高三数学二轮函数与方程教案

1、第五讲函数与方程及函数的应用命题要点：(1)函数零点的概念及判断方法；(2) 一次函数模型；(3)二次函数模型；(4)指数、对数函数模型；(5)对勾函数模型。命题趋势：1 .函数零点是新增内容，也是高考考查的重要内容之一，特别是函数零点与方程的根的关 系问题，此类问题难度不大，但要注意零点存在性定理的灵活运用。2 .函数模型考查的重点是函数模型的建立及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求最值，该部分试题的背景新颖，常与实际生活、社会热点 等问题密切相关，设置问题新颖。最值问题是函数实际应用题求解的重点，掌握各种初 等函数的模型是解决数学实际问题的关键。命题规律：1

2、 .函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，大多与其他知识进行综合考查，题型为 选择，填空，简答题均有。2 .函数是数学的主干，与数列、导数、解析几何、立体几何等都有联系，试题难度较大， 主要体现在函数应用题和含参数的不等式恒成立问题，分离参数后化为函数最值问题。题型分析：类型一函数零点的确定确定函数零点存在区间及个数的常用方法(1)利用零点存在的判定定理；(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解。例1(2012年高考湖北卷)函数f(x)=xcos x2在区间0 , 4上的零点个数为()A. 4B. 5C. 6D.

3、7解析 根据x2的范围判断y=cos x2在区间0, 4上的零点个数.当x=0时，f(x) = 0.又因为xC 0 , 4,所以0Wx" 16.因为5% <16<15所以函数y=cosx2在x2取左，3252?时为。，此时f (x)=0,所以f(x)=xcos x2在区间0 , 4上的零点个数为 6.答案C嫄颔®的！：1.利用零点存在的判定定理时，要找准区间的端：1点，计算准确端点处函数值的正负.：:2.利用数形结合法时，函数图象的关犍点及特准1：要判断准确.：跟踪训练(2012年保定摸底)函数f(x)=3cos弓x log ix的零点的个数是()22A. 2B

4、. 3C. 4D.5 兀解析：把求函数f (x)的零点的个数问题转化为求函数y= 3cos _2x的图象与函数y =log 1 x的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图.2一.兀一 .一 .一 ， . ，-函数y=3cos x的取小正周期是 4,当x=8时，y=log 1 8= 3,结合图象可知两个函数的图象只能有 5个交点，即函数f(x) = 3cos 差一log 1x有5个零点.2飞答案：D方法总结：函数零点个数的判断方法：(1L直接求雯点二金乳x)三_01如果能求出费L则有几个解就直几个雯点;(2)一茎点荏在性定理工利用定理丕仪要求函数在区间 L包,bL上是

5、连续丕断的曲线工一旦一 f(a) f(b)v0,还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个 零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几 个不同的值，就有几个不同的零点.类型二 函数零点的应用问题应用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.例2 (2012年高考天津卷)已知函数y= |x 一1|的图象与函数y=kx 2的图象恰有两个 x -1交点，则实数k的取值范围是 .解析先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解

6、.根据绝对值的意义，|x2-1|V x- 1X+1 (x>1 或x<1), -x- 1 ( 1 w x<1).如图中实线所示.在直角坐标系中作出该函数的图象,根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点.答案(0, 1) U (1 , 4);! L本例易错点是容易忽视了 口 W1,作出图象时；为卖点，从而出现上>0这样的错误.:2,利用零点情况求参薮值或范围的关键是进行:等价转化与构造函数.跟踪训练 已知函数f(x) = ex2x+a有零点，则a的取值范围是解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex 2x+a=0有解的问题，即方程 a=

7、2x -ex有解.令函数 g(x)=2x ex,贝U g' (x)=2 ex,令g' ( x) = 0,得x= In 2 ,所以g(x)在(00, in 2)上是增函数，在(ln 2 , + 00 )上是减 函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2) =2ln 2 -2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，即 ae ( -oo, 2ln 2 -2.答案：(一8, 21n2 2方法总结：若函数y=f(x)在闭区间a, b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函 数值符号相反，即f(a) f(b)0,满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点.如图，f(a)

8、- f(b) >0, f (x)在区间(a, b)上照样存在零点，而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要.类型三函数的实际应用1 .常见模型：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型.2 .对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.例3 (2012年高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy, x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为 1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-1京1 +k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐MT.米(1)求炮的最大射程；(2)设在第

9、一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由., ，一,一 1解析(1)令y=0,得kx20(1 +k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0, k>0,故20k 2020当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.一.一 .一.122,、(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标 u 存在k>0,使3.2 = ka 20(1 + k ) a成立u 关 于 k 的方程 a2k2 20ak + a2 + 64 = 0 有正根 u 判别式 A = ( 20a)2 4a2( a2 + 64) >0

