微分中值定理与导数的应用习题解答

1、第三章微分中值定理与导数的应用答案§ 3.1 分中值定理1 .填空题(1 )函数 f (x) = arctan x 在0,1上使拉格朗日中值 定理结论成立的E是I三.V n(2)设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5) 5则 f，(x)=0 有 3个实根，分别位于区间 (1,2),(2,3),(3,5)中.2.选择题(1 )罗尔定理中的三个条件：f(x)在a,b上连 续)在(a,b)内可导)且f(a) = f(b),是f (x)在(a,b)内至少 存在一点J使fK)=0成立的(B ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件 D .既非充分也非必要条件(2)下列函数在 LG

2、上满足罗尔定理条件 的是(C ).A. f(x)=exB. f(x)=|x| C. f(x)=1x2 D.f,1f(x)=j xsin , x # 0 x0, x = 0(3 )右f (x)在(a,b)内可导,且Xi、X2是(a,b)内任 意两点，则至少存在一点"使下式成立(B ).A .f(X2) - f (Xi) =(Xi X2) f 't( (a, b)B ef (Xi) - f(X2) =(Xi -X2) f r(5)匕在 Xi,X2之间C .f (Xi) f(X2) =(X2 Xi) f K)Xi < < X2D f (X2) - f (Xi) =(X2

3、 - Xi) f V) Xi < - <X23.证明恒等式:narctan x +arc cot x = (- < x <°o).2证明： 令 f (x) = arctan x + arc cot x 贝f'(x) = 0i x i x )所以f(x)为一常数.设 f(x)=c,又因为 f(i)=- 5 72 )百攵 a r c X七ancc oxt= (-°° < x <=°).24 .若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且 f(Xi) = f (X2) = f(x3)其中 a<x<X2&l

4、t;X3<b)证明：在(Xi,X3)内至少有一点使得f“K) = 0.证明:由于f(x)在上连续，在(xi,X2)可导，且 f(x，)= f(x2),根据罗尔定理知，存在 JW(X，X2),使 f'(：i)=0. 同理存在：2 W诲)使f '(%)=。. 又f '(X)在，G符合罗尔定理的条件，故有 y(Xi，X3),使得 卡)=0. 、2 一一235 .证明方程i+x+微*=。有且仅有一个实根.23证明：设 f(x) =1 +x + +土， 则 f(0) = 1 A0, f(2)= 一 < 0 , 263根据零点存在定理至少存在一个t( (-210) ,使

5、得f代) = 0.另一，方面,假设有 Xi,X2 (i+)且Xi < X2)使 f(Xi) = f(X2)=0 ,根据罗尔定理)存在 ” (X11X2)使(")=0 , 即1 +n +2州2 =0 ,这与1 +n +2n2 >0矛盾.故方程十 '十。只有一?实根.26 . 设函数f(X)的导函数ftX)在a,b上连续，且 f(a)<0,f(c)0, f(b)<0 ,其中c是介于a,b之间的一个实 数,证明：存在匕(a,b),使f®=0成立.证明：由于f(X)在a,b内可导)从而f(X)在闭 区间a,b内连续，在开区间(a,b)内可导.又因为

6、f(a)0,f(c)>0,根据零点存在定理，必存在点V(a,c),使得f(4)=0.同理，存在点”已，使得f&)=0.因 此f(X)在4、2】上满足罗尔定理的条件，故存在 y (a,b) 使f好)=0成立.7 .设函数f(X)在0,1上连续，在(0,1)内可导. 试证：至少存在一点心(0,1),使f ( ) =2 f(1)-f(0).证明： 只需令g(X) = X2,利用柯西中值定理 即可证明.8 .证明下列不等式(1)当 0<x<n 时)sin-x > c0sx . x证明： 设f (t) =sint -tcost)函数f(t)在区间0,x上 满足拉格朗日中值

7、定理的条件，且 (t) = tsint,故 f(x) f(0) = f'K)(x0), 0<1, 即sin x -x cos x = x sin 0 ( 0 x " )因此)当0 < x <冗时)snx > c0sx. x(2 )当 ab0时，好力葭, ' a b b证明：设f(x) = lnx,则函数在区间b,a上满足拉 格朗日中值定理得条件，有f (a) T (b) = f ( )(a -b), b : a因为f'(x)=1所以ln：=!(a b)又因为b < - < a ,所x 7b以1J从而a b 7a-b , a

