高中数学-第三章函数的概念与性质函数的概念讲义-新人教A版必修一第一册

1、精选优质文档-倾情为你奉上3.1.1函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域知识点一函数的概念1函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作yf(x)，xA.2函数的定义域和值域函数yf(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的

2、y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(range)显然，值域是集合B的子集对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：AB ”表示A到B的一个函数(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样知识点二区间的概念1区间的几何表示定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|a<x<b开区间(a，b)x|ax<b半开半闭区间a，b)x|a<xb半开半闭区间(a，b2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”；“”读作“负无穷大”；“”

3、读作“正无穷大”3无穷大的几何表示定义符号数轴表示x|xaa，)x|x>a(a，)x|xb(，bx|x<b(，b)关于无穷大的2点说明(1)“”是一个符号，而不是一个数(2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号知识点三同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数教材解难1教材P60思考根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确显然，其原因是没有关注到t的变化范围2教材P63思考反比例函数y(k0)的定义域为x|x0，对应关系为“倒数的k倍”，值域为y|y0

4、反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集Ax|x0中的任意一个x值，按照对应关系f“倒数的k(k0)倍”，在集合By|y0中都有唯一确定的数和它对应，那么此时f：AB就是集合A到集合B的一个函数，记作f(x)(k0)，xA.3教材P66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”以及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应基础自测1下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()AA1

5、,0,1，B0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DA平行四边形，BR，f：求A中平行四边形的面积解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义综上，选A.答案：A2函数f(x)的定义域为()A(1，)B1，)C1,2) D1,2)(2，)解析：使函数f(x)有意义，则即x1，且x2.所以函数的定义域为x|x1且x2故选D.答案：D3下列各组函数表示同一函数的是()Ay与yx3B

6、y1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dyx1，xZ与yx1，xZ解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同答案：C4用区间表示下列集合：(1)_；(2)x|x<1或2<x3_.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则x|x<5，5)(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“”，则x|x<1或2<x3(，1)(2,3答案：(1)(2)(，1)(2,3题型一函数的定义经典例题例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A1,2,3，B7,8,9，f(1)f(2)7，f(3)8；(2)A1

7、,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示；(3)AR，By|y>0，f：xy|x|；(4)AZ，B1,1，n为奇数时，f(n)1，n为偶数时，f(n)1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B

8、的子集2判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应注意A中元素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”跟踪训练1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有() A0个B1个C2个 D3个(2)下列对应是否

9、是函数？x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.解析：(1)图号正误原因 ×x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性同时满足任意性与唯一性×x2时，对应元素y3N，不满足任意性×x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性答案：(1)B(1)x0，1取不到1，2.y0，3超出了N0，2范围.可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.(2)是函数因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义不是函数当x1时，y±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念答案：(2)是函数不是函数(2)关键是否符合函数定义题型二求函数的定

10、义域经典例题例2(1)函数f(x)的定义域是()A.1,1)B1,1)(1，)C1，)D(1，)(2)求下列函数的定义域y；y.【解析】(1)由解得x1，且x1.所以所求函数的定义域为1,1)(1，)【答案】(1)B(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域【解析】(2)要使函数有意义，需满足即得x>2且x3.所以所求函数的定义域为(2,3)(3，)要使函数有意义，需满足即所以x>0且x1，所以所求函数的定义域为(0,1)(1，)【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域方法

11、归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解析：(1)要使函数有意义，只需x23x20，即x1且x2，故函数的定义域为x|x1且x2(2)要使函数有意义，则解得x<0且x1.所以定义域为(，1)(1

12、,0)(3)要使函数有意义，则解得x<2，且x0.故定义域为(0,2)(1)分母不为0(2)(3)题型三同一函数教材P66例3例3下列函数中哪个与函数yx是同一个函数？(1)y()2; (2)u；(3)y； (4)m.【解析】(1)y()2x(xx|x0)，它与函数yx(xR)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数(2)uv(vR)，它与函数yx(xR)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数yx(xR)是同一个函数(3)y|x|它与函数yx(xR)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数yx(xR)不相同所以

13、这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数(4)mn(nn|n0)，它与函数yx(xR)的对应关系相同但定义域不相同所以这个函数与函数yx(xR)不是同一个函数教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数(1)f(x)，g(x)x1；(2)f(x)，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x).解析：序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)，g(x)(

14、3)不同定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可题型四求函数的值域经典例题例4求下列函数的值域(1)y34x，x(1,3(2)y.(3)yx24x5，x1,2,3(4)yx24x5.【解析】(1)因为1<x3，所以124x<4，所以934x<7，所以函数y34x，x(1,3的值域是9,7)(2)因为y22，所以函数y的值域为y|yR且y2(3)函数的定义域为1,2,3，当x1时，y124×152，当x2时，y224

15、5;251，当x3时，y324×352，所以这个函数的值域为1,2，(4)因为yx24x5(x2)21，xR时，(x2)211，所以这个函数的值域为1，)(1)用不等式的性质先由x(1,3求4x的取值范围，再求34x的取值范围即为所求(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域(3)将自变量x1,2,3代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数

16、的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域跟踪训练4求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)y；(4)yx22x3(5x2)解析：(1)将x1,2,3,4,5分别代入y2x1，计算得函数的值域为3,5,7,9,11(2)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(3)因为y1，所以函数的定义域为R，因为x211，所以0<2.所以y(1,1所以所求函数的值域为(1,1(4)yx22x3(x1)24.因为5x2，所以4x11.

17、所以1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函数的值域为12,3(3)先分离再求值域(4)配方法求值域一、选择题1下列各个图形中，不可能是函数yf(x)的图象的是()解析：对于1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数答案：A2函数f(x)的定义域是()A.B.C.D.解析：由题意得解得3x<且x，故选B.答案：B3已知函数f(x)1，则f(2)的值为()A2B1C0 D不确定解析：因为函数f(x)1，所以不论x取何值其函数值都等于1，故f(2)1.故选B.答案：B4下列各组函数中，表示同一函数的是()Ayx1和yBy和y()2Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x

18、)解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同答案：D二、填空题5. 用区间表示下列数集(1)x|x2_；(2)x|3<x4_；(3)x|x>1且x2_.解析：由区间表示法知：(1)2，)；(2)(3,4；(3)(1,2)(2，)答案：(1)2，)(2)(3,4(3)(1,2)(2，)6函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为_，值域为_解析：由f(x)的图象可知 5x5，2y3.答案：5,52,37若Ax|y，By|yx21，则AB_.解析：由Ax|y，By|yx21，得A1，)，B1，)，AB1，)答案：1，)三、解答题8(1)求下列函数的定义域：y；y；y；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域解析：(1)4x0，即x4，故函数的定义域为x|x4分母|x|x0, 即|x|x，所以x<0.故函数的定义域为x|x<0解不等式组得故函数的定义域是x|1x5，且x3(2)设矩形一边长为x，则另一边长为(a2x)，所以yx·(a2x)x2ax，函数的定义域为0<x<，定义域为.9求下列各函数的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6；(2)yx24x6；(3)yx.解析：(1)因