中线倍长法及截长补短经典讲义

1、实用标准文案几何证明中常用辅助线（一）中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD <(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一个 三角形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法A方式2:间接倍长方式1:延长AD到E,使 DE=AD , 连接BE方式3:僧CFLAD于F,N作BE LAD的延长线于连接BE例3、AABC中，AB=5 , AC=3 ,求中线 AD的取值范围例4、已知在

2、 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上， DE交 BC 于 F,且 DF=EF ,求证：BD=CE课堂练习： 已知CD=AB , / BDA= / BAD , AE是/ ABD的中线,求证：/ C=/BAE文档大全作业:1、在四边形 ABCD中，AB/DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段 AB与AF、2、已知：如图，MBC 中，ZC=90 CMJ.AB 于 M, AT 平分工BAC 交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证:CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且

3、BE=AC ,延长BE交AC 于F,求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的 性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形 下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABC丽，BO AB AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAD/BCB180 .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的

4、延长线于点 E,彳DFL BC于点F,如图1-2 BD¥分/ ABC D占DF在 RtAADEW RtACDF,；DE = DF、AD =CD RtAADE RDCDFHD，DAZ DCF又/ BAD/DAE=180 , . / BA。/ DCF=180 ,即/ BAB/BCR180 .例2. 如图 2-1 , AD/ BG 点 E在线段 AB上，/ ADE/CDE / DCEZ ECB 求证：CD=AHBC分析：结论是CDADfBC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB只要再证DSDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .证明：在CD

5、上截取CF=BC如图2-2在 FCE BCE,CF =CB2FCE =/BCECE =CE .FCE BCE (SAS ,，/2=/1.又. AD/ BC /ADG/BCB180 , ./ DCEZ CDE90 , ，/2+/3=90° , / 1 + 74=90° ,3=/4.在 FDE AAD计，.FDE "ADE«DE =DE/3 =/4. .FD降 ADE(AS/A ,DF=DA. CD=DF+CF, . CDADBC例3.已知，如图 3-1 , /1 = /2, P为 BN上一点，且 PDL BC于点 D, ABBC=2BD求证：/ BAR/B

6、CR180 .分析：与例1相类似，证两个角的和是 180。，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证 明/ BCR/EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造E证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2. / 1=72,且 PDL BCPE=PQ在 RtA BPE与 RtA BPD43,PE = PDBP = BPRtABPE RtBPDH。，.BE=BD图4-1. ABfBC=2BD . . ABB>DC：BaBE . . ABfDC=BE即 DGBEABAE在 RtAPE与 RtA CPD43,PE = PD %PEA "PDCAE = DCRtAAPERtA

7、CPI(SAS), / PAEZ PCD又 / BAF+Z PAE180 ,./ BAF+/BCR180例4.已知：如图 4-1 ,在ABC43, Z C= 2/B, / 1 =求证：AB=AGCD分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CQ或在AB上截取AF=AC 证明：方法一（补短法）延长AC至U E,使DGCE则/ CDE= / CED如图 ./ ACB= 2/ E, / ACB= 2/ B,/ B= / E,在 ABDW AE计,.1 -/2.B =/EAD =AD. .AB坐 AED（AAS ,，AB=AE又 AEAC+CEAGDC AB=AOD

8、C方法二（截长法）在AB上截取 AF=AC如图4-3在 AFD AC加,AF =AC«/1 =/2AD =ADAF单 ACDSAS , DF=DC / AF氏/ ACD 又. / ACB= 2/B, / FDB= / B, . FD=FB图4-3 AB=AF+FB=A（+Fn，AB=AGCD上述两种方法在实际应用中， 时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进 行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。作业：1、已知：如图， ABCDI正方形，/ FAD=/FAE求证：BBDF=AE2、五边形 ABCD呼，AB=AE, BGDE=CD

9、/ ABG/AEB180 ,求证：AD平分/ CDE实用标准文案（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例1、如图1:已知 AD为 ABC的中线，且/ 1 = /2, /3=/4,求证：BE+ CF> EF.文档大全C2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2: AD 为ABC勺中线，且 / 1 = /2, /3=/4,求证：BE+ CF> EF.练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4,求证EF= 2AD3、延长已知边构造三角形：例

10、如：如图6:已知AO BD, ADL AC于A , BCL BD于B,求证：AD= BC实用标准文案5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长求证/ A= / D.4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD例如：如图 8:在 RtzXABC中，AB= AC Z BAC= 90° , /1 = /2, CHBD的延长于E 。求证：BD= 2CE.6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9; AC BD相交于。点，且AB= DC AO BD8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10: AB=

11、DC /A= /D 求证：/ ABC= / DCB.截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC , E为AD中点，连接 BE, CE(1)求证：BE=CE;(2)若/ BEC=90 ,过点B作BFXCD,垂足为点 F,交CE于点 G,连接DG ,求证:BG=DG+CD .文档大全C2.如图，DaBCD中，E是BC边的中点，连接AE,F为CD边上一点，且满足/ DFA=2/BAE. (1)若/ D=105° , / DAF =35° ,求/ FAE 的度数； (2)求证：AF=CD+CF.3、如图，直角梯形(1)若 AB=6cm ,(2

12、)若 E、F、G、ABCD 中，AD / BC, / B=90 °, / D=45sinZBCA=-，求梯形ABCD的面积；一 5H分别是梯形 ABCD的边AB、BC、CD、/EFH=/FHG,求证：HD=BE+BF .4、如图，梯形ABCD中，AD / BC,点E在BC上, 且AFXAB ,连接EF.(1)若 EFXAF , AF=4 , AB=6 ,求 AE 的长.(2)若点F是CD的中点，求证： CE=BE-AD.DA上一点，且满足 EF=GH ,5.在DABCD中，对角线 BD_LBC, G为BD延长线上一点且 AABG为等边三角形,/BAD、/CBD的平分线相交于点(1)若口 ABCD的面积为9石,(2)求证：AE = BE GE.E ,连接AE交BD于F ,连接GE.求AG的长;6.已知：如图，在矩形 ABCD中，AP I PC. PC 交 AD 于点 N , (1)：若 AP =s/5, AB = 1BC 3DAC是对角线.点P为矩形外一点且满足连接DP,过点P作PM _L PD交AD于M . R,求矩形ABCD的面积;(2)：若 CD = PM ,求证：AC = AP + PN .Af7、如图，在正方形 ABCD中，点P是AB的中点，连接 DP,过点B作BE_LDP交DP 的延长线于点 E