一点处的切线应该怎样定义呢？活动设计：教师演示多媒体结论：当点B沿曲线趋近于点 A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线 AD， 这条直线AD叫做此曲线在点 A处的切线.设计意图初中平面几何中有圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切. 这时，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点但是，圆是一种特殊的曲线，这

4、种定义并 不适用于一般曲线的切线，如上面的例子这样，学生对于切线的认识产生了疑问，也就激发了学生的探索欲望.探究新知提出问题：导数的概念及其本质是什么？写出它的表达式.活动设计：一位学生板书，其他学生在练习本上写出，教师订正如下：导数f'(X。)的本质是函数f(x)在x= xo处的瞬时变化率，教师：导数的本质是从代数 (数)的角度来诠释，若从图形 (形)的角度来探究导数的几何 意义，应从哪儿入手呢？试回忆求导数f' (x0)的基本步骤.学生：求导数f' (xo)的基本步骤分三步：第一步：求 ；第二步：求平均变化率严； x第三步：当朋近于0时，平均变化率fxo+7fxo无

5、限趋近于的常数就是 f' (xo).教师：若从“形”的角度探索导数的几何意义，是否也可以分下面三个步骤？第一步：的几何意义是当xo+ x与xo所对应的函数值的差量，即纵坐标之差；第二步：平均变化率f xo+ f X。的几何意义是割线 AB的斜率.其中A(Xo, f(Xo),B(xo+ x, f(Xo + x);第三步：Al o 时，割线 AB 有什么变化？ " o, B(xo+ x, f(xo+ x)RA(x°, f(x°), 当Alo时，A , B之间的差距越来越小.教师：结合前面的多媒体演示，你有什么发现？学生：既然平均变化率f X°+ f

6、Xo的几何意义是割线 AB的斜率，那么当Alo时, zax割线AB的斜率逐渐变为曲线 f(x)上过A点的切线的斜率.教师：当Axl o时，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x = xo处的切线.活动成果：师生共同得出如下结论：当Al 0时，割线 AB t切线AD，则割线 AB的斜率宀切线 AD的斜率.即f' (xo)= lim fxo+xfxo =切线 AD的斜率，所以，函数f(x)在x = X。处的导数f'(X。)的几何意义就是函数 f(x)的图象在x = X0处的 切线AD的斜率.动手实践，使学生经历探究“导数的几何意义”的建构过程, ，掌握“

7、数形结合，类比探讨”的数学思想方法.设计意图通过复习回顾、分析讨论、 从而准确理解“导数的几何意义”已知 f(x) = x2,学生先独立思考，再自由发言，老师点评，然后要求学生在练习本上写出过求曲线y= f(x)在x = 2处的切线的斜率.理解新知 提出问题： 活动设计：程.为求得过点(2,4)的切线的斜率，可从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手. 解：设 P(2,4), Q(2 + x, (2 + xf),则割线 PQ 的斜率 kpQ=_4 = 4 + x.活动成果：思路分析：当 从无限趋近于0时，kpQ无限趋近于常数4,即f' (2) = |.四0(4 + x)=4.从而曲

8、线y = f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.结合具体函数，理解导数的几何意义，会求过曲线上一点的切线的斜率.设计意图 运用新知 例1求曲线y= f(x) = x2+ 1在点P(1,2)处的切线方程. 思路分析：求切线方程，在知道切点的情况下，求出过点f 1+ f 11+ Ax2+ 1 12 1 = lxmoTT _=P的切线斜率即可.解：k=啊lXm0(2 + XI.求曲线在某点处的切线方程因此，所求切线方程为 y 2 = 2(x 1)，即y = 2x. 点评：利用导数求切线方程，是导数几何意义的重要应用.的基本步骤：求出P点的坐标；求出函数在点x0处的变化率f' (xo)=呱

9、 W fx0 = k ,得到曲线在点(x0, f(x0)的切线的斜率；利用点斜式求出切线方程.138例2已知曲线y = 3x上的一点P(2, 3),求：(1)点P处切线的斜率；点P处的切线 方程.思路分析：本题是例题的巩固和延伸，基本方法一致，但在解析式的化简上有难度.”32+AxI 2' 12解：(1)k = lim= 3 ljmfl (12 + 6 Ax+Ax) = 4.8因此，所求切线方程为y 3= 4(x 2)，即12x 3y 16= a点评：利用导数的几何意义求斜率、求切线方程的基本方法和步骤比较固定，但因函数h(x) = - 4.9x2 + 6.5x + 10,根据图的不同

10、，运算难度也不同，待学习完导数公式后，此类问题运算难度将大幅度降低.例3如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数象，请描述、比较曲线思路分析：根据导数的几何意义，曲线在某点处的瞬时变化率， 即函数在该点处的导数, 也是通过该点的曲线的切线的斜率值.解：我们用曲线h(t)在如 如t2处的切线，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情 况.(1)当t = to时，曲线h(t)在to处的切线lo平行于x轴，所以，在t = to附近曲线比较平坦， 几乎没有升降.当t = ti时，曲线h(t)在X处的切线X的斜率h'仙)<0，所以，在t= ti附近曲线下降， 即函数h(x) = -

