必修四简单的三角恒等变换(附答案)

1、简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2. 了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差 化积公式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.一知识梳理自主学习知识点一半角公式及其推导sin-=±21 cos a2；（2）Ca：2cos1 + cos a2；%:2tana ,1 - cos2=±/1f x（无理形式）

2、sin1 + cos a1-cos一:（有理形式）.sin思考1 试用*2. “一 acos a 衣小 sin 2a , acos 二、tan -2-答案 cosa= cos2； - sin2 2= 1 - 2sin22t,l- 2sin2"= 1 - cos a,sin2"=1cos 0c,222. a , . sin -= ±21 cos a2；_a .cos 2= ±1 + cos a2；cos 21 cos a1 + cos aa , tan -= ±2.2jx 1 - cos a2 a sn 221 cos a. tan -=.22

3、a 1 + cos a 1 + cos a用/c、二 口目,asin a 1 cos a思考2 证明tan -=：.2 1 + cos a sin a(X (X记阻.sin a2而 2cos 2 a证明 = tan万,.tan - sin & ,同理可证 tan 合 1c0s 0c.2 1 + cos a2 sin a. a . tan 2=sin a 1 cos . 1 + cos a sin a知识点二辅助角公式 asin x+bcos x=9a2 + b2 sin（x+ 2.2a .b使 asin x+ bcos x= "Ja2+b2sin（x+昉成立日cos（j）=个

4、 2+ b2,sin 4=（2+ b,其中。称为辅助角，它的终边所在象限由点（a, b）决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.思考1将下列各式化成 Asin（cox+财的形式，其中A>0, 3>0,他<2.(1)sin x+ cos x= /2sin x+ 4 j;(2)sin x cos x= V2sin x 4 1(3) ,3sinx+ cos x=2sin Jx+6)；(4p/3sin x cos x= 2sin x 6 j;(5)sin x+ 5cos x= 2sin (+3 fi(6)sin x也cos x= 2sin !x 思考2 请写出把asin

5、 x+ bcos x化成Asin（ w x+昉形式的过程.答案 asin x+ bcos x2 2 a b_=2r 丁=sin x+cos x)=.a2+ b2(sin xcos(j)+ cos xsin 昉=da2+ b2 sin(x +()b, a 、（其中sinQ百南' cos -2K）市点突前题型一半角公式的应用2四象限角.a 一 a、tana为第四象限角,2为第二、2-a当2为第二象限角时,tan2=一."M3 _asin2= -3", cos =-a当2为第四象限角时,5cos2 =tan2 =一跟踪训练1已知sin e= 5,且寄知,求应2和0tan

6、二2.解. sin 0= 4,黑 X3 兀, 5 2cos 0=一弋1 sin2 o= 3.由 cos 0= 2cos2， 1 得 cos22=1 + cos 015.5jt<_0<3,55 .2cos 2sin 2,0cos c： 2e sin 2 tan 2= 9 cos 22川2cos 2=2.1 + cos 0题型二三角恒等式的证明例 2 (1)求证：1 + 2cos2。 cos 2 0= 2.(2)求证:(sin x+ cos x 1 I sin2sin xcos x 1 + cos xx cos x+ 1 sin x证明(1)左边=1+2cos2。 cos 2 01 +

7、 cos 2 0= 1 + 2X 2- cos 20=2 =右边.所以原等式成立.(2)原式=2sin xcos x2sinx x 2X2cos 2 2sin 22sinx x2X2cos 2+2sin 2)2sin xcos x, .2x2x . 2x4sin 2 cos 2 sin 2X- 2X- 22s o c 2X- 2s o cX ns o cX- 2X- 2X- 22.s21 + cos x=右边.:sin x所以原等式成立.跟踪训练2证明:sin 4x cos 2x cos x . x1 + cos 4x 1 + cos 2x 1 + cos x 2.2sin 2xcos 2x

8、cos 2x cos x证明左边=F2Fx大=tan =右边.2所以原等式成立.题型三与三角函数性质有关的综合问题.一，一.八一、，一_TTTT例 3 已知函数 f(x)=cos(3 + x)cos(§ x), g(x) =112sin 2x 4.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数h(x) = f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x的集合.1(1)f(x)= £cos x-313sin x)(cos x+ /sin x)=7cos2x n2x= 441 + cos 2x 3(1cos 2x=2 cos 2x_ 4, ，f(x)的最小正周期T=2