10、u aw6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.L斛决此类问题时易忽视自变量的实际意义.，本 例中&>0易忽视.2,正确地将实际问题转化为函数模型是解决实：，际应用问题的关键.其步骤为建模f 转化解答f 得i：出结论.I"h A K *>aN*a，£H !*，*0 ， >，> >«»» 通士* » *，*跟踪训练2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用十年均保养

11、费)，该设备购买的总费用为50 000元；使用中每年的固定保养费为6 000元；前x年的总保养费y满足y= ax2+bx,已知第一年的总保养费为1 000年.元，前两年的总保养费为 3 000元，则这种设备的最佳使用年限为1 1 000 =a+b a= 500解析：由题息，得,解得,13 000 = 4a+ 2bb= 5002所以 y=500x +500x.设该设备的年平均消耗费用为f (x),由题意，可知年平均消耗费用为50 000 f(x)= .50 000-卜 6 000+500x+500=500x +6x500>16 500,50 000 , , 一当且仅当500x=时，等号成立

12、，此时 x=10,所以最佳使用年限为 10年.x答案：10方法总结：(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论.析典题(预测高考)高考真题【真题】(2012年高考福建卷)对于实数a和b,定义运算“ *” ： a*b= la - ab' a "b b2 -ab, a b设f (x) = (2x1)*( x1),且关于x的方程f(x)=n(mC R)恰有三个互不

13、相等的实数根xx2, X3,则XP2X3的取值范围是 .【解析】根据新定义写出f(x)的解析式，数形结合求出 m的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解. 由定义可知，(2x 1) x, x< 0,f(x)=，(x1) x, x>0.作出函数f(x)的图象，如图所示.1 .由图可知，当 0<n<4时，f(x) = mmE R)恰有二个互不相等的头数根xi, X2, X3.不妨设X1<X2<X3,易知 X2>0,且 X2+X3=2X 2= 1 ,X2X3<人 I (2x-1)令x<0,x=：'解得*=上2*=印(舍去).1- .3

14、 八-0-<X1<0,4，二3 <X1X2X3<0.16【答案】(L, 0)【名师点睛】本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、 分析问题、解决问题的能力.解答本题的关键在于数形结合确定m的取值范围.考情展望高考对函数与方程及应用的考查多以选择、 填空形式出现，主要有两个方面：一是判断零点 个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题， 着重考查等价转化、数形结合思想 的运用，难度中档以上.名师押题X41【押题】 设函数f(x)的零点为X1,函数g(x) =4+

15、2x 2的零点为X2,右|x-X2|>4,则f(x)可以是()A. f(x)=2x 1B. f(x) = x2+x4C. f(x) = 1- 10xD. f(x) = ln(8x 2)11【斛析】依题,国得gq) = (+/一 2<0,1L 11/xg(2) = i>o,xzc(02).右 f(x) = 110 ,1 一则有x1=0,此时|x1 x2|>4，因此选C.【答案】C经典作业：1. (2011 福建)若关于x的方程x2+ m杆1 = 0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范A. (1,1)B. (-2,2)C. ( 8, - 2) U (2 , +oo)D.(

16、巴1) U (1 , +oo)解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 A >0,即ni-4>0,解得mv 2或m> 2,故选C.答案 C2. (2011 新课标全国)在下列区间中，函数1111.斛析因为化厂e4+4><4-3=e4-2<0f (x) = ex+ 4x 3的零点所在的区间为()B.。，4D.g 3)fG)= e1+4x2一3=e2一1 >0,所以 f(x)xe +4x 3的零点所在的区间为2.答案 C3. ?(2010 福建)函数 f(x) =的零点个数为().x2+ 2x-3, x<012+In x, x>0审

17、题视点函数零点的个数？ f(x)=0解的个数？函数图象与x轴交点的个数.解析法一由f (x) = 0得Xw。，八x>0,八 2*2或*斛得x= 3,或x=e.x +2x-3=0-2+ln x=0,IL因此函数f(x)共有两个零点.4. (2010 天津文)函数f(x) =ex+x2的零点所在的一个区间是 ()A. ( -2, 1)B. ( 1,0)C. (0,1)D. (1,2)答案C解析解法一：本题考查了函数的零点定理和导数.f' (x) = ex+1>0,，函数 f(x) = ex+x 2 在 R上单调递增，又 f(0) =- 1<0, f (1) =e- 1&g

18、t;0,即 f(0) f (1)<0 ,，由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内.5. (2011 山东临沂)已知函数f(x) = (x23x + 2)g(x)+3x 4,其中g(x)是定义域为 R的 函数，则方程f(x) = 0在下面哪个范围内必有实数根()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (2,4)答案B解析.f (1) =0Xg(x)1<0, f(2) =0Xg(x)+2>0,故在(1,2)上必有实根.6. (2010 浙江理)设函数f(x)=4sin(2 x+1) -x,则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的 是()A. -4, - 2B.

