江苏版高考数学一轮复习专题1.6矩阵与变换讲理

1、专题11.6矩阵与变换【最新考纲解读】内容要求备注拒阵与变 换矩阵的概念对知识的考查要求依次分为了解、理信、塞握三个层次（在表中分别用A、B、C表小）一要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相 关的商单问题-驻;要求对所列知识有较深刻的认识，并熊解决有一定琮 制蜘间随莘握;要求系统地茎握知识的内在联系，并熊解决综合性较强的或较为困难的问题.二阶矩阵与平面问里常见的平囿变拱矩阵的复合与矩阵 的乘法_二阶逆主印车二阶矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的简单应用【考点深度剖析】1 .江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征

2、向量的复习2 .加强训练，提高推理和运算能力 .矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题【课前检测训练】【练一练】-121 121.已知矩阵A= , B=以 ,向量a = J x, y为实数.若Aa = Ba ,求x+ y的值.解由已知，得Aat B<x=2+y4-y2+2v.2+xy2+»4-v，"U"- 2+&=2+p,1 解得2+孙=4 - y.X，所以x+v=l y=4.-102.已知矩阵A= 1,02B，0求矩阵A 1B.a b解设矩阵A的逆矩阵为 c d一LE

3、011故 a= - 1, b= 0, c= 0, d= 2,从而A的逆矩阵为所以A 1B=-11 0 200-1 -2_0 313.已知矩阵A=,0B_ 1* _0,若矩阵AB 1对应的变换把直线l变为直线l ' : x+y2 = 0,求直线l的方程.1因为B=0所以所以B 1_1B -1。AB 1-2-21 n2J L0-22.设直线，上任意一点0，7)在矩阵四r对应的变换下为点(H, y ),1 -2_0 2所以E ILU 一%，代入，得(工2历+-2=口, 化简后得h=Z故直线，的方程为x=2.0 aa i(i =1, 2)是非零的4 .已知矩阵 M= |满足：Mai=Xia,其

4、中入i(i=1,2)是互不相等的实常数,1 _b 0平面列向量,解 由题意,:入9 T-a 2=入一 ab= 0的两根,因为入1= 1,所以ab=1.又因为Ma 2=入2 a 2,所以j L入2 lib0 _1. Ina=入 2,从而V ，b=入 2.所以入2= ab= 1.因为入1W入2,所以入2=1.从而 a= b= 1.故矩阵M=01-10-1 a c5 .已知a, bC R,矩阵A=所对应白变换TA将直线x y1=0变换为自身，求 a, b的值.b 3解 设直线x y1 = 0上任意一点P(x, y)在变换Ta作用下变成点 P' (x' , y'),因为尸3 因

5、)在直线九-1=。上,所以 乂一y，- 1=0,即（1 母x+缶- 3）y- 1 = 0.又因为PCg 0在直线工-厂1 = 0上，所以X-厂1=0.因此-1-&= L解得d= 2,b=f【题根精选精析】考点1：矩阵及其变换“1 0【1-1】已知矩阵A= 0 2112若矩阵AB对应的变换把直线l : x+ y2 = 0变为直线l ',求直【答案】4x+y-8 = 0. i【解析】易得AB= 一0,在直线l上任取一点P(x' , y'),经矩阵AB变换为点Qx, y),x则卜-y11x' +1 2y_0 22y',1 ,x = x +2Y，x

6、9;y2'y=2y，,1 y代入 x +y 2=0 中得 x 4y + 2-2=0,直线l '的方程为4x+y8=0.【1-2】求使等式心5 |0 1110成立的矩阵M1 2【答案】，3 -5一【解析】设M= m n 1_p q2 4 N 0 -I0 -2m -2nH则 L =Ml=3 51。11。 t上一q .m= 1,n=- 2,p= 3,q=- 5,2m= 2, -2n=4, p= 3,1q=5,12即M= 3 5111【1-3】已知矩阵A=，2 1，向量3 =2 .求向量00，使得A a廨析】煽T :口卜M设G"3工+8=1, 从用4x+3y=2解得m=-1.

7、 j=2,所以6【1-4】在直角坐标系中，已知 ABC勺顶点坐标为A(0,0) , B(2,0) , C(2,1),求 ABCS矩阵 MN乍用下变01-0-12102换所得到白图形 A B' C'的面积，其中 M= 0【答案】4【解析】解：因为 ABCS MN乍用下变换为 A' B' C ,N 0-0-11 P -21且吊1|=0 2 |M 020所01L SOr -2vl r即 A' (0,0) , B' (0,4) , C' ( 2,4).可得 S>AA，B，C = 4.所以 ABCE矩阵MN乍用下变换所得的图形的面积为 4.【

8、1-5】在直角坐标系中，已知椭圆 x2+ 4y2=1,矩阵M=，: 1 N，j求椭圆x2+4y2=1,在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积.【答案】兀.由解"m:h: a-设（工Q,加）为桶圃/+4炉=1上任一点，它在ACV的作用下所对应酶点为（再y）,忙,忙我人工3+4*=1,将三+F=1 口，在矩阵mN乍用下变换所得到的图形的面积为兀.【基础知识】1.乘法规则 行矩阵an 加与列矩阵j11 勺乘法法则: b21bn |an 加 J =a11bn + a12b21. b21aiiai2(2)二阶矩阵J ?21a22X0t列向量的乘法规则:311312_321322p0力1次0+日

9、2丫0Jy°i321x0+ 322y0_(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下:311312 111b12"311b11+ 312b21311b12 + 312b22021322 21b22_尸2心11+ 322b21321b12+ 322b22_(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(5) AkAl=Ak+l, (AllnAk1其中 k, l C N*).(AB) C= A( BQ .2.常见的平面变换(1)恒等变换：因为该变换把点一一1(x, y)变成(x, y),故矩阵9等变换.(2)反射变换：因为该变换把点(x, y)

