河南省郑州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

1、河南省郑州市2019-2020学年度上期期末考试高二数学（文）试题卷注意事项：本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效，交 卷时执只交答题卡。第I卷（选择题，共 60分）选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1.命题"3x0 e R.x： = x/的否定是A.五:.三 R ： J :、： B.三、，C. 1- . " i : 'D. 一 二【答案】D【解析】【分析】由特称性命题的否定

2、是全称命题，即可得到答案【详解】由题意，根据特称性命题的否定是全称命题，所以命题命题,归沟石区与工二问11的否定是"E艮,故选D.【点睛】本题主要考查了特称命题与全称命题的关系，其中熟记特称命题与全称命题互为否定的关系是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题2 .已知数列4是等比数列,且每一项都是正数,若 电=1用加9=3,则10禺的值为A. 9 B.C. 士工 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，求得解得q"1'=3,进而可求解为。1。的值，得到答案.【详解】由题意，数列靖是等比数列，且每一项都是正数，若 为 = L%o】

3、9=3,所以 : 刈靠解得/%=3,所以/%而卜刈广"q =3"""则力仙=宜3项=1= 故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用去，其中解答中熟记等比数列的通项公式，求得/0招=3是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题3 .在 ABC 中，若 sdnA-siri七 3 sin*C ,则 AABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】试题分析：由AABC中，若adAfn，1 a s in±C ,根据正弦定理得 ?-b2 =- cW > ?-i b：,所以b二十匕

4、之一且之8m =<0,所以角A为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选 C.2bc考点：三角形的形状的判定.4 .双曲线/3x° = g的渐近线方程为A. . '、'二 L' B. 门三不 一。C. -:匚 D.: 一。【答案】C【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再将 1化为0,将方程化简可得到结果.2 22 2【详解】双曲线 y23X2=9化成标准方程为 二土=1,所以渐近线方程为 匕-土 = 0,化简得9 39 3后土 y= 0.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了已知双曲线的标准方程，求渐近线方程的应用，直接将标准方程的1变为0化简即可.5 .已知

5、 ABC中，满足a = b = 2/B = 3/，则这样的三角形有A. 0个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案【详解】由题意，在 AABC中，满足a =asinB = ".个II .： ' I ''.所以这样的三角形有 2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定 理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基 础题.6 .已知两点Fi(-ZO)、玛(2.0),且耳卜是PF】与

6、PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程为()2，22222A 乂、y.乂 y' 八 x' y- X" yA. 一 B. 一 1 C.| D. 438416 416 12【答案】D【解析】由题设可得 呻 |PF=2|F冉=8 ,即=16,1? = 16-4 = 12 ,应选答案D。I ,7 .抛物线y =一k的焦点坐标是8X/ 1 A.B.C. i。D. I-'.： 32/I 32 /【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标，得出答案.【详解】由题意，将抛物线的方程化为标准方程为x2 = -8y ,所以2P =

7、8 ,所以：=2 ,又因为抛物线的开口向下，I 1所以抛物线y=一£T的焦点坐标为 -2),故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中年将抛物线的 方程化为标准方程，确定其开口方向是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础 题./x-y t 2mo8 .实数x, y满足 x + y> 0贝U" 3k-),的最小值是A. -4 B. -2 C. 0 D. 4【答案】A【解析】【分析】 作出不等式组对应的平面区域，由 z = 3x = y,得y = 3x-z,平移直线y=.3x-z,结合图象，得出当直线过点A时，目标函数取得最小值，

8、即可求解【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y = 3x-?经过点A时，此时直线y = 3x - z的截距最大，此时目标函数取得最小值,正确作出约束条件所表示的平面区域，结合图象判定得出目标函数的最优解是解答的关键,其中解答中着重考查了推理与计算能力，属于基础题9 .已知函数的图像如右图所示，那么函数 f(x)的导函数图)的图像最有可能的是下图中的A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由原图象可知，原函数在（-甩-2）上增函数，在（-2,6上为减函数，在（口,十刈上为增函数，再由原函数的单调性与导函数符号间的关系，即可得到答案【详解】由原图象

