高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

1、文档高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1 .双曲线的第一定义：平面内到两个定点Fi、F之的距离之差的绝对值等于定长< 2a<( 0 2a F F2)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值(记作2a),不但要小于这两个定点之间的距离F1F (记作2c),而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个2双曲线。具体情形如下:(i )当2a =0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ii)当2a = 2c时，点的轨迹是两条射线；(iii)当2a >2

2、c时，点的轨迹不存在；(iv)当0 <2a <2c时，点的轨迹是双曲线。特别地，若去掉定义中的 “绝对值” ，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。MF1MF 2| = 2a注2：若用 M表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为<<(0 2a 2c,F1F2 =2c、日口 MFi - MF < F F 。)，即2122 .双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e ( e >1)的点的轨迹叫做双曲线。二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy1220);(1)焦点在 x轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是专业资料文档高中数学讲义之解

3、析几何22(2)焦点在 y轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是t r = 1 ( a 0 b 0 )a b注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在 y轴，主要看实半轴跟谁走。若实半轴跟 x走，则双曲线的焦点在x轴；若实半轴跟 y走，则双曲线的焦点在y轴。3.等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时(即2a =2b),我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为 2 y2人x(0 )注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为2 y2x(0),再结合其它条件，求出 的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进k >k <一步讲，若求得的0

4、 ,则该等轴双曲线的焦点在x轴、中心在坐标原点；若求得的 0 ,则该等轴双曲线的焦点在y轴、中心在坐标原点。三、双曲线的性质 2 一 2 2 y i以标准方程 xu2( a 0 , b 0)为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关x ba结论。x a(1)范围：，即x a或x a ；(2)对称性：关于 x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称;(3)顶点：左、右顶点分别为(4)焦点：左、右焦点分别为A (,0) 、( ,0)i a A 2 a(,0)Fi c 、F ( ,0);2 C专业资料(5)实轴长为2a ,虚轴长为 2b ,焦距为 2c；(6)实半轴 a、虚半轴b、半焦距 c之间的关系为

5、a2b22 ；ax(7)准线：C(8)焦准距:(9)离心率:(1。)渐近线:(11)隹半径八、| IPF1exo a(12)二0且e 1. e越小，双曲线的开口越小;e越大，双曲线的开口越大;aP xo y0PF2ex。 二为双曲线a右支上一点，则由双曲线的第二定义,十通径长：22b2 a2y的准线方程为,渐近线方程为ca注1：双曲线2y2b注2 :双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离？以双曲爰2ax右焦点F ( ,0)和右准线l ： c为例，可求得其焦准距为一2 c_注3:双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成通径是双曲线的所有焦的弦。双曲线

6、的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。1点弦中最短的弦。设双曲线的方程为(a 0 , b 0 ),过其焦点F ( ,0)且垂A(c,直于x轴的直线交该双曲线于A、 B两点(不妨令点A在x轴的上方)，则222b bbAB () 2aaa2B( c, b )a ,于是该双曲线的通径长为四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题(1)关于双曲线的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征,b2弁给出了 “特征值”(指a、b、c的值或它们之间的关系，由这个关系结合2 a2c我们可以确定出b、c的值)时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程；其二,当题目已给出双曲线的标

7、准方程时,我们便能准确地判断出双曲线的位置特征,弁能得到b、c的值。(2)双曲线的标准方程中的参数c是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关;b、c三者之间的关系:b+ 2必须牢固掌握。(3)求双曲线的标准方程，实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数a、b o根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在x轴或y轴上，则以 a、b为未知参数的则以a、b为未知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值(4)有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为2 ny2mx1,但此时(5)<n必须满足条件：mn

8、 0 .与椭圆不同，双曲线中,>c最大，离心率 e 1 ,它除了有准线，还有渐近线，而且渐近线是双曲线特有的性质。对于渐近线： 要掌握渐近线的方程；要掌握渐近线的倾斜角、斜率的求法；会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求出双曲线的方程。> >0, b 0)的渐近线方程可记为 x2y2b方程组只有一个解，即a、 b只有一个值； 若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上,a(6)双暗一yxab双曲线a 0 , b 0 )的渐近线方程可记为别地，等轴双曲线0 )的渐近线方程为x .反过来讲,若已知某一双曲线的渐近线方程为(m , n为给定的正数),则该双曲线的实半轴a与虚半轴