9、"=11(2)h(x)= f(x) g(x)= 2cos 2x 2sin 2x质小，4=2 cos(2x + 4),当 2x+4 = 2k TtkC Z)时,h(x)有最大值-22.一 . ,兀此时x的取值集合为x|x=kTt8, kCZ.跟踪训练3如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形， 应怎样截取，才能使 OAB的周长最大？解 设/AOB=a, 4OAB的周长为1,则 AB = Rsin a, OB = Rcos % l = OA+ AB + OB=R+ Rsin a+ Rcos a=R(sin a+ cos o)+ RL .兀=WRsin( a+ 4)+ R.0亏G升衿2

10、 .l的最大值为72R+ R=(艰+1)R,兀 兀 rr兀此时，"+ 4=5,即 A4,即当 a=,AOAB的周长最大.学以致用构建三角函数模型，解决实际问题例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中 AST是半径 门 S为90 m的扇形小山，其余部分都是平地. 一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边 CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场 PQCR面积的最大值和最小值.八分析 解答本题可设/ PAB=。并用。表示PR、PQ.根据S矩形pqcr=PQ PR列出关于。的函 数式，求最大值、最小值.解 如图连接 AP,设/

11、 PAB= 0(0 & g90 ),延长 RP交AB于M ,则 AM=90cos 0, MP = 90sin 0.D K C所以 PQ= MB = 100-90cos 0,PR= MRMP= 10090sin 0. J所以S矩形pqcr= PQ PR= (100 90cos 9(100 90sin )可=10 0009 000(sin 0+ cos + 8 100sin 0cos ft令 t = sin 0+ cos 0(1 工t&®t2-1则 sin 9cos 0= -2 一.t2 1所以 S 矩形 PQCR= 10 000-9 000t+8 100 -2-8 10

12、0+ 950.故当t=10时，S矩形PQCR有最小值950 m2;当t=<2时，S矩形pqcr有最大值（14 050-9 000g 9m2.=当堂检测 自查自纠C则cos 2勺值为（. H11 .右 COS a= 3，氐(0,兀A.三'6c.32.卜列各式与tan a相等的是（A.1 COS 2 a1 + COS 2 aSin aB.1 + COS aC.Sin a1 COS 2 ar 1 COS 2 aD.Sin 2 a3.函数x |Jtf(x) = 2Sin 2Sinx '的最大值等于1A.23B.2C. 1D. 24.已知7t< 0<3p 化简1 + s

13、in a1 + COS a 1 1 COS a1 Sin a1+COSa+ y 1 COS a5.求函数 f(x)=3Sin(x+ 20 °)+5Sin(x+ 80 °)的最大值.尹保时精炼、选择题已知180 °<a<360 °,则 cos 和值等于()1 cos aB 1- cos aC.1 + cos aD 1+ cos a2.使函数f(x)=sin(2x+ 0)+ V3cos(2x+ 0)为奇函数的0的一个值是（）兀A.6兀B.3兀C.2D 2-则sin 2等于（43 .已知cos a=仁,5aTB. 10C.D.4 .函数f（x） =

14、 sin4x+cos2x的最小正周期是（兀A.4兀B.2C.兀D.1.5.设 a = 2cos 6 一b=2sin 13 cOs 13c=1 cos 50 °,、2，则有()c<b<aB. a<b<cC.a<c<bD. b<c<a6.4右 COS a= 一 5,a1 + tan2a是第三象限的角，则 2等于（a1 tan2C. 2D. - 2二、填空题7 .函数f(x) = sin(2xj 242sin2x的最小正周期是 .8 .若 8sin a+ 5cos 3= 6,8cos a+ 5sin 3= 10,则 sin( 9 =49 .已

15、知等腰三角形顶角的余弦值为",则底角的正切值为 .510 . sin220°+sin 80 sin 40 的值为.三、解答题11 .已知函数 f(x)= 4cos xsin x+ ：1.(1)求f(x)的最小正周期；12.已知 sin a+sin唔 5(2)求f(x)在区间一看4 上的最大值和最小值.兀r工2<a<0,求 Cos a 的值.13.已知函数 f(x)= (1 + tanpsinl 2sin/+：夕in 9 一4J.若tan后2,求f(4;一兀兀"i, 一一，一一(2)若xC 运 2 L求f(x)的取值氾围.当堂检测答案1 .答案 A3兀解