9、可知，原函数在（-风-2）上增函数，在（-工5上为减函数，在,十上为增函数，可得寅、）在一鬼-2） U （0,十上大于0恒成立，在（-2,0）上小于0恒成立，则函数f（x）的导函数（仅）的图象最有可能是 B,故选B.【点睛】本题主要考查了利用原函数的图象研究导函数的图象问题，其中解答中熟记原函数的单调性与导函数的符号之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.48x10.设p：f（x） =-x-mlnx在I。I内单调递减，q；ni 3 G对任意x>0恒成立，则p是q的3 x + 4A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案

10、】B【解析】【分析】由题意，根据函数 的0=£-小成在（。1内单调递减，求得P：m3g ,再利用基本不等式，求得q：m之2,即可判定P是q的必要不充分条件，得到答案 .4 4 m【详解】由题意，函数f（x） = -x-mlnx,得= 33 x又由函数f（x） = 丁 - minx在我1内单调递减，4 m则式x） = -工0在xE®l|上恒成立，可得m三一在XE 91上恒成立，3 x34 4所以即2g ；m > -7； =< -= 2因为当x > 0时， 乂工十4 44,x + 2 x-x q x又m兰-对任意x >。恒成立，所以m孑2 ,即q:m &

11、gt; 1,x + 4所以p是q的必要不充分条件，故选 B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用基本不等式求最值和充要的判定问题，其中解答中利用导数和基本不等式正确求解命题p、q是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 .211 .已知A、B分别是椭圆匕=的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则 4ABC面积的4最大值为A.二-.B.C.：2忌 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得|AB| =由和直线AB的方程为2x-y + 2 = 0,设C(c。蛇|21砌，利用点到直线的距离公式，求得4M,即可求解面积的最大值，得到答案.2【详解】由题意，AB是椭圆的左

12、顶点和上顶点，所以 A(-L0),Ei(0Z/A13l = 4 ,4直线AB的方程为2x-y + 2 = 0,又由C是椭圆上的动点，所以设 03621716),则由点C到直线AB的距离4|2cos0-2sin0 '+ 2|7E当31n(日-/ = -1 时，q.II 厂所以丸BC面积的最大值为 名ABC = -|AB|dmax = 3 飞【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用 椭圆的方程，及点到直线的距离公式求解 4帆是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算能力，属于中档试题 .12 .对于函数下列说法正确的有f（x）在x= 1处取得极

13、大值f（Kj有两个不同的零点；5 冗 eA. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】【分析】由题意，利用导数求得函数的单调区间，得出函数的极值，即可判断；由 f（x） = 0可判断;由Rx）在XA1递减，可判断，得到答案 .【详解】由题意，函数£付=三,可得函数f（X）的导数为f'（K）=W，XS,当X"时，f（x）单调递减；当时，上f（x）单调递增，可得函数f（x）在x= 1处取得极大值，且为最大值所以正确；C又由f（6 = o,且函数还有一个零点0,所以错误；由Rx）在xni递减，且4X%3,可得f（4）， /，所以正确；寓 2由Rx）

14、在XA1递减，且7LA2>I,可得:亡.，即礼一父2-6，所以错误，故选 B. 汽 A e e【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用第n卷（填空题和解答题共90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知数列%；满足电=1, %十=%1-SEN*）,则=【解析】1 I 11 111办F = 11/为 % = ；

15、一:一%一%-1 = ；'一，累和得 311al =1一乙匹=2 22 Jn-l nnn考点：累和法求数列的通项公式【方法点睛】本题考察的是由数列的递推公式求通项公式，此类题型是数列章节的重点，常见的求解方法有如下几种：累和法，适用于%+ = +£（口）的形式，累乘法，适用于%+-%.£（）的形式，构造法，适用于%+ =%-<1的形式，适当的配凑常数使其变形为+转化等比数列十*求解，形如4+ = p/+十的递推公式可两边同除以指数式转化为%+ = P%-盯的形式，形如/十=3的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为q4+i%+:p% 一盯的形式14 .函数f(x

16、) = x3 + 3ax2 + 3(a + 2)x + 1有极大值又有极小值，则 a的范围是。【答案】【解析】【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解a的取值范围即可.【详解】由题意可得：f(x) = 3x'+6ax- 3(a-b2),若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程3:? I 6ax卜3(a I 2) = 0有两个不同的实数根，即：A = (6a)2-4x3x3(a r 2) > 0,整理可得：整理可得：36 值十 1乂52)0,据此可知a的取值范围是3>2或；1式-I.【点睛】(1)可导函数y= f(x)在点xo处取得极值的充要条件是