9、b具有关系： a m或b m .(7)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4221证明：设双曲线的方程为一1=(a >0 ,b >0),其左、右焦点为Fijc,0)、F2 ( c,0),a b b yxa渐近线方程为，即 bx ay 0.d则焦点 (，0)Fi c到渐近线bx ay 0的距离=d焦点 2(C,0)2F 一 有渐近线bx ay 0的距离Ib ( c) a 0, 士 b | _a| I f1b c a 0bc222ba ckJbc2cbccbccb显然di d2 b22故双曲线x y1的焦点到其渐近线的距离为a b(8)与椭圆类似，求双曲线的离心率e的值，就是要寻找除2

10、 a b22c这一等量关系之外a、b、c之间的另一等量关系；求双曲线的离心率e的取值范围，就是要寻找 a、b、c之间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方程和不等式的数学思想。【例题选讲】题型:.：咚曲线定义的应用4.若一动点P( x, y)到两个定点i (I H I = Fl_ _ | =(0 a 27 ,求点P的轨迹方程.1,0) F (1,0)W 、的距离之差的绝对值为常数a2解：由题意知,PF PF a(0 a 2 ),2I-2-2F1FPF PF 0PF PF(i)当 a0 时， 1212此时点P的轨迹年线段 F1F2的垂直平、线，其方程为x(ii )当 a 2 时，PF

11、1 PF2F1F2此时点P的轨迹是两条射线，具方程分别为y 0(x1)或 y 0(x1)(iii)当 0 a 2 时，PFiPF2F1F2此时点P的轨迹是以Fi( _i,0/F (i,0)为左、右焦点的双曲线，其中实半轴长为2b焦距c i,虚半轴2 i一 一 2c ( a)2一2a一,所以其方程为2x2a5.方程产h厂 x2 y2J + 7(6)8表示的曲线是()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支解：设P( x, y)是平面内一点，F ( £0)iF2( 6,0) / 一 十、，则方程I'y 26)x 2 y28即为PF2PFi(6)该式表示平面内一点P(x,

12、 y)到两个定点F ( 6,0)、iF ( 6,0)的距离之差等于定长28.显然8 o故由双曲线的第一定义知，点i2P(x, y)的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。6.已知两圆Ci *(4)x,02： (x 4)切.则动圆圆心M的轨迹衣程是,动圆M与两圆Ci解：圆Ci： (x2 y24)2的圆心为C ( 4,0),半径为i2 ；圆 C2 ： (x 4)y22的C都相2圆心为C ( 4,0)2动圆M与两圆Ci、C都相切，有以下四种情况:2(i)动圆 M与两圆_Ci、一C都外切;(ii )2动圆 M与两圆_C、iC都内切;2(iii )动圆 MCi外切、与圆C内切；(iv)动圆2M与圆c内切、与

13、圆 C外切.2设动圆M的半径为MCi由(i )知，MC2；由(ii )知,MCiMC r 22于是由(i )、(ii)可知，点的轨迹方程是线段CiC2的垂直平分线，具方程为 x 0MCi r2 r2 MC2由（也）知，MC i MC (r 2) (r 2)2 28 C C2 - jy ''= 'F=1 2由(iv)知，_,2,_ .立1一 'VMCi rMC 2 rMC 2 MC i(r 2) (r 2)2 2 8 C C¥，8i"飞 一' ''-12于是由（iii）、（iv）有,MCi MC一 2这表明,的轨迹方程是

14、以C （ 4,0）、C （4,0）为左、右焦点的双曲线，其中2ac a222c2, c4, b1614y21即由（iii ）、 （ iv ）可知,占八、M的轨迹方程为14y2114故动圆圆心 M 的轨迹方程是7.已知直线_ykx1与双曲线x解：联立11得,(1kx点（1,0）或（(ii )当 12(2 )k有且仅有一个公共点，则2x22 x22 0 kx kxI=±J,即k1,0）,不满足题意k24(1)( 2)y2时，直线y kx 1与双曲线1有且仅有一个公共时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知,8.已知过点 P(1,0)的直线与双曲线2 y2x4121的右支交于 A、B两点，

