河南省郑州市2020届高考数学三模试卷(文科)(有答案)(已纠错)

1、/2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.若集合 A=x|x x20, B=x| （x+1） （m x） 0,贝 U m 1是AC Bw ?”的（）A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A. 20B. 30C. 40 D. 503 .已知z=m- 1+ （m+2 i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A.

2、 （T, 2）B. （-2, 1）C. （1, +8）D.（一巴2）4 .中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹， 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形 式，如下表：1 2 34 5 6 7 8 9纵式1 II IIImi urntt Trim55 式 三至_L上金生1表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相6613用算筹表不间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如就是：_L T 一此则5288用算筹式可

3、表示为（A.三：二L b-H 一 H二c二/5 .已知C.D.26.已知f (x) =2x+m,且f (0) =0,函数f (x)的图象在点A（1, f （1）处的切线的斜率为3,数列f(n)的前n项和为S,则S2019的值为（）A.20172018B.20142015C.20152016D.201620177.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（A兀 - 兀兀 C 兀A.B. C D ：乙oo乙8 .已知等比数列an,且a6+a8=4,则as （a4+2as+a8）的值为（）A. 2B. 4C. 8 D. 169 .若实数 a、b、c0,且（a+c） ? （ a+b） =6-2加，

4、贝U 2a+b+c 的最小值为（）A.泥 T B.优 +1 C. 2 立+2D. 2在-22210.椭圆工+，=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点 M N,当 FMN的周长最大时， FMN的面积5 4A ：. B.一 C.一 D.11.四面体 A- BCD中，AB=CD=10 AC=BD=2。，AD=BC=2/7五，则四面体 A- BC3卜接球的表面积为 （A. 50 兀 B. 100 兀C. 200 兀D. 300 兀12 .已知函数f (x)用)也巴(省逶二/)吧，且f=()A. 2014B. 2015C. 2016D. 2019二、填空题（每题 5分，茜分20分，将答案填在答题纸上

5、）x+y-3013 .设变量x, y满足约束条件：,则目标函数z=x+2y的最小值为 .2工）-34014 .已知向量；二加，3）,1）,若向量：，1的夹角为30 ,则实数 m=.515 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知b=-a, A=2B,则cosA=. TT艮匚b.16 .在 ABC中，/ A=,。为平面内一点.且|赢|二|而|二|五| ,M为劣弧标上一动点，且加二p6?+q江.则-jp+q的取值范围为.三、解答题（本大题共 7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列an是等差数列，首项 a1=2,且a3是a2与a4+

6、1的等比中项.(1)求数列an的通项公式;2(2)设 bn=(门+3)( a +)，求数列bn的前 n项和 Sn.18 . 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过 35微克/立方米.某城市环保部门在 2013年1月1日到2013年4月30日这120天对 某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数(天)第一组(0, 3532第二组(35, 7564第三组(75, 11516第四组115以上8(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？(II)在(I)中所

7、抽取的样本 PM2.5的平均浓度超过 75 (微克/立方米)的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115 (微克/立方米)的概率.19 .如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，底面 ABC是等腰直角三角形，且斜边 AB=/ ,侧棱AA=2,点D为 AB的中点，点 E在线段AA上，AE=X AA (入为实数).(1)求证：不论入取何值时，恒有 CDL BE;(2)当入二段时，求多面体 CB- ECM体积.20 .已知点P是圆Fi： (x-1) 2+y2=8上任意一点，点 F2与点F1关于原点对称，线段 PF2的垂直平分线分别与PF1, PF2交于M N两点.(1)求点M的轨迹

8、C的方程；(2)过点G(0,2)的动直线l与点M的轨迹C交于A, B两点，在y轴上是否存在定点 Q使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21 .已知函数 h (x) = (x a) ex+a.(1)若x ,求函数h (x)的最小值；(2)当a=3时，若对？ xi C , ? x2e ,使得h (x。 x22 - 2bx2-ae+e+视成立，求b的范围.22 .以直角坐标系的原点 。为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程为“ X2 4 tC0S , (t为参数，0v。v兀)，曲线C的极坐标方程为psin2。- 2