17、f ' (xo)=0,且在xo左侧与右 侧f' (x)的符号不同.(2)若f(x)在(a, b)内有极值，那么f(x)在(a, b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.15 .某船在行驶过程中开始看见灯塔在南偏东3伊方向，后来船沿南偏东75的方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 海里。【答案】【解析】【分析】以O点为原点建立直角坐标系，利用方向坐标和直角三角形的边角关系，即可求解船与灯塔的距离，得到答案.【详解】以O点为原点建立直角坐标系，如图所示，设南偏东3d方向为射线OM船沿南偏东 方。方向航行15海里后到达A点，过点A作x轴平

18、行线，角丫于点D,角OW B点，000D则,g、j015（而一在）所以 OD = OAcos75 =,4冒AD 一0 15（而+物又 siMDOA , 所以 AD = OAsiji750 =,OA4P 0- RD Ki一 一 一。15 在一5#又乙DOR = 3。，tandDOB =一,所以 BD = ODtan3。=,OD4所以A13 = AD-BD = 5#海里.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，解三角形实际问题或多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，

19、在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果x2 2x2216 .设瓦马分别为椭圆Cf+ = （a|0）与双曲线C2：= 1（3产。为0）的公共焦口人电坛点，它们在第一象限内交于点M上FMF2 = 901若双曲线生的离心率3=屹，则椭圆C的离心率句的值为【解析】【分析】 利用椭圆与双曲线的定义，列出方程组，求得 |MFi =，十%囚仟=%一,再由勾股定理，得出离心率的方程，即可求解 .【详解】由椭圆和双曲线的定义，可得|MFi+IMF=2%小正心正=2/ ,所以 |MF = % +=电一% ,因为斑白1?2=%所以|

20、MFj+|MF=4c1即（w十,了;九、即a；斗=c11又由%,即有-+-=2, 叼 与自因“坐116q所以孑1可得先：【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的简单的几何性质的应用，以及曲线的离心率的求解，求曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：利用u = *定义求解；根据一个H.条件得到关于a工用的齐次式，转化为设的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得“£的取值范围）.三、解答题：本大题共 6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。F V217 .已知P： 4-=表示双曲线，q：Vx G 日>口，若p£q为真，

21、pAq为彳w，求实数aa + 2 a-2的取值范围。【答案】Ml <a<2a<-2【解析】【分析】由题意，分别求解命题 p、q,再根据pVq为真，pAq为假，得到p.q一真一假，分类讨论，即可 求解.【详解】由 p 知,（a +2）（a - 2）<0, . . -2<a<2.若q成立，则a三:？恒成立，即a< 1.由于pVq为真，p八q为彳田，可知p,q 一真一彳田.若真口假，则二3；'：A<<2-若P假q真,则片泮泮?.心.2；综上可知，所求实数 a的取值范围是a|l <a<< -2.【点睛】本题主要考查了利用复

22、合命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中正确求解命题pq,合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题2 j 2-. cz r ，、，八 r, 口 ，+ b-c" 2sinA-sinC18.在AABC中，角 AB, C的对边分别是：a,b,c且=.absinB（I ）求角B（阴若3ABC的面积为机，求边b的取值范围。TT【答案】(I) E=g； (口)2,十 b).【解析】【分析】(I)由正弦定理，化简整理得 (/ + *-/)，匕=讪“Ga* = ,再由余弦定理, 即可求解.(n )由三角形的面积公式，求得 ac = 4,再由余弦定理和基本不等式，即可求解【

23、详解】(I)由正弦定理得"二,abi ，一，匕l、a 十 c - b二 H + c - b = 3C ,所以 COsB =一2ac 2又在丸EC中，0 MH兀， 二B = _.31(-31(n ) ,- 3AAec = ，csinB = -tic= 4,由余弦定理得 b2 = a2 - c' - 2accosB = a" + c3 - ac> ac = 4 ,当且仅当h=h = 2时，等号成立.3 b2 2,则实数b的取值范围为2,+ oo).【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理，及三角形的面积公式求解三角形问题， 解答有关三角形的题目时，要有意识地考

