平面镶嵌知识点聚焦

1、平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳.知识点1、镶嵌的认识1 .镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖（或平面镶嵌）.2 .实现镶嵌的条件：用多边形拼地板，即能拼成一个既不留下一丝空白，又不互 相重叠的平面图形的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于 3600.平面密铺的含义：平面图形的形状、大小完全相同上）拼接后彼此之间不留 空隙，不能重叠；若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成 3600，则

2、这些平 面图形就能密铺.知识点2：实现平面镶嵌的常用方法探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形.根据上述限定条件有方程k n-2 180 =360, n一一一1 2k 4整理，得 kn-2k-2n=0,即 n = -2 = 2 .k-2 k-2n,k皆为正整数，一 一.4当 k=3 时，n=2 +=6;3-2一 一.4当 k=4 时，n=2 +=4;4-24当 k=6 时，n=2 十=3;6-2进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况：正多边形的边数一个顶点处正多边形的个数364463探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例，设正三角形有x个，正

3、四边形有y个，根据限定条件有方程600 x + 900 ,y = 3600，整理，得2x+3y=12,x -3得整数解43,即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. y =2,类似可讨论出：用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌；用2个正三角形和 2个正六边形可以镶嵌；用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌，等等.探究三：任意多边形的平面镶嵌取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合， 且同一个顶点处的各个内角之和为 3600。用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的 有任意三角形或任意四边形。知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的

4、值是（）A.3B.4C.5D.6分析:平面镶嵌的必备条件：图形拼合后同一顶点的若干个角的和恰好等于 3600，一个顶点周围两个正方形的角的和是180,那么一个顶点周围的n个正三角 形的角的和为1800,而正三角形的每个内角等于600，所以需要3个正三角形即可， 所以选A.例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形 地板砖铺设地面，在下面的地板砖：正方形正五边形 正六边形正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种分析:本题卡考查正多边形镶嵌的条件.要达到平铺地面的目的，所选用的正 多边形必须满足nx正多边形的内角 =3600 （其中

5、n为正整数）.正方形内角900,4父900 =3600，符合要求，所以正方形可选用.正六边形内角1200,3父1200 =3600，符 合要求，所以正六边形可选用.故选B.例3.下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是（）A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形分析：正三角形的内角度数为600，正四边形的内角度数为900，而 3 600 2 900 =360 ,所以正三角形和正四边形能够铺满地面.正四边形的内角度数为900，正五边形的内角度数为1080，它们组合得不到3600, 所以正四边形和正五边形不能够铺满地面.正五边形的内角度数

6、为1080，正六边形的内角度数为1200，它们组合得不到3600，所以正五边形和正六边形不能够铺满地面.正轮流边形的内角度数为1200，正八边形的内角度数为1350，它们组合得不到 3600，所以正六边形和正八边形不能够铺满地面.综上所述，应选A.例4.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小 明设计两种不同的铺设方案（在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料 的编号）O图甲图乙5 / 5析解:这是一道开放性试题，列举以下四种铺设的示意图供参考例5.如图是某广场用地板铺设的部分图案， 中央是正六

7、边形的地板砖，周围 是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6六个正三 角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依次类推，第8层中含有正三 角形个数是（）A 54 个 B 90 个C 102 个 D 114 个分析：本题是由正六边形、正方形和正三角形构成的平面镶嵌问题. 要求出 第8层中含有正三角形个数，必须根据所给的第1层中含有正三角形个数和第2 层中含有正三角形个数，找到其中的规律方可解决问题.解：根据图形可知，第1层含有6个正三角形，第2层含有18个正三角形， 第3层含有30个正三角形，后面一层正三角形的个数依次比前一层多 12个，所 以第8层中含有正三角形个数6十12M7 = 90个.故选B.例6.如图（1）是一块瓷砖的图案，用这中瓷砖来铺设地面，如果铺成一个 2X2的正方形图案（如图2）,恰好完整的圆共有5个，如果铺成一个3M的正 方形图案（如图3）,恰好完整的圆共有13个，如果铺成一个4必的正方形图案 （如图4）,恰好完整的圆共有25个，如果铺成一个10M0的正方形图案，恰好 完整的圆共有个.(1)(3)(4)解析：本题是用一种特殊形状的瓷砖铺设地面，随着正方形图案面积的增大， 出现的圆的个数依次增多，其中呈现出一定的规律.认真分析，你会发现，在图（2）中，小方格内的圆有22 =4个，在交叉处的圆有12=1;在图（3）中，小方 格内的