9、cos 0 =0. y=tsin 0(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点，当0变化时，求|AB|的最小值.23 .已知函数 f (x) =|x - 5| - |x - 2| .(1)若？ xC R,使得f (x) w m成立，求m的范围；(2)求不等式x2-8x+15+f (x) W0的解集./2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 A=x|x x20, B=x| (x+1) (m x) 0,贝 U m 1是AC B

10、w ?”的()A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】集合A=x|x - x20=(0,1).对于B：(x+1)(m- x) 0,化为：(x+1) (x - mD0= (0, 1),对于 B: (x+1) (m- x) 0,化为：(x+1) (x-m) - 1,解得-1 v x v m,即 B= ( - 1, m).mK 1 时，解得 mKx 1 ? AC Bw ?,反之不成立，例如取 m=.“m 1”是“An BW?”的充分而不必要条件.故选：A.2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的

11、方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取()A. 20 B. 30C. 40 D. 50【考点】B4:系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可.【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为 煞=30.-U V故选：B.3 .已知z=m- 1+ (m+2 i在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m的取值范围是()A. (T, 2)B. (-2, 1)C. (1, +8)D.(一巴2)【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出.【解答】解：z=m- 1+ (m+2 i在复平面内对

12、应的点在第二象限，/，m- 1v0, m+2 0,解彳导-2 |MN| ,可得当直线x=a过右焦点时，12=1 ,解得y,即可得出此时 FMN勺 4面积S.【解答】解：设右焦点为 F,连接MF , NF , | MF |+| NF | |MN|,当直线x=a过右焦点时， FMN勺周长最大.由椭圆的定义可得： FMN的周长的最大值=4a=4证.c=北一4=1, a6+a8=4, a8a4+2a8a6+a82= (a6+a8)2=16.故选D.9.若实数 a、b、c0,且(a+c) ? ( a+b) =6-2加，贝U 2a+b+c 的最小值为()A.脏 TB.加 +1C. 2M+2D. 2在-2【

13、考点】7F:基本不等式.【分析】根据题意，将 2a+b+c变形可得2a+b+c= (a+c) + (a+b),由基本不等式分析可得 2a+b+c= (a+c)+(a+b) n 2V(a+三)(a+b)=24,计算可得答案.【解答】解：根据题意， 2a+b+c= (a+c) + (a+b),又由 a、b、c0,则(a+c) 0, (a+b) 0,贝 U 2a+b+c=(a+c) +(a+b) n 2VQ+c j (立+!=2013 .设变量x, y满足约束条件：*xy+l0 ,则目标函数z=x+2y的最小值为 42乂/-340【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为

14、直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求 得最优解的坐标，代入目标函数得答案.(上+v- 30【解答】解：由约束条件 卜寸+10作出可行域如图,I 2冥寸-30,解得A (2,1),2乂力-3二0 x+y-3=0z=x+2y 为 y化目标函数 由图可知，当直线 y=-等后过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4.14 .已知向量；二加，3），二行，1），若向量;，工的夹角为30 ,则实数m=加.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值.【解答】解：. （叫3）, 二距,1）,向量二工的夹角为30。， WMm+

15、3=Jm?+9?2?cos300 , 求得匹加, 故答案为：灰.r715.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c,已知b=a, A=2B,则cosA二 支 .【考点】HP正弦定理.【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB上，进而利用二倍角的余弦函数公式即5可计算得解.【解答】解：= A=2B,sinA=sin2B=2sinBcosB ,由正弦定理可得:a 8 sinA 2sinBcosB5 sinbsinB=2cosB . cosB=5cosA=cos2B=2cos 2B- 1 =16.在 ABC中，/Ar, O为平面内一点.且|忝日而|二|五|

