中学生物理竞赛系列练习试题圆周运动

1、中学生物理竞赛系列练习题第四章 圆周运动 万有引力定律1、如图所示，赛车在水平赛道上做 90。转弯，其内、外车道转弯处的半径分别 为ri、匕，车与路面间的动摩擦因数都是小。试问：竞赛中车手应选图中的内道还是外道转弯？在上述两条转弯路径中， 车手在内、外车道选择中可能赢得的时间为多少?内外解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为上，则m（V）2/2= n mg,为 X2= (V2 V2) / 2a=Vm-2日g 2、2= Jb * g2 ,因此车先减速再加速，加速度为 a= 1 mg/ m= g,减速的路径长总时间为t2=t 减速 + t 圆弧 + t 加速=m2 +aI二2 V V2 /c 八

2、、 2Vr2/c 八、-+ 2 (2 分)=m - (2 )!(2 分)2V2ag2 gJ同理，车走内道的时间为ti=0m （2-），立 （4 分）g2 g又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。车手应该选择走外道。时间差为:At=t i-t 2= （2-）七2二，（3 分）2g2、根据天文观测，月球半径为 R=1738km月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6,月球表面在阳光照射下的温度可达 127C,此时水蒸气分 子的平均速度达到vo=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的 重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少用两种方法说明） 方法一：假定月球表面有水

3、，则这些水在 127c时达到的平均速度Vo=2OOOm/s 必须小于月球表面的第一宇宙速度， 否则这些水将不会降落回月球表面， 导致月 球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMmR2=mv2/R, mg =GMmR2,g =g/6 , 所以代入数据解得Vi=1700m/s, viR,则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMmRi2=m%2/R2, mg=GM/ri2, g月=g/6,所以 R=vo2/g 月=2.449 x 106m, RR,即以 2000m/s 的速 度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。方法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气

4、分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mgn GM/m,当v=v0=2000m/s时， g月Vo2/R=2.30m/s2,而现在月球表面的重力加速度仅为 g/6=1.63m/s 2,所以水 分子在月球表面所受的重力不足以提供 2000m/s所对应的向心力，也即月球表面 无水。方法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月 球表面所受到的向心力，即应满足：mg GMmR?,即应有g月Rv2而实际上：g 月 R=2.84 x 106n2/s 2, V02=4X 106m2/s 2,所以 Vo2g月R即以 2000m/s 的速度运行 的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面

5、无水。3、半径分别为ri和2 （ri：2=5: 1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起， 如图所示，它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为B的均匀磁场中,磁场的方向平行于转轴。两转轴通过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时， 量得两齿轮边缘之间的电阻为 R现将一具质量为m的物体用轻绳绕在大齿轮的 轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下落的速度。4、用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨,机*道上，从地球发射一航天器，由时间控制以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转 90,即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。在这作用中航天器单位

6、质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设持续时间与木星周期相比很小）题库835、开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所太阳在这些椭圆的一个焦有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动, 点上。第二定律：太阳和行星的联线在相等的时 间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速 圆周运动，火星半径为R,今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径 向速度，其大小为原速度的ot倍。因a很小，所以飞船新轨道不会与

7、火星表面交 会，如图所示。飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为-GMm 。试求：r 飞船新轨道的近火星点的高度 h近和远火星点高度h远；（2）设飞船原来的运动 速度为v0,试计算新轨道的运行周期T设火星和飞船的质量分别为 M和m飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点 或最远点到火星中心的距离为r,飞船速度为v。因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为等于喷气后飞船绕椭圆轨道1在D点的面积速度-r0vDsine （D为圆轨道和椭圆轨道的父点），2由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度1rv,即:2-roVo =一 rVD sin 0 = -rv , 即 sv。=rv (1) 2 分2

8、22由机械能守恒定律：mv2GMmm(v#a2v2)-GMm(2) 2分2r 2ro飞船沿原轨道运动时：GMml=mvl (3) 2分roro式中 ro =R+H,r =R+h (4) 2 分1 ，：,1 -:分（2）设椭圆半长轴为a,则r近+r远=2a,即：a2分1 -: 2飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为：To =包（8） 2分vo设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为 T,由开普勒第三 定律得：_3_ ，一 .、,3(10) 4分1m2分从而解得：t=(k)26、一半径为R =1.00 m的水平光滑圆桌面，圆心为O,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲

9、线 C,如图预17-2 所示。一根不可伸长的柔软的细轻纯，一端固定在封闭曲线上的某一点， 另一端系一质量为m =7.5x102 kg的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与纯垂直、大小为V0 =4.0m/s的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当纯的张力为T=2.0N时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动.1 .问纯刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少 ？2.若纯刚 要断开时，桌面圆心O到纯的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直 部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度H =0.80m .物块在桌面上运动时未与立柱相碰

10、.取重力加速度大小为10 m/s2 .解：因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉 紧的，故在纯断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与纯垂直，绳的 张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在纯刚要断开时绳的伸直部分的长度为X ,若此时物块速度的大小为Vx ,则有 Vx =V(1)纯对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有 22mvx mv0gT0 (2X X2由此得x=mv (3)代入数据得x= 0.60m(4)2.设在纯刚要断开时，物块位于桌面上的 P点，BP是绳的伸直部分，物块速度V。的方向如图预解17-2所示.由题意可知，OB -LB

11、P .因物块离开桌面时的速度仍为V0,物块离开桌面后便做初速度为V0的平抛运动，设平抛运动经历的时间为t,则有H =；gt2(5)(6)S| 二v0t由几何关系，物块落地地点与桌面圆心 O的水平距离s为解(5)、 ( 6)、s(8)物块做平抛运动的水平射程为代人数据得s=2.5m7、假设银河系的物质在宇宙中呈对称分布，其球心为银心。距离银心相等处的 银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和 将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。已知地球到太阳中心的距离为 R,太阳到银心的距离a=1.75 X 109R,太阳绕银心 做匀速圆周运动，周期

12、T=2.4X108年。太阳质量为M,银河系中发亮的物质仅 分布在r01.5a的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于 6a,且在0&r&6a范围内，物体绕银心运动的速率是一包量。按上述条件解答：(1)论证银河系物质能否均匀分布？(2)计算银河系中发光物质质量最多有多少？(3)计算整个银河系物质质量至少有多少？(4)计算银河系中不发光物质(即暗物质)质量至少是多少？(上述计算结果均用太阳质量 M表示)题库p848、已知地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径凡为地球 轨道半径凡的1.5倍.若要从地球表面向火星发射探测器，简单而又比较节省能 量的发射过程可分为两步：在

13、地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足 够的动能，从而成为一个沿地球轨道运行的人造行星(此时，地球对探测器的引 力很小，可以忽略不计)；在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机， 在短时间内对探测器沿原运动方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得 探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道上 运动，从而使探测器正好射到火星上，如图 3甲所示.当探测器脱离地球并沿地 球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时，经观测计算知火星与探测器与太 阳所张角度为600如图3乙所示.问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动已知地球半径为机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算

14、仅需精确到日）R=6.4 x 106m,重力加速度g可取9.8m/s2。探测器在地球公园轨道上运行的周期Td与地球公转周期相同Td=Te=365d 火星公转周期 T 市365v 153=671d探测器的椭圆轨道上的运行周期为Td =365 1.253 =510d因此探测器从燃火箭开始至到达火星需时255d从点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为d=co e=0.9860/d行0.5370/d 由于探测器运行至火星需时255d,火星在此期间运行的角度为m-Td /2=1370 即探测器在椭圆轨道近日点发射时， 火星应在其远日点的切点之前1370，亦即点 燃发动机时,探测器与火星之间对太阳的圆心角应

15、为 1800-1370=430在某年3月1日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600 （火星在前探测器在后），为使其张角为430,必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适时日，设二者到达合适的位置，探测器又经历的天数为t,则 600-43 0= dt- mt t=38d故点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3月1日之后38天，即同年4月7日附加1、2006年2月10日，中国航天局将如图所示的标志确定为中 国月球探测工程形象标志。它以中国书法的笔触，抽象地勾勒 出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。中国探月C 1_ E P我国的“嫦娥奔月”月球探测工程已经启动，分“绕、落

16、、回” 三个发展阶段：在2007年前后发射一颗围绕月球飞行的卫星，在2012年前后发射一颗月球软着陆器，在2017年前后发射一颗返 回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球。设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱， 如图所示，为了安全，返回的着陆器与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。设 着陆器质量为m月球表面的重力加速度为g,月球的半径为R,轨道舱到月球 中心的距离为r,已知着陆器从月球表面返回轨道舱的过程中需要克服月球的引 力做功W =mgR1 -R)。不计月球表面大气对着陆器的阻力和月球自转的影响，r则着陆器至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？2、科学家用天文望远镜经过长期观测，在宇宙中已发现中已发现了许多双星系 统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距 离。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量 都是M,两者相距2L。它们正围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。 1、