16、析由题意知;e (0,712), ,cos 2>0,21 + cos a 的acos 22 .答案 D铲诉 1 c0s 2a2sin2 asin a斛析-=c.= = tan sin 2 a 2sin acos a cos a3 .答案 A解析 f(x)= 2sin x sin兀zcos 3x2 cos工_ x3sin 2鱼. .2x3.1cos x= 2 sin x sin ?= 2 sin x2备.11 一，工) 1 2 sin x+ 2cos x 2 sin + g ) 2. f (x)max =12.aa 24.解原式=sin 2+ cos -厂 a 厂 a,2|cos 习一2|

17、sin 2|jx jx 2(sin 2 cos 2 J a r- a2|cos 2|+ .2|sin 2|兀a 3兀,2<2<4 '. a . a cos 2<0, sin 2>0.0coe20coe2sin 5+ cos 万 sin 万一cos 2十亡.a,ar- . aa2 sin 2 + cos 22 sin 2 cos 2.a ,a . a _ a &=-2cos 2.sin 2+cos 2 sin 2 cos 2.25.解 3sin(x+20°)+5sin(x+ 80 )=3sin(x+ 20°)+ 5sin(x+ 20 )

18、cos 60 4- 5cos(x+ 20 )sin 6011o5_Jo=sin(x+ 20 )+ 2 cos(x+ 20 )+ l5-23 2sin(x+ 20 °+ = 7sin(x+20°+()11. , 5,3其中 cos 4= 14，sin(f)= 14 .所以 f(x)max= 7.课时精练答案一、选择题1 .答案 C2 .答案 D解析 f(x) = sin(2x+ 0)+ >/3cos(2x+ ) = 2sin x+3c + Qi.2 一，一当。=:兀时，f(x) = 2sin(2x+ 兀4一2sin 2x.33 .答案 B1 cos a2_a2. 一一

19、2 一 .-sin 2>0, sin解析 由题意知2 6 (4兀，兀)1010 .4 .答案 B解析 - f(x)= sin4x+ 1 - sin2x =sin4x sin2x+ 1 = sin2x(1 sin2x) + 1=1 sin2xcos2x= 1 7sin22x 41= 1-4x1 cos 4x 12= 8cos 4x+ 8,2兀兀T=T = 2.5 .答案 C-6 ) = sin 24 ；解析 a= sin 30 cos 6 cos 30 sin 6 = sin(30 b=2sin 13 cos 13 = sin 26 ； c=sin 25 ；兀y=sin x在0, 2上是递

20、增的.a<c<b.6 .答案解析a是第三象限角，cosa= -4, ,sin53”一5._a1 + tan2asin21+一 必、一.co$2 co$2 + sina121 tan2asin21 _acos2Q 一：cos2 sin?cos+ sinQ cos2+ sincos2 sin2 cos2 + sin21 + sin acos a1-3=142.一5二、填空题7.答案 兀rr解析f(x)= 22sin 2x-，cos 2x-亚(1 cos 2x)=-i22sin 2x+乎cos 2x & = sin(2x+4)木,2兀T=T =兀 478.答案80解析 (8sin

21、 a+ 5cos。2+(8cos a+ 5sin ®2 = 64 +25+80(sin ocos 汁 cos «sin 份= 89 + 80sin( “十 份=62+ 102= 136. .80sin( a+ 3)=47, , 47 sin( "+ 0 =809 .答案 3解析 设该等腰三角形的顶角为a,则cos a= 4,底角大小为1(180 - a).52tan-1 -。2 (180 - a)1 cos(180° a)sin(180°- a)1 + cos asin a41 + 5Q =3.35- 310 .答案 4解析原式=sin220

22、°+sin(60 平 20 ) sin(60 二 20 ) =sin220°+ (sin 60 c6 s 20 4- cos 60 s in 20 ) ° (sin 60 co s 20 - cos 60 sin 20 ) ° =sin220 °+ sin260 cos220 ° - cos260 sin220 °.2一。 32一。 12一。=sin 20+4cos20-sin2032323=4sin =十不20：.三、解答题11 .解 (1)因为 f(x) = 4cos xsin x+6 '厂 1. i . r :一 工',=4cos x yn xcos 6 + cos xsin 6 1 1=4cos x,1/in x+ 2cos x 1=5sin 2x+ 2cos2x- 1 = >/3sin 2x + cos 2x = 2sin i2x+6 j所以f(x)的最小正周期为兀.兀7tb 兀兀 2兀(2)因为6WXW4",所以6< 2x+ 6<y.一.兀 兀 一于是,当”+厂2，即* =f(x)取得最大值2;、，.兀兀