16、 ,M为劣弧衣上一动点，且赢二p而+。瓦.则 p+q的取值范围为.【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r,对iii=p7S+qR两边平方，建立 p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围.7T97T【解答】解：如图所示， ABC中，/ Ar,，BOC=；设|赢|=|由|二|五=，则O为 ABC外接圆圆心；加OTPOB+q 最|cf 二：口5-三二；即 p2r 2+q2r 2+2pqr 2cos -=r 2,31- p2+q2- pq=1 ,. . ( p+q) 2=3pq+1;又M为劣弧AC上一动点，0 p 1, 0q2Vp，p

17、qw (啜 2gllI,1- 1 ( p+q) 2w (p+q) 2+1,解得 1 ( p+q) & 4,1 p+qW2;即p+q的取值范围是.故答案为：.三、解答题(本大题共 7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列an是等差数列，首项 a1=2,且a3是a2与a4+1的等比中项.(1)求数列an的通项公式；2(2)设 bn=Q+3)(&+2),求数列bn的前 n项和 Sn.【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式.【分析】(1)设等差数列的公差为d,首项a=2,且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d,再写出通项公式即可，(2)化简bn根据式子的特

18、点进行裂项，再代入数列bn的前n项和S,利用裂项相消法求出 Sn.【解答】解：(1)设等差数列an的公差为d,由a1=2,且a3是a2与a4+1的等比中项.( 2+2d) 2= (3+3d) (2+d),解得d=2,1. an=ai+ (n-1) d=2+2 (n-1) =2n,(2)b=-=1=_1=1 fJL-JLr(n+3)(4+2) (n+3)(2n+2) (n+1) (n+3) 2 n+l n+3,o 1 z 1 1, 1 1, 1 1. . 11 L 111、 52n+5$=+=+=2 2 4 3 5 4 6 n n+2 n+1 n+32 2 3 n+2 n+312 2(n+2)

19、(n+3)18. 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过 35微克/立方米.某城市环保部门在 2013年1月1日到2013年4月30日这120天对 某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数(天)第一组(0, 3532第二组(35, 7564第三组(75, 11516第四组115以上8(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？(II)在(I)中所抽取的样本 PM2.5的平均浓度超过 75 (微克/立方米)的若干天中，随 机抽取2天，求 恰好有一天平均

20、浓度超过115 (微克/立方米)的概率.【考点】CR古典概型及其概率计算公式；B3:分层抽样方法.【分析】(I)由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；(II)设PM2.5的平均浓度在(75, 115内的4天记为A, B, C, D, PM2.5的平均浓度在 115以上的两天 记为1, 2,列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.【解答】解：(I)这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比公卷4，第一组抽取32 X 1=8天；第二组抽取64X

21、16天；第三组抽取16X 3=4天；第四组抽取8X1=2天4(n)设PM2.5的平均浓度在(75, 115内的4天记为A, B, C, D, PM2.5的平均浓度在 115以上的两天 记为1 , 2.所以6天任取2天的情况有：AB, AC, AQ A1, A2,BC, BD, B1, B2, CDC1, C2, D1, D2, 12,共 15 种记“恰好有一天平均浓度超过115 （微克/立方米）”为事件 A,其中符合条件的有:A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2,共 8 种所以，所求事件A的概率P=当15侧棱AA=2,点D为19.如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1

22、中，底面 ABC是等腰直角三角形，且斜边 AB=/ , AB的中点，点 E在线段 AA上，AE=X AA （入为实数）.（1）求证：不论入取何值时，恒有 CDL BE;（2）当入=工时，求多面体 CB- ECM体积.3【考点】LF:棱柱、棱锥、台的体积；LX:直线与平面垂直的性质.CDL平面ABBA.进【分析】（1）由已知可得CDL AB.再由AAL平面ABG得AA，CD.利用线面垂直的判定可得 一步得到CDL BE;AC=BC=1然后禾1J用（2）当入=2时，AE鸟再由 ABC是等腰直角三角形，且斜边 AB二戏,得VcpECD=J-BCE + ABCE结合等积法得答案.【解答】（1）证明：,