19、-2,0C. 0,2D 2,4答案A解析本题判断f (x) =0在区间内是否成立，即 4sin(2 x+1)=x是否有解.如图：515显然在2,4内曲线y=4sin(2 x+1),当x =兀一时，y = 4,而曲线y = x,当x=4兀1-2<4,有父点，故选 A.7. （2011 山东济南）若方程5=x1的解为xc,则x。属于以下区间（）2 3131 -21 -2D.答案B解析构造函数f（x）=匚Xx1,易知该函数是 R上的减函数.8. （人教A版教材习题改编）从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%由各银行储蓄点代扣代收，某人 2011年6月1日存入若干

20、万元人民币，年利 率为2%到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税 138.64元，则该存款人的本金介于A. 34万元C. 56万元D. 23万元解析设存入的本金为 X,贝U x 2% 20%= 138.64 ,x= 1 386 400 = 34 660.40答案 A9. （2012 新乡月考）某产品的总成本 y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是 y=3 000 + 20X-0.1 x2（0<x<240, xCN*）,若每台产品的售价为 25万元，则生产者不亏本时 （销售收 入不小于总成本）的最低产量是（）.A. 100 台 B . 120 台 C . 150 台 D . 1

21、80 台解析设禾1J润为 f（x）（万元）,则 f（x）=25x（3 000+ 20x0.1 x2） = 0.1 x2+ 5x 3 000A0,x>150.答案 C10. （2011 聊城模拟（一）若函数f（x） = ex a 2恰有一个零点，则实数a的取值范围是x解析： 令 f(x) =exa x=0,得 ex=a+x，设 yi=ex,2y2= a+x，分别作出yi、y2的图象，观察图象可知a<0时，两图象只有一个交点.答案：a<011. (2011 扬州市四星级高中4月联考)已知函数f(x) = 2x+x, g(x) = log 2x+x, h(x)=x3 + x的零点依

22、次为a, b, c,则a, b, c由小到大的顺序是 .答案:a<c<b解析： 令 y = 2x, y2= log 2x, y3=x3, y4= x, 图象如图，则 a<c<b.12. (2011 南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品,1 o _成本增加10万兀，又知总收入k是单位产品数 Q的函数，k(Q = 40Q- 20Q,则总利润L(Q 的最大值是 万元.答案2500解析总利润 L(Q=40Q- 2OC2-10Q- 2 00020(Q- 300) 2+2500.故当Q= 300时，总利润最大，为 2500万元.13. ?(201

23、1 武汉调研)在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为：Mf(x)=f(x+1)f(x).某公司每月生产 x台某种产品的收入为 Rx)元，成本为 qx)元，且R(x) = 3 000x2-20x , Qx) = 500x + 4 000( xC N).现已知该公司每月生广该厂品不超过100台.(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数 Mpx);(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.审题视点列出函数解析式，根据函数性质求最值.解(1)由题意，得 xC 1,100,且 xC N*.Rx)=Rx)C(x)=(3 000 x- 20x2) (500x+4 000)2=2

24、0x + 2 500 x 4 000 ,MPx) = P(x+ 1) - F(x) = -20(x+ 1)2 + 2 500( x+1) -4 000 -(-20x2+ 2 500x-4 000) =2 480 40x.(2) P(x) =- 20 I 125 2+74 125当x=62或x=63时，Rx)取得最大值74 120元;因为MPx) = 2 480 40x是减函数,所以当x=1时，MPx)取得最大值2 440元.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.14. ?某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(微克

25、)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后 y与t之间的函数关系式 y=f(t);(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长？审题视点根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长.当t = 1时，由y=4得k=4,0< t <1, (2)由 y>0.25 得，或4t >0.25,，t >1,、0.25.解得16忘t w 5, 179 , 因此服药一次后治疗有效的时间是 5-= 16小时.15. (2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般

26、情况 下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上 的车流密度达到 200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为 60千米/小时.研究表明：当 20WXW200时，车流速度v是车流密度 x的一次函数.(1)当0WXW200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小 时)f(x)=x v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)思维突破首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解.解答示范(1)由

27、题意：当 0WxW20 时，v(x)=60;当 20WxW200 时，设 v(x)=ax+ b,200a+b=0, 再由已知，得,20a+ b=60,1a= -3, 解得200 |b=F.360, 0<x<20,故函数v(x)的表达式为v(x) = :1-ZU(J-x , 20vxW200.360x, 0WxW20,(2)依题意并由 可得f(x) = $13x 2U0-x , 20<x<200.当0WxW20时，f(x)为增函数,+ 2Q0-x210 000一-,当且仅当x=200-x, 3故当x=20时，其最大值为 60X20= 1 200 ;一11当 20vxW200 时，f(x) = .x(200 x) 33即x= 100时，等号成立.10 000所以，当x= 100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值 3综上，当x=100时，f(x)在区间0,200上取得最大值10 000 3 333,即当车流密度为100 3辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.16. (2011 广州模拟)已知函数f(