8、a-b:ln :a b b(1)(2)(3)(4)lim(sin x)x =A.lim n n = en j二二.lnn .1lim limn空in =1§ 3.1洛毕达法则1 .填空题cos5xlim x 二 cos3x21ln(1)lim Z 二 0xI二 arctan x2 .选择题(1 )下列各式运用洛必达法则正确的是B,. x sin x 1 cosx lim二 lim x 0 x - sin x x 01 -cosxC.21x sin 一lim x0sin x=limx 02xsin1 - cos1 十七上xx不存在cosxD.均j = l四=1(2 ) 在以下各式中，极

9、限存在，但不能用洛必达法则计算的是( C )C.A.2. x lim x 50 sin xx sin xD.B.ntanx3.求下列极限(1) 解：limx_alimx_am mx -am_1 mx g 仃 x归nxm m _n =an2x 2. -2v 2 / lxmo-x解：= (ln 2)2 .2x2)_2_2xln22,ln2_2x(ln 2)2 2'(ln2)2lim2limlim x-0x2x_02xx_02sin x - tan x解:limx0sin x - tan x一tanx(cosx-l)limqx 0x312、x(Fx ) =lim2x Q x33 xex -s

10、inx -1(arcsinx)2解:e -sinx -1 e -sin x -1lim7lim2x 0 (arcsinx)x0xxxe -cosxe sinx 1lim二 lim二-x q 2x x 022 -x ln x解:xx(x ) =x(1 十lnx)1 -x ln xlxm11 - xx(1 ln x)一-xx(1 lnx)2-11 xlimx 1x:；22 x：n= limx (1+lnx) +x =2x-1解：雪(xe - x - 1)=lim xx 0 x(ex -1)1 2x22x1、tanx lim x 0 x解:_ lim tanxln x tanx - x 0 .二e

11、tIn x_ lim x o ':Cot xsin2 x厂lim ；xex 0 x(8)lim ln(1 +2x)ln(1 +3).x > 二x解:3、37lim ln(1 2x)ln(1 -)= lim 31n(1 2x)=3limx j 二x x r二 xx二ln(1 2x)2xln23lim 三X J 二 12x= 3ln2 lim -=3ln2 .x j 二1 +2 x解:l i mn .n 二二1 .1因为 lim xJx =e#x =e4 =1 所以 x_limn ，二§ 3.3泰勒公式x-1的哥展开多项式f(x) = x4 +3x2解:同理得f '

12、(x) = 4x3 + 6x, f'(1) = 10 )f "(1)=18, f"(1) =24, f (1)=24,且 f (x)=0.由泰勒公式得:f(x) =x4 +3x2 +4 = 8+10(x1) +9(x1)2 +4(x1)3 +(x1)4 .2 . 求函数f(x)=x2ex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.解:因为，/】十十!",)，所以2f(x) = x2ex=x21 - III1! 2!n .2xo(xnN) = x2 (n-2)!34xx+1!2!no(xn) (n-2)!3 .求一个次多项式P(x)使得2x= p(x)十口(x2)

13、. 解：设 f(x)=2x,则(x)=2xln2, f "(x)=2x(ln2)2 .f(0)=1(0)=ln 2, f "(0)=(ln 2)2 ,-±/r ox In2 (In 2)2 2/ 2、QX 2 =1+ x +-x +o(x ). 1!2!)则 p(x) =1 + xln 2 +(ln；)x2 为所求.4.利用泰勒公式求极限limx-x2ln(1+-). XIx(-)2(-)3)解：因为 in(1 + 1)一勺+、+ o(-) 3) , x x 23 x，(-)2(-)3()( )所以 x - x2 ln(1 +1) = x - x2P -+

14、7; + o(-)3) = -+o(-), xx 23 x 2 3xx-dbfr211111取limjx-x ln(1+) =1则二-丁+ o()=二.x .-x x -2 3x x 25.设f(x)有三阶导数，且四将=0,3=0,证明在 XT x(0,1)内存在一点右使f不)=0.证明：因为limf = 0)所以 f(0)=0, 0)=01(0) = 0 .x)° x2由麦克劳林公式得：f(x)=f(0) + f(0)x+fMx2+m2x3 =1)x3(已介于 0 与 X之2!3!3!间)因此"1)=三土由于f(i)=。，故fY) = 0.3!§ 3.4 数的单

