三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)

1、实用标准文案文档三角函数1 .同角三角函数的基本关系式2 .诱导公式（奇变偶不变，sin（二 ：）-sin :sin（二-：）=sin 二nsin（一二）=cos-i2ncos（- - - ）n sin -23 .两角和与差的公式 22sin .二+cos =二1符号看象限）cos（二 ：）-cos：cos（二-：）=-cos.：ncos（一二）=sin .：2sin（-一）= -sin 二sin工=tan ;cos;tan（二：）=tan :tan（二-：）-tan ;sin（一 :）=cos具 2cos（T- ） = cos：sin（:工一反）=sin： cos. ，cos 二 sin :

2、sin（: - -） = sin : cos - - cos 二 sin :cos（:工F） =cos： cos - - sin : sin :cos（- - ） =cos： cos. -sin： sin :tan（二一）=tan 工" tan :1 一 tan : tan :tan（： - I ）=tan .： tan :1 tan： tan :4.倍角公式sin 2 ： =2sin_3cos_acos2、£=cos2 二一 sin2: =1 -2sin2: =2cos2.二一 15.降哥公式x c 2tan ;tan 2：=2-1 - tan :21 -cos2：sin

3、 =二2cos 二二1 cos 2 工sin 二 cos-1 sin 2：26.幅角公式a sin sx +bcos®x = v'a2 +b2 sin（ox + 邛），其中8.补充公式（sina ±cos«）2 =1±2sinacos» =1±sin2a ,aasin - ± cos一22知识点睛情域-1,1-1,1最值当且仅当x =2kn十一时取到最大值1 ;2当且仅当x = 2kn -3时取到最小值 -12当且仅当x = 2kn时取到最大值1 ;当且仅当x = 2kn _ n时取到最小值 _1周期最小正周期为2n

4、最小正周期为2n奇偶性奇函数偶函数单调性在2kn -,2kn +上单调增； 2233兀，在2kn + , 2kn +上单倜减22在2kn -n, 2kn上单调增；在2E, 2k冗+.上单调减对春性对称轴x =kn +三；对称中心（k% 0）2ji对称轴x = kn ；对称中心（0+ , 0）2正切函数y = tan x的图象与性质:说明：表格中的k都是属于Z ,在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量 选择正的。3T定义域为x|x#kn十一,kw Z,值域为R 2最小正周期是 冗,在（kn -, kn +）上单调增 22 k 二没有对称轴，对称中心为 （口，0）,奇函数2二

5、.正弦型函数 y = Asin（ox +中）（A >0,缶>0）的图象方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将y=sinx图象向左（5> 0）或向右（邛< 0）平移忸个单位，得到 y = sin（x +中）的图象；伸缩变换：纵坐标不变，将y =sin（x+邛）图象上所有点的横坐标缩短（切>1）或伸长（0<切< 1）到原12来的 倍，得到y= sin（8x+中）的图象，此时函数周期为T=；coco振幅变换：横坐标不变，将y =sin（0x +中）图象上所有点的纵坐标伸长（A > 1）或缩短（0 < A < 1）到原来的A倍，得到y =

6、Asin（8x +中）的图象，此时函数的最值分别为A、A；方法二：先伸缩变换后平移变换 .一 1伸缩变换：纵坐标不变，将y =sinx图象上所有点的横坐标缩短 曲>1）或伸长（0<s <1）到原来的-2-倍，所得函数y =sin6x的图象，此时函数的周期为T="；0一“，-,、，一 一邛 一一平移变换：将丫 = $口6*图象向左（中下0）或向右（中< 0）平移一个单位，得到y = sin（6X +中）的图象振幅变换：同上解三角形1.解三角形：（1）边的关系：a+b>c, a+cb, b + c> a （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）(2)角

7、的关系：A + B+C=n, 0<A、B、C<n, sin A > 0 , sin( A + B) = sinC ,A Bcos( A + B) = -cosC , sin2C A B . C=cos ， cos= sin , -n <222A - B :二二2 .正弦定理:a _ bsin A sin B二 = 2R ,其中R为AABC的外接圆半径 sin C3 .余弦定理：在 AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ,则有余弦定理:-2.22/a =b +c 2bccosA«b2 =a2 +c2 -2accosB , c2 =a2 +b2 2abc

