高考数学正余弦定理

1、正弦、余弦定理.教学内容：正弦、余弦定理.教学重、难点：1 .重点：正弦、余弦定理。2 .难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。【典型例题】例1已知在AABC中，/A = 45 a = 2, c = 丁6解此三角形。. 6. 6 . 2. 3sinC =sin 45 =二解：由正弦定理得2222二一3csin A = . 62a = 2 , c = V633 < 2 < 66有两解，即 /C =60 口或 NC =120口BB =180°-60°-45°= 750或/B =180=-120©-45q = 15。ab =sin B一 .一

2、 一.由 sin A 得 b = J3+1 或 b =、131b="3+1, NC=60* /B =75 口或 b ='区1 ,2C=120 口，/B = 15°例2不解三角形，判断下列三角形解的个数。（1）a=5, b=4, A=120'（2） a = 7, b =14, A = 150° a=9, b=10, A=60（4） c=50, b=72, C =135°解：sin B(1)b .4=sin 120 二a5ABC有一解。B >45° B+C >180°. AABC 无解bsin B= bsin1

3、50 =1a，AABC无解b . 10.35.3.35.3 /sin B = sin A = ：1(3) a 929 而 29sinB=%当B为锐角时，满足9的600 cBe901故对应的钝角B有900<B<120°,也满足A+B<180故AABC有两解。sinB 二四g=&incsinC 二型50(4)例3已知在AABC中，/A = 45; a = 2, c = J6解此三角形。解：由余弦定理得：b2+(病)2-2；6b cos45'4b2-2/3b+2=0 b=*5±11222cos C 二 一又(,6) =b +2 2M2bcosC

4、. cosC 2, /C = 600或/C = 120°2B=75或/B=15". b=%；3+1, /C=601 /B =75或 b = J3-1 ,2C=1201 /B = 15,例4已知a、b、c是&ABC中，/A、Nb、2C的对边，S是&ABC的面积，若a = 4, b =5, S =53,求c的长度。解:一 1 一 一 _ 一一S absin C =53a =4 , b =5,2sinC=32C =60 口或 120，当 C=60°时，c2 =a2+b2 ab = 21c = V2i当 C =120口时，c2 =a2 + b2 + ab

5、=61c = M61 例5在AABC中，a、R C成等差数列，b=1,求证：1<a + cM2证明：a _ b _ c方法一：由正弦定理：sin A sin B sinCb .一 b 一一a c = sin A sin C得 sin Bsin B2 32 . 3=-3(sin A sinC)二一3sin A sin(120 一 A) 332sin(A 30 ).0°<A<120°300cA+ 30口<150*.1 ：2sin(A 30 ) -2方法二：B=60' b=1a2+c2b2 =2accos60"a2 +c2-1 =aca2

6、+c2-ac=1 (a + c)2+3(a-c)2. (a c)2 -4 -3(a -c)2. 0 'ac|<1. 0 <3(a -c)2 <3. 4-3(a -c)2 <4，、2 -即(a c) -4a+c<2又a+c>11<a + cM2例 6在 AABC中，已知 b = a(73D, C=301 求 a、Bo解:cosC = cos30 二由余弦定理，O2.223 a b - c2aba2 a2(4 -2.3)-c2 = . 3a2 (. 3 -1)3-1c2 =(2 -3)a2,3-1a( 3 -1)由正弦定理：sin A sin Bs

7、in30sin B = 2 sin 30 = a Ab . A>B B 为锐角 . B = 45A =180 -(4530 ) =10522例 7已知 MBC 中，22(sin A-sin C) =(a b)s1nB，外接圆半径为 42。ABC面积的最大值解:22 _2 2(sin A - sin C) = (a -b)sinB以2亲一4R2)=(a -b)2R222a -c = ab-b2.2a b2.-c = abcosC 二2,22.a b-c12ab又 0*<C <180°C =60°c 1,1.3 .一 rS = absin C = ab =2.