24、虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓 住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用 余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.19.已知等差数列 他中,说=hg式%-n),nEN 且的 工叱11.(I)求数列的通项公式；(n)求数列的通项公式及其前 n项和t.1+ n(n I)【答案】(I) 、= ! ；(n) * 1-24一-.【解析】【分析】(I)设等差数列1的公差为d,根据对数的运算，求的 d=l,进而求解数列的通项公式;(n)由(I)求得 % = + 利用等差数列和等比数列的前 n项和公式，即可求解，【详解】(I )设

25、等差数列%的公差为d,由 = 3,% 11.得，=log2(a1 - 1)= Ubj log/a3 -3)-3,二 b. - b = 2d = Z +' d = 1.- 二 1 一(口- l)x 1 = n.,(n )由(1)知4=弭, Idg/% - n) = n, J. 用n = 2”, 1 / = T' - n ,：i-.1_._ 二 二' n .【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，及前n项公式的应用，其中解答中利用对数的运算，求得数列的公差，以及利用等差、等比数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题20.2018

26、年是中国改革开放 40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进人新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌,40年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收一一5 北一益可表示为投放资金 x （单位：百万元）的函数 M（x （单位：百万元）：+乂，处理污 染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数 N（x）（单位：百万元）

27、：城k） = 0.2x.（I）设分配给植绿护绿项目的资金为x （百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y,写出y关于x的函数解析式和定义域。（n）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？50x【答案】（I） y =#0.2（100-0,100 ；（n） y的最大值为 52 （百万元），分别投10 + x资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40 （百万元），60 （百万元）.【解析】【分析】（I）由题意可得处理污染项目投放资金为（100-x）百万元，得到N（x） = 0.2（100-x）,进而可得函数

28、的解析式；(n)由(i)可化简的函数的解析式为v = 7o-C- + -),利用基本不等式，即可求解最大10+ x 5值.【详解I (l)由题意可得处理污染项目投放资金为QgrX)百万元,所以 Wx) = 0.2(l00-x),50xy =6三 +0 2(100-x),k E 0,100 .(n)由(I )可得，y =500 x50010 x= 72-( )<72 - 20 = 52,10 + x5当且仅当-. . ： ：10 + x 5此时 l00-x=100-40 = 60.¥的最大值为52(百万元)，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为 40(百万元)，60 (百

29、万元).【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题，正确求解函数的解析式，合理构造利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力21.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线Cry* = 2px(p +0)的焦点F在直线y=x-l上。(I)求抛物线 C的方程。(n)过点(L0)做互相垂直的两条直线hJJi与曲线c交于A, B两点，】口与曲线C交于E,F两 点，线段AB EF的中点分别为 M N,求证：直线 MN±定点P,并求出定点P的坐标。【答案】(I) / = 4x;(n)直线YN过定点P,其坐标为(3,0

30、).【解析】【分析】(I)由抛物线C的焦点F在直线y =x-l上，求得焦点的坐标，进而得出p = 2,即可求解抛物线的标准方程；(II)设直线L的方程为y = k(x-l),联立方程组，利用根与系数的关系，求解点的坐标, 分类讨论，即可求解.【详解】(I ) 丫抛物线2pKpn0)的焦点F在直线y = x- 1上,F 为1.0),91即2= 2,X-i抛物线C的方程为y2=4x.(n)易知直线】i，h的斜率存在且不为 0,设直线L的斜率为k,风力必)，则直线 L : y = k(x- I), M(h")， 22由！ y ; 4x 得/n + 4> + k2=0,y = k(x

31、- I),X 产A = (2k：+4)2-41c4= 16k' + 16>O,41- X1 + x2 = 2 + , yi 卜内=k& + x厂 2)=；, kk2 2、+ tf).同理得 N1 十 2kl2k).kk当卜=1或卜=-1时，直线an的方程为x = m；k当k# |且k¥ - 1时，直线YN的斜率为 一-k3- k直线 NN的方程为 y + 2k = (x - 1 - 2k"),即y = (x = 3),I -k2k11直线1v!N过定点P,其坐标为(3,0).【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等1 ,22.已知函数 f(x) = -x i- 2alnx-(a 4 E R z(I)当a = o时，求函数R处在点。网1