231离散型随机变量的均值

1、2.5.1离散型随机变量的均值教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题.教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义.教学过程一问题情境1 情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用 X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下.X10123Pk0.70.10.10.1X20123Pk0.5

2、0.30.202. 问题：如何比较甲、乙两个工人的技术?二.学生活动1. 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数.从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好.这样比较，很难得出合理的结论.3. 引导学生回顾数学 3 (必修)中样本的平均值的计算方法.三.建构数学1.定义在数学3 (必修)“统计” 一章中，我们曾用公式 XiPi X2p2* Xn Pn计算样本的平均值，其中 p为取值为Xi的频率值.类似地，若离散型随机变量 X的分布列或概率分布如下:XX1X2XnPPiP2Pn其中，Pi -0,i =1,2,., n.P

3、iP2. Pn=1，则称X!p -X2P2. -XnPn 为随机变量X的均值或X的数学期望，记为 E(X)或.2. 性质(1) E(c)二c； (2) E(aX b) =aE(X) b . ( a,b,c为常数)四数学运用1.例题：例1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同. 某学生一次从中摸出 5个球，其中红球的个数为 X , 求X的数学期望.分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取n =5个产品，随机变量X为5个球中的红球的 个数，则X服从超几何分布 H (5,10,30).解：由2. 2节例1可知，随机变量 X的概率分布如表所示

4、：X012345P258480758550380070042237512375123751237512375123751从而E(X),燮1輕2整3沁4型5旦"6667 2375123751237512375123751237513答：X的数学期望约为1.6667 .说明：一般地，根据超几何分布的定义,可以得到E(X)八喈叫CN例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品X的数学期望率为0.05，随机变量 X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量E(X) 解：由于批量较大，可以认为随机变量X B(10,0.05),P(X 二k) = Pk 二G0pk(

5、1-p)g,k=0,1,2,.,10随机变量X的概率分布如表所示：X012345PkCwp0(p)10CM-p)9G：P2(1-P)8G3°p3(1- p)7CwP4( P)6CwP5(Vp)5X678910Pk66 一、4C10 p (1 - p)J 7 一、3C10 p (1 - p)8 8 一 、2C10 p (1 - p)991C10P (1-p)0 10 一 、0C10 p (1 - p)10故 E(X)八 kpk =0.5k =Q即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件.说明：例 2中随机变量 X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X B(n, p)时，E

6、(X)工np 例3.设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告1结束，假定A, B在每场比赛中获胜的概率都是1，试求需要比赛场数的期望.2分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：(1)事件“ X =4 ”表示，A胜4场或B胜4场(即B负4场或A负4场)，且两 两互斥.41 41。丄 01 01 42p(x =4) =C4 (-)(p C4 (?)(2)=16 ；（2）事件“ X =5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了 3场），且这两者又是互斥的，所41613 1 3 1 4 311 1 1 1 4

7、1p(x=5rC4(?)(2)+2叫)(2)（3）类似地，事件“ X =6 ”、“ X =7 ”的概率分别为P(XP(X=6）*妙护知职严516，=7）=卑（2）3（2宀抱（;）3（尸=516比赛场数的分布列为X45672455P161616162455故比赛的期望为 E（X）=45675.8125 （场）16161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负.2练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为 0.01 现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费 3800元；方案2 :建一保护围墙，需花费 2000元但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设 备受损，损失费为60000元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临