8、3 sin Asin B' 33cos 2 A = 2 .3sin A sin(120 - A) =2.3sin A(sin120 cosA-cos120 sin A)c. 八八c.2八 3 .=3sin Acos A3 sin A= - sin2A-2=3sin(2A -30 ) 2c 3 3max当 2A = 120° 即 A = 60 时，21 sin2By 二例8在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c依次成等比数列，求 sin B + cosB 的取值范围。解：b2 =ac22222a c -b a c - ac 1 a c 11cos B =-()2ac

9、2ac 2 c a 22ji0 < B -31 sin 2B (sin B cosB) y =sin B cosB sin B cosB=sin B cosB = . 2sin(B )4二_二7一：B一：一 二44122 .一二、一:sin( B) _ 124例9在&ABC中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。解：*设 a=k1, b = k, c = k+1, kN 且 k>1 c是钝角222c a b -c k-4 ccosC =:二 02ab 2（k -1）解得 1 :二 k ：二 4当 k = 2 时，cosC = 1 （舍去）1,- cosC 二

10、 一一当k =3时，41c = arccos（ 一一）4最大角为1 arccos（-）4【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题：1 .在AABC中，一定成立的等式是（）A. asinA=bsinBB. acosA = bcosBC. asinB=bsinAd. acosB=bcosAcos A _ b2 .在 &ABC 中，若 cosB a ,贝U AABC 是（）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形3 .已知AABC中，AB=1, BC=2则/C的取值范围是（）JJEJI JEJ JT（0 , 一（0 , 一）（一，一（1, 一A. 6

11、B. 2 C. 6 2 D. 6 34 . AABC 中，若 J3a =2bsin A,则 8为（）2二5 n nA. 3 B. 6 C. 3 或 3 D. 6 或 65 . aabc的三边满足（a+b+c）（a+b_c） = 3ab,则/C等于（A. 15 B. 30 C. 45 D. 606 .在 AABC 中，ab=3, bc=«3 , ac=4 则边 AC上的高为（）3 23.33A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 37. AABC中，"sinA=sinB” 是 “ a=b'的（）条件A.充分不必要B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要2 _

12、.22 一8. AABC 中，sin A=sin B+sin Bsin C+sin C ,则 A等于（）A.30 b.60c. 120d.1509. &ABC 中，B=30口，b=50&, c = 150,则这个三角形是（）A.等边三角形 B. Rt三角形C.等腰三角形D. 等腰或直角三角形a b c ,=k10.在 AABC中，sin A sin B sin C ，则 k=（）A. 2R B. R C. 4R D.1314 ,则最大角的余弦值为填空:cosC1 .在 MBC 中，已知 a = 7 , b = 8 ,2 .在 &ABC 中，sin A = 2cosBsi

13、nC ,则三角形为 。3 .在 MBC 中，a:b:c=（V3+1）:2,则最小角为 -a2）,贝 U A=-12S - （b c4.若 4 ”3三.解答题:1.在 *ABC 中，BC=a ,AC=b, a, b 是 x2 _2（3x+2 = 0 的两个根，且 2 cos（AB）=1,求（1）角C的度数 （2） AB的长 （3） AABC的面积。2 .在 AABC 中，c=10, A=451 C=301 求 a、b和 B。3 .若2, 3, x为三边组成一个锐角三角形，求x的范围。2 . 22 一4 .在 AABC 中，若 sin A = 2sin BcosC , sin A = sin B

14、+sin C ,试判断 以ABC形状。【试题答案】1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.D 10.A11.7 2.等腰三角形3.45 口 4.30 口1.解:(1)一 ， 一 1cosC =cos二-(A B) - - cos( A B)= - 一2C =1202(2)a、b是 x _243x+2 =0 的两个根'a +b =2向a b = 2_ 2_22 _2AB = AC BC -2AC BC cosC =b22a ab = (a b) -ab = 10AB = 10S ABC(3)1 ，一 .3=一 a bsin C =a c2.解：sin Asin Ccsin A10 sin 45a = = =10.2sinC sin 30b cB=180 J(A + C)=105"b =20sin105' =5(、6. 2)3.解：: AABC为锐角cos A 0，cosB >01Posc >0且 1<x<522 +32 -x2 >0一一一，2_32 +x2 -22 >0x <13'_2 _x2 +22 -