10、变成(x, y),故矩阵1轴的反射变换；类似地，归射变换.1分分别表示关于x轴、直线0x和直线y= - x的反(3)伸缩变换：因为一0该变换把点(x, y)变成点(x, ky),在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵：':I表示 匕轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵：可以用来表示水壬伸缩变换.(4)旋转变换:把点A(x, y)绕着坐标原点逆时针旋转a角的变换，对应的矩阵是_sinCOS a一sincos a(5)切变变换:x i_ ?+sy-y .Il y示的是沿x轴的切变变换.沿y轴的切变变换对应的矩阵是(6)投影变换:该变换把所有横坐标为11x的点都映射到了点(x,

11、 0)上，因此矩阵 ,01的是x轴上的投影变换.类似地,o o,示的是y轴上的投影变换.【思想方法】1 .通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点), 求解时应注意待定系数法的应用2 .伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次 的复合.3 .在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前 后的变量区别清楚，防止混淆.2 .曲线（或点）经过二阶矩阵变换后的曲线 （或

12、点）的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式.【温馨提醒】1.矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等.3 .矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律.考点2:特征值与特征向量3【2-1若矩阵M=_03，。,求矩阵MN勺逆矩阵.【解析】解:,.M=4 0为一伸缩变换对应的矩阵, .0 2121又. N=-0121也为一伸缩变换对应的矩阵,-3201由矩阵的性质知(MN1=M 1M120_01【2-2】已知矩阵1 2一 M=M一个特征值为3,求其另一个特征值._2 x1.【解析】解：蛭阵W的特征蛆阵为2-1 22 Ax

13、其将征多项式为。一1解一0一（一2/（-2）. 由题意：（31）（3 工）一4=0,二 lf=1 2_2 1.由。-1)口一1)一 (一 2)X(2)=0 .解得；_=3 聿 2 = 1.矩阵Af的另一个特拉值为-1.,求 A4B.【2-3】给定矩阵A= 11 1 2 ! B=14'_31451 咯案一 1131【解析】解：设 A的一个特征值为 入，由题知=0,得一2),3)=口，JLi=2t h=3t当;11二2时，由当Ai=3时，由由于5=2超 1-1金,殍/的鸟于特拉值2的特征向量凿=；得月的属于特征值3的聘加向量败=故总包=4七。14 距）=2（2401）+（312）=3加1+

14、81始=32.o:sa b 山，1【2-4】已知矩阵A= d，若矢1阵A属于特征值3的一个特征向量为"1=1,属于特征值一1的一个特征向量为 a 2 =1【答案】2【解析】解：由矩阵 A属于特征值3的一个特征向量为 “1=.|； L*彳#： ：1匚3.|；,a+ b=3, 即|c+ d=3;由矩阵A属于特征值一1的一个特征向量为“2=11后:-1a- b= - 1, 即.c-d=1,(a=1,b=2, 解得c=2, I 1d=1,412即矩阵A2 12-5 已知矩阵,求矩阵A-B【解析】解-2设矩阵A的逆矩阵为_ a即Il 2 c0- a1从而A的逆矩阵为-10112一 1则|0 2

15、1b= 0, c=0, d=一,2-1所以A-1B=【基础知识】1 .逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设p是一个线性变换，如果存在线性变换(T ,使得(T P = P b = 1,则称变换p可逆,并且称b是p的逆变换.(2)逆矩阵：设 A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA= ABk E,则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称 B是A的逆矩阵.(3)逆矩阵的性质性质：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则性质：设 A B是二阶矩阵，如果A, B都可逆，则A的逆矩阵是唯一的.AB也可逆，且(A§t=bTaT.当且仅当 det A= adbcw0.a b_(4)定理：二阶矩阵A

16、=.|可逆,_c d2 .逆矩阵与二元一次方程组ax+by=e,:a b(1)定理：如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵A= 可cx + dy=f_c d J逆，那么该方程组有唯一解ax+ by= 0,(2)推论：关于变量x, y的二元一次方程组 <其中a, b, c, d是不全为零的常数，有非cx+ dy= 0.a b零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式=0.c d3 .特征值和特征向量a b设矩阵A=，如果存在数 入以及非零向量E ,使彳导AE =入E ,则称入是矩阵A的一个特征值,_c dE是矩阵A的属于特征值 入的一个特征向量.4 .特征向量的性质设入1,入

17、2是二阶矩阵A的两个不同特征值，卫2是矩阵A的分别属于特征值入1,入2的特征向量，对于任意的非零平面向量”，设a =tiE i + t2± 2(ti, t2为实数)，则对任意的正整数 n,有A1" =ti入支1n+ t 2入222.【思想方法】1 .求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法：a b设A是一个二阶可逆矩阵,AB= BA= E2;_c d(2)公式法：-d b-j.a b , .» . 1 I而两| A| =ad- bc,有 A =,c d| - c a-|aT |A|当且仅当| A wo；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵；(4)利用逆矩阵的性质(AB 1 = B 1A 1.2.求特征值和特征向量的方法bx的特征值 入满足(入一a)(入一d) bc=0,属于 入的特征向量 a= J满足d_y入x.-y(2)求特征向量和特征值的步骤:解f (入)=0得特征值;入一a x by= 0,解”?(入-a)x-by= 0,取x= 1或y= 1,写出相应的向量.cx 入d y=0【温馨提醒】1.逆矩阵的求法常用待定系数法.AB= ACn11 入 1 a 12 .若A, B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有