15、则直线AB的斜率k的取值范围是 2解：在双曲线 x4y2122b2c2中，a 4,12,a2 b24 12 16a 2,b 2 3,c 4由直线与双曲线的右支交于A、B两点知，直线 AB的斜率k - 0由直线AB过点P (1,0)可知，直线AB 的方程为 y 0 _ k(x 1)，即 y _ k(x 1)设(x ,)A 1 y , B( x2, y ),得(32 x24联立y12 ( k x1)由题设条件及韦达定理，有k )k2x2 x2(2 k12 0 (x 2 )k2x k 24(32)(k22k12)22k>236k144 0>x x1 2k 12 2 k2k2k120解得：

16、2 k故直线 AB的斜率k的取值范围是(2,3)( 3,2)注：对于中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与再爹方程得到一个一元二次方程后，一般有四个结论：二次项系数不为零，判别式 0 ,两交点的横坐标之和小于零， 两交点的横坐标之积大于零；售直线与后右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般也有四个结论：一二次项系数不为零， 判别式0,两交点的横坐标之和 = ' = + = +I9 大于零，两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。文档高中数学讲义之解析几何又 16 4 20

17、专业资料9.已知双曲线(a 0 )的两个焦点分别为Fi、F ，点P为该双曲线上一点,2F1PF290PFiPF2解:在双曲线在Rt年PF2中,PFiPF22224c 4(ai广 4a 2 +4PFiPF22aPFiPF2代入得,2 PF+4)(4a故 PFiPF2(4a 4) 2PF22PFi4a24aPF2 22题型2:求双曲线的方程10.( 1 )与双曲线1一一八 一一 有共同的渐近线，且过点(3,2 3) 的双曲线的方程是(2)与双曲线解:1616(1)设所求双曲线的方程是一 v12故所求双曲线的方程是有公共焦点，且过点(3 2 ,2)的双曲线的方程是916X =(0)则由该双曲线过点

18、(32_3X，q9 16y2y21> >16-4 即(2)设响:双击线鬲方程是则由该双曲线过点 (3 2, 2)22y2 b18a 0,b0 )41 b2(1b22022由、得，a 12, b 8文档高中数学讲义之解析几何4,e42a2专业资料故所求双曲线的方程是11.设m是常数，若点解：在双曲线而由题意知,- + =128F ( 0,5)是双曲线2 x2125故该双曲线的方程是m 16y161的一个焦点，则该双曲线的方程是12.已知双曲线的中心在坐标原点，两对称轴都在坐标轴上，且过15P(3,)4Q(16则该双曲线的方程是ny2解：设所求双曲线的方程为mx1 (mn0)9m225

19、 n16,5)两点,15一、一 P( 3, )则由该双曲线过4)16256161故所求的双曲线的方程是1, (2,3),60tan 602b2 a3Q(,5)25n两点,1 2 x1621,b33x216文档高中数学讲义之解析几何222222专业资料213.已知双曲线 C : Yx221y 经过点（2,3），两条渐近线的夹角为b60 ,则双曲线C的方10程为解：由双曲线C :经过点(2,3),有9 b21由双曲线tan 603bC的两条渐近线的夹角为60,，弁且其经过点(2,3 ),可知"联立故双曲线2C的方程为x14.已知双曲线的离心率等于有公共的焦点,则该双曲线的方程29,1解：

20、在椭圆x9的左、右焦点分别为于是椭圆F (5,0)、15,0)文所求双曲线的离心率c2a2ii于是a 4, 2 c a 5 4 1 b 222故所求双曲线的方程为文档高中数学讲义之解析几何126b226362c 6a专业资料15.与双曲线解：在双曲线a14,b1于是双曲线1有相同焦点,且经过点(3 2,2)七的双曲线的标准方程是162x4 y21中,ai162, C12y21一的左、16据此可设所求双曲线的方程为则由其过点(32,2),有16,b24,c a1 一16 4 20 + 右焦点分别为F (2、5,0)、(2F25,0)2y2b又+C22a220联立212, b 2 2故所求双曲线的

21、方程为16.已知双曲线在抛物线224x解：由y由抛物线a1842 b212yb的准线上,y20,b0)=V =的一条渐近线方程是则该双曲线的方程足24x的准线方程为y3x,它的一个焦点文档高中数学讲义之解析几何由、得，a专业资料故该双曲线的方程是y292712题型3:双曲线的性质17.双曲线2x8的实轴长是解：在双曲线2xy28,附中,8b24,8= = =a b2,2 2故该双曲线的实轴长2a 218.双曲线mxy21的虚轴长是实轴长的+ =2倍；则实数解：在双曲线mxy21,即X2 2a2a4a2 b于是有19.解:设双曲线在双曲线2x2ay20）的渐近线方程为3x2y于是该双曲线的渐近线

