高考数学：一轮复习配套讲义：第11篇第2讲古典概型

1、第2讲古典概型最新考纲1 .理解古典概型及其概率计算公式.2 .会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 .诊断基础知识由浅入深夯基固本知识梳理1 .基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2 .古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型._ A包含的基本事件的个数 P(A) =基本事件的总数辨析感悟1 .古典概型的意义(1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，具基本事 件是“发芽与不发芽”.(X)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面”，这三个结 果是

2、等可能事件.(X)(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每 位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为2,古典概型的计算 (4)在古典概型中，如果事件 A中基本事件构成集合 A,所有的基本事件构成集 合I,则事件a的概率为ca篇) (5)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点、，一，. 2,- L间的距离为-y的概率是0.2.(X )(6)(2013新课标全国II卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是0.2.(，)感悟提升1 . 一个试验是否为古典概型，在于这个试验

3、是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义.2 .从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个 集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含 m个元素的子集，故PdcardA?= m,如(4); 根据古典概型概率公式计算，如 card I n(5)、(6).突破高频考点觊例求法举一反w考点一简单古典概型的概率【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解 答.试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率.解 从6道题中

4、任取2道有n = c6=15(种)取法.(1)记”所取的2道题都是甲类题”为事件 A,则A发生共有m=c4=6种结果.所求事件概率P(A) = m=3 = 2. n 15 5记”所取的2道题不是同一类题”事件为B,事件B包含的基本事件有C4c2=8(种)，则事件B的概率为P(B) = 185.规律方法有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件 包含的基本事件数.基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.学生用书第183页训练U 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为

5、一 蓝色卡片 两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为 0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两 种卡片颜色不同且标号之和小于 4的概率.解(1)从5张卡片中任取两张，共有n=d=10种方法.记“两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”为事件A,则A包含基本事件m=c2 c2-1=3 个.由古典概型概率公式，p(a)=，二焉.从6张卡片中任取两张，共有n = c6=15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”为事件B,则事件B包含基本事件总 数 m=c1(c2+c1)+(c2c2-1) = 8,

6、所求事件的概率P(B) = m=：8.n 15考点二复杂的古典概型的概率【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y的点(x, y)在圆 x2+y2 = 15的外部或圆上的概率.解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x, y)共有n = 6X6 = 36种等可能结果， 为古典概型.(1)记”两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件B与“两数均为偶数”为对 立事件，记为百.事件 后包含的基本事件数 m=c3& = 9.-91 一.3.P(B) = 36=4,则 p(B)=1 p(B)=4，3

7、6 443因此，两数中至少有一个奇数的概率为 4.(2)点(x, y)在圆x2 + y2=15的内部记为事件C,则至表示“点(x, y)在圆x2+y2 =15上或圆的外部”.又事件 C 包含基本事件：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2)共 有8个.p(C)=36=9,从而 p=1-p(C)=1-9=7. 36 99 9.二点(x, y)在圆x2+y2=15上或圆外部的概率为7.9规律方法(1)一是本题易把(2,4)和(4,2), (1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成 计算错误.二是当所求事件情况较复杂时，一般要分

8、类计算，即用互斥事件的概 率加法公式或考虑用对立事件求解.当所求事件含有“至少” “至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件 的概率公式P(A) = 1 P(云)求解.【训练2】 某小组共有A, B, C, D, E五位同学，他们的身高(单位：米)及体 重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下 的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解(1

9、)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D),共 6 个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A, B), (A, C), (B, C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E),共 10个

10、.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(C, D), (C,E), (D, E),共 3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P=3 10.考点三 古典概型与统计的综合问题【例3】(2013广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 9, 一2 0 15根据茎叶图计算样本均值；3 o日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3

11、)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.审题路线(1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值.(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计 12人中优秀工人的个数.(3)用组合数公 式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式 计算.1解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30则x =6(17+19+20+21+ 25+30)=22,故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，2 1故优秀工人的频率为太=鼻. 6 31该车间12名工人中优秀工人大约有12Xq=4(名)，3故该车间约有4名优秀工

12、人.记“恰有1名优秀工人”为事件A,其包含的基本事件总数为 C4c8= 32,所有基本事件的总数为C22=66.由古典概型概率公式，得32 16P(A) = 66= 33.所以T有1名优秀工人的概率为16.33学生用书第184页规律方法（1）本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率 的正确计算.（2）一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体 的思想方法，以及数据处理能力.二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明, 规范表达，这都是得分的重点.【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如 下：分组（重量）80,85)85,

13、90)90,95)95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在90,95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在80,85）和95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85）的有几个？在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85）和95,100）中各有1个 的概率.解（1）由题意知苹果的样本总数n = 50,在90,95）的频数是20,苹果的重量在2090,95） 率是去=0.4.50（2）设从重量在80,85）的苹果中抽取x个，则从重量在95,100）的苹果中抽取（4 x）个.表格中80,85）, 95,100）的频数分别是5,15, .5

14、: 15= x : （4-x）,解得 x= 1.即重量在80,85）的有1个.在（2）中抽出的4个苹果中，重量在80,85）中有1个，记为a,重量在95,100） 有3个，记为b1，b2, b3.任取2个，有ab1, ab2, ab3, bb2, bb3, b2b3共6种不同方法，记基本事件总数为n,则n = 6.其中重量在80,85)和95,100)中各有1个的事件记为A,事件A包含的基本事件为 abi, ab2, ab3,共 3 个，3 1由古典概型的概率计算公式得 P(A) = -=-.6 2|课堂小结|1 .古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；

15、第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2 .确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本 事件的个数.3 .较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公 式简化运算.培养解题能力教保解题提升能力易错辨析10基本事件计数不正确致误【典例】(2013江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、 唱歌还是去下棋.游戏规则为：以。为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图所示)这6个点中任 取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X,若X0就去打球,阳T因儿若X=0就去唱歌，若X n满足条件，m= n的

16、概率为纂=1.36 61 5 5mn的概率为2 6= 12.亡女一丁合上157辰, 2的概率为6+12= 12.答案 C2 . （2014合肥模拟）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1 本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上， 则同一科目的书都不相邻的 概率是（）.解析 第一步先排语文书有 A22= 2（种）排法.第二步排物理书，分成两类.一类 是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排 列，有A4= 12（种）排法；一类是物理书不放在语文书之间有 2种排法，再选一本 数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法.因此同一科目的书都不5相邻

17、共有2X（12 +2X2X3） = 48（种）排法,而5本书全排列共有A5= 120（种）,所以同一科目的书都不相邻的概率是48 2120= 5.答案 B 二、填空题3 .某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1节艺术课的概率为 州数字作答）.解析法一 6节课的全排列为A6#,相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课 的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为 （A3C2A2A2+2A3A3）工小 4卅加制加为八/日 -A、A3c3A2A2 +2A3A31种， 由古典概型概率公式得 P(A) =不=-A65法二6节课的全排列为A6种，先排三节艺术课有A3种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有 a3种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)A 3A 3)A3A41-6A65.答案J5三、解答题4.现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者 Ai, A2, A3通晓日语，Bi, B2, B3通晓俄语，Ci, C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者 各1名，组成一个小组.求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率.解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，具一切可能的结果组成的基本事