15、调性与曲线的凹凸性1 .填空题(1 ) 函数y=4x2-ln(x2)的单调增加区间是 (-1,0) (1,=：)单调减少区间(-:，-1) (0.1).(2)若函数f(x)二阶导数存在，且f "(x) >0, f (0) =0 则 F(x);在。8 上是单调 增x加 .(3)函数y=ax2+1在(0,+叼内单调增加,则a>0.(4 )右点(1)3)为曲线y = ax3+bx2的拐点) 则l,b=l,曲线的凹区间为口，凸区间为32 .单项选择题(1)下列函数中，( A )在指定区间 内是单调减少的函数.A. y =2x(-二，二)B.y = ex(-二，0)C. y = l

16、n x (0,二)D. y = sin x(0,二)(2)设 f <x)=(x-1)(2x+1),则在区间 g,1)内(B ).A. y = f(x)单调增加，曲线y=f(x)为凹的B. y = f(x)单调减少，曲线y=f(x)为凹的C. y = f(x)单调减少，曲线y=f(x)为凸的D. y = f(x)单调增加，曲线y=f(x)为凸的(3 ) f(x)在 SD 内可导,且 Vxi,x2，当xi>x2 时,f区)> f区),则(D )A.任意 x, f，(x)>0B.任意 x, f，(-x)M0C.f(_x)单调增D. -f(-x)单调增(4)设函数f(x)在0,

17、1上二阶导数大于0,则 下列关系式成立的是(B )A. f(1) f(0) f(1)-f(0) B. f(1) f(1)-f(0) f(0)C. f(1)-f(0) - f (1) f (0) D. f (1) - f(0)- f(1) f (0)2.求下列函数的单调区间(1 )y =ex -x -1 .解：y，= ex-1 ,当x>0时，y，>0,所以函数在区间。,+«) 为单调增加；当x<0时，y-<0,所以函数在区 间y,0为单调减少.(2 ) y =(2x-5)3-X2 .一一 1解：y=9x 力(x-1),3当x>1)或x<0时)y +

18、0,所以函数在区间S,0U1,一)为单调增加；当0Vx<1时，y，<0,所以函数在区间0,1为单调减少.(3 ) y = ln(x ,1 x2)1 + 一x解：y，=U1=->0,故函数在(伙.单调x .1x21 x2增加.3.证明下列不等式(1 )证明：对任意实数a和b,成立不等式 |a +b | 三 |a| + |b|1 |a b | 1|a| 1 |b | ,证明：令 f(x)=-则 f'(x)=；T；三 >0 ,f(x)在0,+口)内1 x(1 x)单调增加.于是，由Ia b|<|a| -|b|, 就有f(|a + b|)«f(|a| +

19、 |b|), 即|a b| .:二 |a| |b| )|a|.|b|.:二上工.|b|1|a b| -1|a| |b| 1|a| |b| 1|a| |b1|a| 1|b|(2)当 x,1 时，lnx>2.x 1证明: 设 f(x)=(x+1)lnx-2(x-1)f'(x)=lnx+-1 由于x /当XA1时f 1(x)=1 A0,因此(x)在)单调递增,当 x xx>1 时，f (x) A f «) =0 ,故 f (x)在1,F 单调递增，当 x>1 时， 有 f (x) A f(1) =0 .故当 xA1 时，f(x)=(x+1)lnx 2(x 1)A0

20、, 因 止匕仙>汉,x 1(3)当x>0 时,3cnxsin x > x -62”,当 x>05、 k-» k-33 3-33l正明:f (x) = sin x - x f (x) = cosx -1 6 ,f "(x) = x -sin x >0 ?所以 f，(x)在0,f 单调递增，当 x>0 时，f，(x)>f，(0) = 0,故f(x)在0,+«)单调递增，从而当x>0时，有、,一AA3f(x) > f(0) =0 .因此当 x>0时 sin x>x- . ,64.讨论方程x-(sinx=k