22、方程为又由题意知，该双曲线的渐近线方程为3x 2y1320.已知点 P和点Q的横坐标相同，点P的纵坐标是点Q的纵坐标的2倍，点P和点轨迹分别为双曲线C1和C .若C2的渐近线方程为y-3x ,则C的渐近线方程为2解：设Ci的方程为2x-2a12y 1b10, b10 ),22xyc2的方程为a 2b21(a2 >0，b2设Q(x0, y ),则由题设条件知,2x。y 0于是由 (P x。,2 )、Q(x0, y )0y0两点分别在Ci和aC2上，有 1 2x024y02b12y02b2双照缱 旦|恸近线方再为."y = 二3x2b2于是故双曲线C2的渐近线方程为题型4:与双曲线

23、的焦点有关的三角形问题21.设F1、F为双曲线21=的两个焦点，点P .在该双曲线上,且满足F1PF90 ,2则 F1PF2的面积为文档高中数学讲义之解析几何x解：在双曲线 42y 12 b2中， 4,1ac2a2 b24 1 5224b PF PF12专业资料a 2,b 1,c于是 F (5,0),F i 2在 Rt F1PF2中,5(5,0)PF1PF2224F F c 122014PFi PF22a 2 2 422PFiPF2PFi2 IPF216代入得,20 PFi PF221620 16二I二 2PF1 PF22 一 1一彳故 S F1PFPF 1 PF 222222.已知椭圆22

24、=221xyaba b 0）与双曲线22x 221m ynm 0, n 0）有公共焦点,+2122F F12PFPF点P是它们的一个公共点.(1)用 b 相 n cos F1PF2；(2)设(，)，求 f (b, n).S F PF1 f b n 2解：（1）在 F1PF2中，由余弦定理有F PF2PFPF2x2222PF1PF2F F ( PF PF ) F F1212122 PF PF12224a 4c 2 PF PF12PFiPF22(PF PF ) F F12122 PF PF12224m 4c 2 PF PF124nPFPFcos4b2 PFPF2bPFPF2bcosF PFPFPF

25、cos2 PFPFPFPFF PF4n2PFPF2nPFPF2nF PFPFPFcos2 PF1PF 2PF1PF 2F1 PF215文档高中数学讲义之解析几何专业资料于是由、有b2 coscos故F PF1 222b22n1 cos F PF 1 cos F PF1F PF n2n cos F PF2(2)由(1)知sin F PF1故 f (b,n)(b)cos2nF PF b n12PF1PF222b22bS F PF222b (b=2cosF PF1PF1题型5:双曲线的离心率计算问题23.已知点(2 ,3)在双曲线心率e为解:点(2,3)在双曲线24b1 cos F PF12PFsi

26、nF PF1(b2y2b9a a b1 又双曲线C的焦距为42c 4c 22 b2 c22n+2n 2 24b2(b2bn0)上,2bn2 2nbnC的焦距为4,则它的离文档高中数学讲义之解析几何于是有a2422a（舍去）a 1 , b 3由、得，a 1或16c故双曲线C的离心率e a24.若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率164专业资料解:2c成等差数列，有a22 2b2a 2c p*ba c2)ac()式两边同时除以或e 1 (舍 去)23e解得:=5故该双曲线的离心率25.若双曲线的两条渐近线的夹角为60 ,则该双曲线的离心率为解：()当双曲线的焦点在

27、 rx轴上时, Vtan30由题意知,于是e此时(i )当双曲线的焦点在y轴上时,2b 33321abtan 60由题意知，a“= J =于是17而e 1此时e 42文档高中数学讲义之解析几何专业资料故该双曲线的离心率为26.已知双曲线的渐近线方程为3x 2y 0 ,则该双曲线的离心率为解：由双曲线的渐近线方程为3x2y 0,3 x2 可知,2b 2 9当a 2时， 4a+2b2a+4 913于是此时该双曲线的离心率2时,2a2b于是此时该双曲线的离心率13故该双曲线的离心率为27.设(0, A.解：由于是方程e(0,71)4则曲线B.(0,tan2c 1322b :一13一 12tanx13