8、osC.2,22b +c - acos A =2bc2 + 2 _ 卜2其变式为： c cos B =2ac2 , , 22- a +b -c cosC =2ab4.三角形的面积公式：S ABC111= -absinC = bcsin A = acsin B三角恒等变换例题精讲【例1】考查对三角函数值“知一求二”的掌握3(1)已知ot是第一象限角，且 sin ot =，则cosa =, tanot =55(2)已知a是第四象限角，且 tanot =，则sin ot =, cosa =12,一 一8(3)已知 coset = 一一，求 sinot、tan ot 的值17，但要注意正负符号的确定点

9、评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”【例2】已知tana =2 ,计算:/ ,、 sin 12cos：(1) ;3sin 14cos：(2) sinot cosa ；(3)122sin - cos- cos -点评：如果根据tans的值求sin a、cosa的值，则需考虑a的象限，这里把1写成sin2 口 + cos2 0f构 造关于sin a、cosot的齐次式，解法干净利索4 二 25 二5 二【例 3】(1) sin cos tan 的值是3641 二(2)已知 cos(五十口)=-,则 sin(一 +口)=2 2(3)若记 cos(-80 ) = k ,贝U

10、tan 100 一 =点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等， 余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。4 二5-【例4】(1)已知sin6 = -，ct =(, n)cos 0 , 口是第三象限角，求 cos(u -)5213一，3(2)已知 sin ot =一 , 53是第四象限角，ji求 sin(a)、4jicos(一 十 a)、4ntan(ot )4(3)右a为第二象限角，曰4且 sin ct =,则 tan 2a =5例 5 (1)已知 a + B ,求(1 + tan a )(1 + tan B)的值4，一一一一 一2

11、二AB-A B.(2)已知A + B=,求tan + tan + n 3 tan tan 一的值32222点评：正切的和差角公式把tan(a ± P)、tana 土tan P、tana tan P联系到一块，任一项都能由另两项表示，如 tan 二: tan - = tan(:上-I )(1 -tan 二 tan -)一 1 丁 tan ,11【例 6】(1)若 1 tan = 2008 ,贝U 1 +tan2a =1 - tan ：cos 2：(2)3 2 sin 2： -2sin 二右 sin" -cosa =,贝U 51 - tan :61 tan ;(3)设 0 &l

12、t; ct < 一,若 sin ct + coset =,则421 - tan ：点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到 “化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦【例7】(1)已知ot是第三象限角，且 cos2« =一3 ,则tan( +2)= 54a/1 tan4(2)已知Ct是第二象限角，且 cosct = 一一 则 =5：1 - tan-2,cos2&的值为.-222 <3例8 (1)已知sin +cos =23,则sin 8的值为2233 二 二（2）已知 sin6 cos6 =一，且一8父一，则

13、 cos6 sin8 的值为点评：此题主查 sin 久 士cosot 与 sin a cosot 之间的关系：(cosO ± sinO)2 = 1 ± 2sin0 cosO1. .2233【例 9】右 sin a -cosa 二一，求值：(1) sinct cosot ； (2) sin a - cos a ；(3)sin a - cos a 5常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变 换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。【例1】求值:sin 65 sin15

14、 sin10sin 25 - cos15 cos80(3) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78；(4), 22sin 20 cos 50 sin 20 cos50【例2】求值：（1）cos20(3tan12 -3)cos35 1 - sin 202sin12 (4cos212 -2)常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换 等关系，另外还要注意角的范围的讨论,找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补【例】（1）已知n cos(: - 4)10<a2已知cos： _)< ot71W,则 cos(20t +)=24(3)已知tan(:二.1,

15、 二.)=_，贝U tan(a +)=(1) sin163 2in223、sin253"sin313,=常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。5- J0【例1】右sinq=,sin P =，且a、P为锐角，求ot + P5101-11-【例2】已知ot、P、：均为锐角，且tanot =-，tan P = -，tan ；=-，求u + P +?2581.1【例 3】已知 tan(a - P) = , tan P = - , ot三角

16、函数的图象与性质说明：(1)伸缩变换不会改变 邛的值，只是将x变为切x；(2)若与相同，就不用做伸缩变换，若 6不同，就一定要做伸缩变换；若 中相同，就不用做平 移变换，若中不同，就一定要做平移变换；(2)左右平移的量要看发生在自变量X上的变化。三.复合函数 y =Asin(x+中)+ B的性质最值：A+B和A + B；7171单调性：若A切0,则正向讨论，即令 2kn - ox +CP 2k +3,可求得函数的单调增区间；3 二若A。0,则反向讨论，即令 2kn +Wcox+平2k +，可求得函数的单调增区间22.2 -周期：最小正周期是T=同对称性：函数f （x） = Asin（0X +中

