必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

1、美博教育任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点 O按一定的方向旋转到另一位置OB就形成了角口，记作：角a或2口 可以简记成a o2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角， 角的顶点合于坐标 原点，角的始边合于x轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限， 称为轴

2、线角。4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：(1)终边相同的角都可以表示成一个 07到360?的角与k(kw Z)个周角的和。(2)所有与 隐边相同的角连同？在内可以构成一个集合即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角：与整数个周角的和 注意：1、k2、a是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角 有无数个，它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯例1、(1)若a角的终边与8L角的终边相同，则在10,2/上终边与g的角终边相 同的角为。若9角的终边与8冗/5的终边相同则有：8=2kTt+8兀/5 (k为整数)所以有：

3、9 /4=(2k 兀 +8兀 /5)/4=k 兀 /2+2 兀 /5当：0& k 兀 /2+2 tt/5 <2 几有：k=0时，有2冗/5 与8/4角的终边相同的角k=1时，有9冗/10 与8/4角的终边相同的角(2)若口和P是终边相同的角。那么a-P在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角:(1) -210(2) -1484 37'.例3、求9,使日与-900二角的终边相同，且 睚 L180 ：1260二】.2、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合：/F=kx180：kwz终边在y轴上的角的集合： 如P =kx180 ：'+

4、90：,kwz终边在坐标轴上的角的集合：匚|B=k 90 ,k Z>3、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：0|P=kM180'=+45ikWz)终边在y=-x轴上的角的集合：*| P =kx180245kwz4、终边互相对称的角：若角口与角P的终边关于X轴对称，则角口与角P的关系：0(=360%-P若角a与角P的终边关于y轴对称，则角口与角P的关系：a =360二k+180：P若角a与角P的终边在一条直线上，则角口与角P的关系：a=180°k+P角ot与角P的终边互相垂直，则角口与角P的关系：a =360'k+P±90二例1、若口 =k

5、'360、日，P = m 360 =-9(k,me Z)则角口与角P的中变得位置关 系是(A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称/八 19(1) 一二(2) 315例2、将下列各角化成0到2n的角加上2kn（kw Z）的形式3例 3、设集合 A = x|k，360”+60% x < k，3600 + 300： k w Z),B = & | k 360 <210 '<x <k 360 ：k w Z),求 AB, AU B.二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制一另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度定义：长度等于

6、 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：?AOB=1radf, ?AOC=2rad / 2r|d<=2?rad1rAr A汪忠：。1、正角的弧度数是酿度数卜蹩勺弧度数是02、角曲勺弧度数的绝对值 口 =1 （I为弧长，r为半径）r3、用角度制和弧度制来度量 零角，单位不同，但数量相同（都是 0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：= 360 ：= rad 180：= rad，一冗 . .1 .=rad 0.01745rad180注

7、意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 例1、把67 =30'化成弧度 例2、把3nrad化成度5例3、将下列各角从弧度化成角度3(1) rad(2) 2.1 rad?(3) -nrad365例4、用弧度制表示：1嘤边在x轴上的角的集合2 ?终边在y轴上的角的集合三、弧长公式和扇形面积公式,c 112l =otr;S =_ lR = -ar22例1、已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是 L或4-例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为1、求这连个角的大小分别为 0例3、直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长2165°3

8、例4、(1) 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形 的圆心角是多少弧度是多少度扇形的面积是多少(2) 一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角口等于多少弧度时，这个扇形的面积最大.例5、(1)已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40,当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大最大面积是多少(七)任意角的三角函数(定义)1 .设坦一个任意角，在？的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y),则P与 原点的距离 r = Jx2 +|y2 = xx2 + y2 > 02 .比值y叫做？的正弦记作： sina = ?；比值？

9、叫做？的余弦 记作：rrrxcos =二一r比值y叫做？的正切记作：tan" = '比值？叫做？的余切 记作：xx yxcot -=.y比值二叫做中勺正割记作：seca = E ；比值工叫做？的余割 记作：xx yrcsc_i =一 y注意突出几个问题：角是“任意角”，当？=2kH?(k ?Z)时，？与，?的同名三角函 数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的函数r>0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确 定三角函数在各象限的符号：定义域：4.久是第二象限角，P(X,痣)为其终边上一点，且 cosa=mx,则sin ot =4.10.4. 已知角a的终边落在直线y=-3x(x<0)上，则曲X上匣=2.