28、132 tan y13132a2 c131313 ,亦即a1的离心率()e的取值范围是C.A 6八 tan 0 0D.(2,)12x tan2 tan y31表示的曲线是双曲线文档高中数学讲义之解析几何2专业资料12在双曲线 tanx2x2y tan 1, 即 tany21tan112bc a b tan t2222antan ,tan1中，2tantan18于是(0,tan7T2tan1tantantan又双曲线的离心率28.已知Fi、sinMF与x轴垂直,解：(法一)MFiMF1sin又MF2 F1tan MF 2 F1sincos2 2于是MF1122 二tantanF是双曲线2MF2

29、F1MFF2 1MF F2 12c12tan2y2 b1(a 0 , b 0 )的左、右焦点，点 M在E上,E的离心率为MF1ac220()ac a2又2 c a22b2222a ac cc219文档高中数学讲义之解析几何专业资料(J式两边同时除以e2 (舍去)解得：ee 一 一=2 或 2故双曲线E的离心率e八2c 2c2R sin FMFsin F MFe 一a 2aMF MF 2 Rsin MF F 2Rsin MF FsinMF F1 2sin MF F211 21(3)113故双曲线E的离心率29.设双曲线的一个焦点为线垂直，那么该双曲线的离心率解：设双曲线的方程为则该双曲线的渐近线

30、方程为设 F (c,0) , B(0,b)2R表示MF1F2的外接圆的直径F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线 FB与该双曲线的一条渐近2y2ba 0,b则在该双曲线的两条渐近线中，与直线FB垂直的一条渐近线方程为由FBlk有kFBacacmacac解得:文档高中数学讲义之解析几何202a专业资料故该双曲线的离心率15ve =2题型6:与双曲线有关的综合问题30.若曲线X2 y2 二1与曲线(x0 )恰有三个交点，则a =解：曲线xy2 1表示左、右焦点分别为2,0) , F ( 2 ,0)的双曲线，其左、右顶点分别为A(1+1-J1,0)1 A (1,0广22曲线(X 1)双曲线X22y a

31、+ =y2- -1与时C (1,0),半径为a的圆(X(x1)1) a22y a恰有三个交点22y a与双曲线2于是有31.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点(1)求该双曲线的离心率 e；£2)稻亥双曲线的方程；=,(3)若点M (3,m )在该双曲线上，皿：解：(1)在等轴双曲线中,实轴长y2A的左支交于点(1,0 )1Fi、在坐标轴上，且过点P( 4,10)MF1 MF2=虚轴长，即2a 2b22a b,c a b2a上 2a故等轴双曲线的离心率2a(2)所求双曲线为等轴双曲线可设其方程为又该双曲线过点2 y 2X(0 )P(4,10)21文档高中数学讲义之解析几何a专业资料16

32、10故所求双曲线的方程为26,2 y21x(3)在双曲线x66中,c2a2 b26 6 12于是F (2 3,0),(2 3,0)F2又 M (3, m)MF1("2 3 =37m)， MF2% (2 寸 3, m于是MF1 MF23)( 23 3)()(m2(12 9)m又点M (3, m)在双曲线二y2故MF1MF232.若点O和点F C 2,05分房为双曲星曲线右支上任意一点,OP解：在双曲线0)的中心和左焦点，点 p为该由c 2可知,FP的取值范围是文档高中数学讲义之解析几何于是该双曲线的方程为2x2y1设P(x, y),则由点P在双曲线右支上知，x3OP (x, y) , FP (x 2, y)22215专业资料OP FP x(x 2) y 21)g( x)令二423 xx 12,xwV3,其对称轴为函数g(x)2423于是对任意的 x/+83,)上单调递增3,g( x) g(=-43)3+ 73 2、3这表明，OP FP 3 2故OP FP的取值范围是3+2 3,233.已知椭圆C1 :x2y 1b2(a与双曲线C2：1有公共的焦点，C2a的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于B两点,C恰好将线段1AB三等分,则椭圆Ci的方程为解:由椭圆Ci ：于是椭圆与双曲线2有公共的焦点知,xC1的方程a可化为2x2b，即b ( 2x2b25) y2 b450b