17、）+ B的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令sin（«xo +中）=±1,可求得函数f （x）的所有对称轴x = x° ； 令sin（0x0 +中）=0,可求得函数f （x）的所有对称中心（x0, B）【例1】考查三角函数图象的变换(1)2 二由函数y =sin（x + ）的图象怎么变换到函数y=sin（2x + ）的图象3 3将函数y =sin（x-二）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的3图象向左平移 £个单位，得到的图象的对应解析式是（3“.1_ .JA. y=sinx b , y=sin(x22、.，1

18、 二、)C . y =sin(-x-) d26,y = sin(2 x ) 6(3)要得到y =sin（2x 三）的图象，只需将函数 y = sin（2x十三）的图象（ 36A.向左平移单位 B.向左平移单位 C.向右平移;单位D.向右平移-单位2【例2考查三角函数的对称轴和对称中心函数f （x） =sin（2x +中）（0 W中Eg是R上的偶函数，则 中的值是（A. 0 BjijiJi冗已知函数f （x） =sin（Ex + 1）的最小正周期为,则函数f （x）的图象（A.关于（一,0）对称 B .关于x =对称.关于（工,0）对称 D4ji关于x =对称3(3)已知函数江f （x） =as

19、inx+cosx的图象关于直线 x =一成轴对称图形，则实数 a =4(4)若函数y= 3cos（2x+5）的图像关于点,0）中心对称，那么|中|的最小值为（）ji71(5)已知函数Jif (x) = sin( &x + )(与 > 0),3f(6)2f(3)兀 兀,且f （x）在区间（一,1）上有最小值,6 3无最大值,【例3】考查三角函数的单调性(1)函数f(x) =2sin(2x + )的单调减区间是 (2)函数f(x) = cos(x；)的单调递增区间是 【例 4】已知函数 f (x) =sin2 x + T3sinxcosx+2cos2 x , xw R(1)求函数f(

20、x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最小值，并求函数 f(x)取得最小值时的x的集合;(3)求函数f(x)在区间,一上的最小值；4 4(4)求函数f(x)的单调增区间；(5)求函数f (x)在区间二，二上的单调增区间；5 4(6)求函数f(x)的所有对称轴和对称中心； (7)函数f(x)的图象可以由函数 y=sin2x, x w R的图象经过怎样的变换得至i；3T3T3T【例 5】已知函数 f(x)=cos(2x)+2sin(x)sin(x+ )344(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f (x)在区间-三 J上的值域12 2【例6】考查三角函数的最值求法1(1)设M

21、和m分别表小函数 y = _cosx -1的最大值和最小值，则 M + m =3冗(2)若函数 f (x) = J3sinx + cosx, 0Mx<=,则 f(x)的最小值为 .7 7k._ o (3)当xw时，函数y = 3sinx2cos x的最小值是，最大值是66(4)求函数y = sinx 的值域sin x 2(5)求函数y = s1nx的值域cosx -2(6)求函数y =sin x -cosx +sin xcosx , xw 0, n的最大值和最小值(7)函数y =sinxsinx|的值域是 点拨：三角函数的值域、最值求法(1) y =asin x+b(或y =acosx+

22、b)型：利用三角函数的有界性；(2) y =asin x+bcosx型：利用幅角公式转化为 y = Asin(cox十)形式，再利用有界性；(3) y = asin2 x+bsinx+c型：配方后求二次函数的最值，应注意 sinx E1的约束；(4)y = asinx b型:分离常数，利用三角函数的有界性 csin x d(5) y = aSinX+b型:数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法 ccosx d(6) y = a(sin x ± cosx)+bsin x cosx+c 型：换元 sinx ± cosx = t,要注意变量 t 的范围【例7】

23、(1)求函数y = x+Ji x2的值域；(2)求函数y = .x14 、15=3x的值域；(5)已知函数y =2cos2 x2acosx 2a-1有最大值5 ,求实数a的值【例8】设函数f (x) =sin2 xcosx十a(1)若方程f(x) = 0有实数根，求实数 a的取值范围;(2)若方程f(x) = 0在xw (0,三内有解，求实数a的取值范围;217(3)右1 w f (x) < 一对一切实数x恒成立，求实数 a的取值范围4点拨：解决方程有解问题最有效的方法是分离变量求值域2【例9】若关于x的方程sin2x+<3cos2x = a+1在。,2上有两个不同实根，求实数 a