21、 (其中k为常数)在(0,)内 有几个实根.解：设%x)=x-；sinx-k,则中(x)在0,会连续，且(P(0) = /P(l) = -k ,由中'(x) =1 _jcosx = 0) 得x 二 acos ?为(吟)内的唯一驻点.甲(x)在0,arccos月上单调减少，在arccos-, JI增力口.故中(arccosZ) narccos2 "/4 _k为极小值因此 中(x)二二 2在0二的最大值是k,最小值是arccosZ " 一 4 - k.2二 2(1) 当卜2或卜， 一手a时,方程在(0与内 22无实根；(2 ) 当arccos2JZN<k<0

22、时,有两个实根； 二 2(3) 当卜二,932一干时，有唯一实根. 二 2,5 .试确定曲线y =ax3+bx2+cx+d中的a、b、6d,使得x=-2处曲线有水平切线，(1,一10)为拐点，且 点(2,44)在曲线上.解： y'=3ax2+2bx+c,y" = 6ax + 2b , 所以 23a(2)2 +2b(-2)+c=06a+2b = 0a +b +c +d = -10a(-2)(x -1) +b(-2)2 +c(-2) +d =44角军彳导： a =1,b = 3,c = -24,d =16 .6 .求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间(1) 解：y、1 -x2 12

23、x3 6x23(x -1)令y, = 0,得x=0)当x = ±1时y*不存在.当1<x<0 或 x>1 时，y">0,当 x<1 或 0cx<1 时,y <0故曲线y = x + -x在，一段仁上是凸的,在区间 x 1和(-1,0) (1,)上是凹的，曲线的拐点为90).(2 )y=(2x5)3/7拐点及凹或凸的区间解：y二10 x -1102x1x = -2 时，y*=0 .在(T，F上是凹当x = 0时)y：y”不存在；当故曲线在S-2)上是凸的, 的，(_卡际是曲线的拐点，7 .利用凹凸性证明：当。时，sin；V2证明：令

24、f (x) =sin-则 f，(x)cos? 1 2221 xf (x) = -sin -. 42当0cx<n时，L(x)<0,故函数f(x)=sN 的图形 2在(0上是凸的,从而曲线y=f(x)在线段AB (其中 A(0, f(0),B(%f()的上方)又 f(0)=f =0,因此 f(x)>0,即一 x xsin > 一 .2 二§ 3.5 数的极值与最大值最小值1 .填空题(1)函数y = x2x取极小值的点是x = $.ln 221(2 ) 函数f(x) = x3.(x2.19在区间0,2上的最大 值为心)4,最小值为f(o)=-i.2,2 '

25、2 .选择题(1 ) 设f(x)在SF内有二阶导数，r(x0)= 0, 问f(x)还要满足以下哪个条件，则f(X0)必是f(x)的最 大值？ ( C )A .* = *0是£仪)的唯一驻点B.x=x0是f(x)的极大值点C. f “(x)在(口尸)内恒为负D.f"(x)不为零(2 ) 已知f(x)对任意y=f(x)满足xf "(x)+3x f (x)2 =1 -e)右 f'(xo)=0 (x。¥。)则 ( B )A.f(x0)为f(x)的极大值 B.f(x。)为f(x)的极小值C.(x0,f(X0)为拐点D. f(xo)不是极值点,(x0,f(x

26、。)不是拐点(3)若f(x)在x。至少二阶可导，且 limg詈则函数f(x)在*。处(A ) X& (x - x0)A.取得极大值B.取得极小值C.无极值 D.不一定有极值3.求下列函数的极值(1 )f (x )=x - x2/3 .21斛：由 r(x)=i-x飞=0)得 x = i.4f “(x)=；x二f"(1)>0 ,所以函数在x=1点取得极小值. 31(2 )f(x) = xx .1. 1-斛： 定乂域为(0,F)y =exnX, yH = xx (1-lnx)x令y:0得驻点x=e)当xw(0,e)时)y、0)当xw(e,z)时)y'<0 .1因

27、此y(e)=ee为极大值.4 .求y=2x3+3x212x+14的在-3,4上的最大值与最 小值.解：y(-3)=23, y(4) =132 .由 y，= 6x2 +6x -12 = 0)彳导 x =1, x = -2 .而 y(1) =7,y(-2) =34 , 所以最大值为132,最小值为7.5 .在半径为R的球内作一个内接圆锥体， 问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积 V最 大.解：设圆锥体的高为h,底半径为r,故圆锥体 的体积为V=1jir2h3，由于(h-R)2 +r2 = R2 因止匕 V(h)=1n h(2Rh h2) (0<h<2R)3由 V(h)=1 冗(4Rh