11、4.9x2 + 6.5x + 10在t=ti附近单调递减.当t = t2时，曲线h(t)在t2处的切线12的斜率h' (t2)<0,所以，在t= t2附近曲线下降， 即函数h(x) = - 4.9x2 + 6.5x + 10在t= t2附近单调递减.从图中可以看出，直线11的倾斜程度小于直线12的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.点评：通过对曲线h(t)在t0、如t2附近的变化情况的分析，图象在t0到t2的区间内一直是单调递减，只是下降的缓慢程度有所不同.我们也能得出如下结论：从求函数f(x)在x= X0处导数的过程可以看到，当x = X0时，f'(X

12、。)是一个确定的数.这样，当x变化时，f'(X)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，记作：f'(X)f x+ Ax-fX或 y ，即 f (x) = y = limAX .通过本例，学生学习了导函数的概念，明确了函数f(x)在点X0处的导数f' (X0)与导函数f' (X)之间的区别与联系：函数在一点X0处的导数f '(X0),就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数；函数的导函数f' (X)，是指函数f(x)在定义域的某一区间内任意点处的瞬时变化率，是随X的变化而变化的，是变数.设计意图巩固练习1

13、曲线y = X2在X = 0处的()A 切线斜率为1B 切线方程为y= 2xC.没有切线D .切线方程为y = 02. 已知曲线y= 2x2上的一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A . 4B. 16C. 8D . 23. 曲线y= x3 + x-2在P点处的切线平行于直线 y = 4x 1，则此切线方程为()A . y= 4xB . y = 4x 4C. y = 4x + 8D. y= 4x 或 y= 4x 44设f(x)为可导函数，且满足条件驭,1_X = 1,则曲线y= f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为()A 2B 11分 2答案：1.D2.C3.D4.D变练演编变式1已知曲

14、线y= 1x3上的一点Q,以Q为切点的切线斜率为9，求点Q的坐标.3变式2已知曲线y= |x3，求与直线x + 4y + 8 = 0垂直，并与该曲线相切的直线方程.11变式3已知曲线y= x3,求过R(1 , )的切线方程.33活动设计：学生先独立思考，独立完成，再进行交流、互相质疑.学情预测：对于变式3，大部分学生可能只想到一种情况.活动成果：变式 1.(3,9)或(3, 9).变式 2.12x 3y 16= 0 或 12x 3y+ 16= 0.、 2 变式 3.y = x -或 3x 12y+ 1 = 0.3设计意图从多个方面设计利用曲线上一点的横坐标，求以该点为切点的切线斜率问题.对于“

15、过这一点”和“以该点为切点”的说法要区别开.达标检测1 函数y = f(x)在x = xo处的导数f'(X。)的几何意义是()A .在点x = xo处的函数值B .在点(X0, f(x。)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y = f(x)在点(X0, f(x。)处的切线的斜率D .点(X0, f(x。)与点(0,0)连线的斜率2. 已知曲线y= x2 1上的两点 A(2,3) , B(2 + x,3+ Ay),当 从=1时，割线AB的斜 率是,当Ax= 0.1时，害熾AB的斜率是,曲线在点A处的切线方程是.3. 如果函数f(x)在x = x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)

16、在x= x0附近的变化情况是.4. 在曲线y = x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y = 4x 5;(2)垂直于直线2x 6y+ 5= 0;与x轴成135。的倾斜角；过点R(1, 3)与已知曲线相切.答案：1.C2.11 y = 4x 53.逐渐下降39114. (1)(2,4) ; (2)( 2, 4)； (3)( 2, 4)； (4)2x + y + 1 = 0,6x y 9 = 0.课堂小结本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开.先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后

17、，类比“平均变化率一一瞬时变化率”的研究思路，运用逼近思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义一一“导数是曲线上某点处切线的斜率”.布置作业课本习题1.1A6 , B3，补充练习3、5、6.补充练习1一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为 s1= 8t5. 曲线y = x3在点(a, a3)(a 0)处的切线与x轴、直线x = a所围成的三角形的面积为 , 贝y a的值为.6. 已知曲线 C: y = x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； 第(1)小题中的切线与 C是否还有其他的公共点？,贝y t = 2秒时，

18、此木块在水平方向上的瞬时速度为()1 1A 2B 1 232已知曲线y = 2x 2上一点P(1 , - 2)，则过点P的切线的倾斜角为()A 30 ° 45 °C. 135 °D 165 °3. 已知曲线y= 设计说明本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义，因为新教材未涉及极限，于是尽量采用形象直观的方式，让学生通过动手作图，自我感受整个逼近的过程，并用形象的几何画板及Flash展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想.在利用导数的几何意义研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性.本节课注重以学生为主体，每一个知识、每一个发现及设法由学生自己得出.课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、 动笔演算等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导.备课资料补充练习：求函数f(x) = x3的导数.解：任取 x0 R, Ax 0.f(x0) = x3，f(x 0+ Ax)= (x0+ xf,在点P(1,4)处的切线与直线I平