24、的取值范围31【例10(1)右函数f(x) =sin2 x 万(xW R),则£他)是()jrA.最小正周期为-的奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2n的偶函数D.最小正周期为n的偶函数(2)函数f(x) =sin4x+cos4x的最小正周期是 ,最小值是 一一、.，.x 一(3)函数f(x)= sin -的最小正周期是；2一，11(4)函数f(x) = sin(2x +-)- 的最小正周期是 点拨：(1)利用降哥公式、幅角公式把已知函数转化为y = Asin(cox+邛)+ B形式，从而得到周期;(2)根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。兀【例12】已

25、知函数f(x)=sinmx, g(x) =sin(2x +)，有下列命题：2n当0 =2时，f(x)g(x)的最小正周期是 一；29当E =1时，f (x)+g(x)的最大值是9,最小值是2；8当0=2时，将函数f(x)的图象向左平移 上可以得到函数g(x)的图象;2k 二当0=2时，f (x)+g(x)的对称中心是(一，0)(k=Z)28其中正确命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上)13.已知函数f(x) =Asin(ax+%,( A>9q >0,|5|<二，xw R)的图象的一部分如下图所示。(1)求函2数f (x)的解析式；(2)当xw-6 函求氏2iJy =

26、 f (x) + f (x +2)的最大值与最小值及相应的x的值。例题精讲解三角形【例1】(1)在 MBC中，sin A > sin B是A>B的条件(2)在锐角AABC中，B =2A ,则b的取值范围是 a35一(3)在 AABC 中，已知 sin A = ，cos B =,则 cosC =513【例2】(1)在 MBC中，若a=7, b=8, cosC =，则AABC中最大角的余弦值为14111 1(2)某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 1、，则()13 11 5A .不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形(3)以

27、a 4、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为 点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是锐角、直角和钝角。【例3】考查正余弦定理的灵活使用1(1)在 AABC 中，右 acosB +b cos A = csin C ,其面积 S = 1(b2 + c2 -a2),则 B = 4(2)在 AABC 中，若(%j'3b-c)cosA = a cosC ,贝 U cos A =(3)在 AABC 中，若 a2 -b2 =；3bc, sinC =2卫sinB ,则 A =b atan C tan C(4)在锐角 MBC 中，右 一十 =

28、6cosC ,则+=a btan A tan B【例4】判断满足下列条件的三角形形状(1) a cos A + b cos B = c cosC ;(2)sin C = 2 cos Asin B ;，._ a +b(3) cos A + cos B =；c(4)2222(a2 +b2)sin(AB) =(a2 -b2)sin(A+ B)点评：与三角形形状相关的几个结论：(1)在 MBC中，若acosA = bcosB ,则AABC为等腰三角形或直角三角形a b c(2)在 MBC中，若=,则AABC为等边三角形cos A cos B cosC(3)在 MBC中，若a cosB +bcos A

29、= csin C ,则AABC为直角三角形(4)在 MBC 中，若 sin A(cos B + cosC) = sin B + sin C ,则 AABC 为直角三角形3 o【例 5】在 MBC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, cos(A C) + cosB = , b2 = ac ,2(1)当a =5时，求角A的度数;3(2)求MBC面积的最大值求B【例 7】AABC 中，A, B, C 所对的边分别为 a,b,c, tanC - sin A + 例6在AABC中，角A、B、C的对边分力1J为a、b、c ,且cosB = , b = 2 in B , sin(B - A) =

30、 cosC . cos A cos B(1)求 A, C；(2)若 S&BC =3 + V3a,c1【例 8在 &ABC 中，sin(C - A) =1 , sin B = 一 3(1)求sin A的值； (2)设AC = J6,求 MBC的面积【例 9】在 MBC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 2a sin A = (2b + c) sin B + (2c+b) sin C(1)求A的大小；(2)求sinB +sinC的最大值3 o o【例10】在AABC中，角A、B、C的对边分力ij为a、b、c , S多bc (a十b - c )4(1)求C的大小；(