23、 ABC是等腰直角三角形，点 D为AB的中点，CDLAB. AA，平面 ABG CD?平面 ABCAACD又 AA?平面 ABBA1, AB?平面 ABBA1, AA n AB=A CDL平面 ABBA. 点E在线段 AA上，BE?平面ABBA1,CDL B1E;119解：当入=时，AE=yAAh. ABC是等腰直角三角形，且斜边 AB=V2,AC=BC=1SAC1BC：= XX 1X1 乂 工总，1ill9 1D-阪=与皿.,DEC、乂万 乂1乂 1 X 1，20.已知点P是圆Fi： (x-1) 2+y2=8上任意一点，点 F2与点Fi关于原点对称，线段 PF2的垂直平分线分别 与PFi,

24、PF2交于M N两点.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点G(0,工)的动直线l与点M的轨迹C交于A, B两点，在y轴上是否存在定点 Q使以AB为直径 3的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】KS:圆锥曲线的存在性问题；J3:轨迹方程；KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可.(2)直线l的方程可设为 尸kx+得，设A (xi, yi), B (X2, y2),联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点 Q (0, m),使以AB为直径的圆恒过这个点，利用 AQ*BQ = C，求得m=-i 推出 结果即可.【解

25、答】解:(i)由题意得 IMF/+慌 Fzl二愤: |FP| 二 2板馆泮2 |二2，点，点M的轨迹C为以Fi, F2为焦点的椭圆 2&=272* 2c=2,2M的轨迹C的方程为=.(2)直线l的方程可设为 尸kx+力，设A (xi, yi), B (x2, y2),联立，产kx+彳，口 ” 可得 9 (i+2k2) x2+i2kx- i6=0.X _L 21It+y e4k16由求根公式化简整理得 xt + x2=工1乂2二一;一-j-, 3(l+2k)9(l+2k)假设在y轴上是否存在定点 Q (0, m),使以AB为直径的圆恒过这个点，则 须，前即市福二JAQ 二(-x , iby J，

26、BQ 二1一Kg，m-y2), 匚，二二三_丁y-v二一二二.二厂门一二.！：一；.3：-，-；=211一二一工工. 一；- -n工-工.，.十二一1 =1 ，- . 1 .=33 99(1+2户)9(1+21?3 忖(18m2T 8) k 2+(9m”6mT5)八-59(l+2kz),fl8m2-18=0 十/日 】 X22 - 2bx2-ae+e+成立，求 b 的范围.2【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值；6K:导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)求出极值点x=a- 1.通过当aw。时，当0vav2时，当a2时，利用函数的单调性求解函 数的最小值.(2)令 f (x);

27、 J-2bK-ae+e+_,对？ x1 e , ? xzC ,使得一2匕叼-以号+号+成立”等价于“f ( x)在上的最小值不大于 h (x)在上的最小彳K”.推出 h (x) minf (x) min.通过当b2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围.【解答】解：(1) h (x) = (x a+1) ex,令 h (x) =0 得 x=a 1.当a - 1 w - 1即aw0时，在上h (x) 0,函数h (x) =(x-a) ex+a递增，h (x)的最小值为 h(-l)=a-e当1va1v1 即 0vav2 时，在 xC 上 h (x) 0, h (x)为 增函数.，h (x)的最小值

28、为h (aT) = - ea 1+a.当 a - 1 1 即 a 2 时，在上 h (x) 2时h (x)的最小值为(1 - a) e+a,当0vav2 e时，h (x)最小值为-ea 1+a. 令 f(it)= k -2bx-ae4e+;r-,乙n1 R由题可知“对？ x1 e ,? x26，使得J”一21式2-3亡+亡+-成立“等价于“f ( x)在上的最小值不大于 h (x)在上的最小值”.即 h (x) min f (x) min.由(1)可知，当 a=3 时，h(x) min=h (1) = (1 - a) e+a= - 2e+3.当 a=3 时，f(x) = x-2bx-2e+-；y-=(ic-b) -b -2e+；T-, xC,当 bw1 时，ftx)min=fCD=-2b-2e+y,i 711由2b-2巴以得与b1矛盾，舍去.上I当1b 2时,f6)=萨点b)二-电左2!e+孕由3)一心得得产冶，与2 时，f&) 1111