31、2)求sin Asin B的范围【例11】设 MBC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A C=90”，a + c = J2b,求CC【例12】在AABC中，角A、B、C的对边分力1J是a、b、c,已知sin C+cosC = 1 -sin.2(1)求 sin C 的值；(2)若 a2 + b2 = 4(a + b) - 8,求边 c 的值.【例13】在AABC中，角A、B、C的对边分别是 a、b、c,已知3a cos A = ccosB + b cosC .(1)求cos A的值;2 . 3(2)右 cos B + cosC =, a = 1 ,求边 c的值32012高考真题分类汇编

32、：三角函数、选择题1.设tana,tanP是方程x2 3x+2 =0的两个根，则tan（ct +P）的值为(A) -3-1(C) 1(D) 32.把函数 y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单1个单位长度，得到的图像是3 10101010、*10、虫155 .在MBC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,222右 a +b =2c ,贝U cosC的最小值为（A 3 BA.B.旦C C.2D.，一 n n .6 .若日 w j一,一114 2sin2'=387,则 sin1(A) 35（B）5位长度，再向下平移3 .已知0 >

33、;0 ,函数f (x) = sin(8x + )在(,n)上单调递减.则8的取值范围是()4 21 51 3_1(A) ,-(B) -(C) (0,-(D)(0,22 42 424.如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E ,使AE =1,连接EC、ED则sin/CED =()7 .已知 since -cosa =金,ot (0 ,兀)，则 tan 口 二(A) -1(B)2(C)-2(D) 128 .若 tan 9 + 1 =4,则 sin2 9 = tan 1A.B.C.D.9 .函数f (x) =sinx-cos(x+ 兀)的值域为A -2 ,2 B.-、,3,、,3C.-1,1 D

34、.-,32虫210.在 MBC 中，若 sin2 A+sin2 B <sin2C ,则 AABC 的形状是()A.锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形 D.不能确定11.设中w R,则“中=0”是“刈=85代+邛)屋W0为偶函数”的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分与不必要条件12.在MBC中，内角A,B, C所对的边分别是a,b, c ,已知 8b=5c, C=2B,则 cosC=72524(A) (B)25(C) ±(D)2525313.已知a为第一象限角，sina + cosot = 则cos2 a =3(A)-乎(B);

35、(C)卷(D)名、填空题14.函数 f (x) =sin(0x+3)的导函数y = f'(x)的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.4 二3 3,1右中=%"，点P的坐标为(0，2 )'则切=(2)若在曲线段 ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则 ABC内的概率为.15 .设 ABC的内角A , B, C所对的边分别为a, b, c.若(a+ b c)(a+b+c) =ab ,则角C =.16 .在 ABC中，若 a =2, b+c=7, cosB=- 则 b= o4，17 .设 MBC的内角A,B,C所

36、对的边为a,b,c;则下列命题正确的是 若ab >c二225.设函数 f(x)= cos(2x+)+sin x。24；则C <若a+b>2c；则C(三33333右 a +b =c ；则 C一 右(a +b)c< 2ab ；则 C a 22若(a2 +b2)c2 <2a2b2；则 C a18 .已知 ABC得三边长成公比为 J2的等比数列，则其最大角的余弦值为 .3519 .设 AABC 的内角 A, B,C 的对边分力1J为 a, b, c ,且 cos A = , cos B = , b=3则c =51321 .当函数,二写加工- C。：一如 取得最大值时，x=

37、.22.设a为锐角，若二 4cos.a +=，则sin(2a十 )的值为6512二、解答题23 .已知 a,b,c分别为 AABC 三个内角 A,B,C 的对边，acosC + J3asinC-b-c = 0(1)求 A(2)若 a = 2, AABC 的面积为 J3 ；求 b,c.24 . 已 知 向 量 a =( c txx -s0ys i ncox,b =( coscox-sincox, 2 J3cosceix), 设函数1 f(x)=ab+入(x uR)的图象关于直线 x=n对称，其中 切，一为常数，且 切餐，1).2(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )若y = f (x)的图象经过点(-0),求函数f (x)在区间0, 3?上的取值范围.4,5(I )求函数f (x)的最小正周期；1(II )设函数 g(x)对任息 x w R ,有 g (x +)= g(x),且当 x w 0, 时，g(x) = - f (x),222求函数g(x)在_n,0上的解析式。26.Wj 点,(I)(n)函数f (x) = 6cos2 x+73coscox - 3(© > 0)在一个周期内的图象如图所示,B、