28、-3h2)=0 得 h=4R此时=等"333 73由于内接锥体体积的最大值一定存在，且在(0，2R) 的内部取得.现在V，(h)=0在(0,2R)内只有一个根，故 当h=g, ”亭R时，内接锥体体积的最大.336 . 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A 点到火车站B的距离为100km.欲修一条从工厂到 铁路的公路CD,已知铁路与公路每公里运费之 比为3:5,为了使火车站B与工厂C间的运费最省， 问D点应选在何处？解：设AD=xB与C间的运费为y,则y =5kd400 +x2 +3k(100-x)( 0<x<100)其中k是某一正数.由 yr=k(-j=5x= 3

29、) =0 得 x=15，. 400 x由于 y |x'二400k - y|xj5 = 380k - y00 = 500、；1 +3 - 其中以 y|x坐= 380k为最小，因此当AD= x=15km时总运费为 最省.7 .宽为b的运河垂直地流向宽为a的运河. 设河岸是直的，问木料从一条运河流到另一条运 河去，其长度最长为多少？解：问题转化为求过点C的线段AB的最大值.设木料的长度为l, AC=x,CB = y,木料与河岸的夹角 为3则x+y=l ,且 a bx 二 :,y =-, costsin ta b二l二cor京口0刀则asint bcostl =27 2)cos t sin t

30、22 3由 lr = 0 tant =，-,此时 l = (a3 +b3)2 a7故木料最长为22 3l = * +b3” .§ 3.6 数图形的描绘1求y;二的渐近线.(x 1)解：由lim x 2 = 0°)所以X=1为曲线y = f(x)的铅 xx 1)7直渐近线.因为23lim y = lim x-2 = 1, lim （y - x） = lim -x-2 - x - -2f：xx：（x 1） xf：x一；：（x 1）所以y = x-2为曲线y=f(x)的斜渐近线.一二32.作函数y二六9的图形。 2（x-1）解：函数的定义域为（-1）UO）.2x-2 x 1. 3

31、 x-2y :3, y = r .2 x -1 iix -1令y，= 0)得x =2, x = 1 ；令y* = 0)得x = 2 .列表讨企如下:x(-00, -1)-1(-1,1)(1,2)2_(2*)r y+040+FT y0y = f (x )极大拐点埴(2,3)由于-8f x x - 211 2x - x - 2 dlim=limr = 一 , lim f (xx i= lim= 1 ,x x x F：2xx-12 7 x、L 2 x >:- 2x-1所以，y=1x+1是曲线的斜渐近线.又因为四4 二 g,所以x = 1是曲线的铅垂渐近线. x 1 2 x -1当 x = 0时

32、 y = 1 ；当 y =0 时 x = V2 .综合上述讨论，作出函数的图形如下§ 3.7 曲率1 .填空题：(1 ) 曲线(x-1)2+(y-2)2 =9上任一点的曲率为1，y=kx+b上任一点的曲率为 0.(2 )y =4x-x2曲线在其顶点处曲率为2, ,曲率半径为，(3 ) 曲线y =sin x + ex的弧微分ds= v1 +(cosx+ex)2dx .2 ,求常数a、b、c,使y =ax2+bx+c在x = 0处与曲线 y=ex相切，且有相同的凹向与曲率.解：由题设可知函数丫 = 2* +。与丫=/在x = 0 处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故-,-1c =

33、 1, b = 1, a =23 .曲线弧y = sinx(0 <x <n)上哪一点处的曲率半 径最小？求出该点的曲率半径.解： y = cosx, y - -sin x , 曲线在一点处的曲率为sin x3(2 一sin2x)2|sinx|K -3(1 cos2 x)2令 f(x)=q，f(x)=,(2-x2)2(2-x2)2当0MxM1时,f (x) >0,故f(x)在0,1上单调增加，因此f(x)在点二,1)处在0,1上的最大值是f (1)=1 ,即 y = sin x(0 :二 x :二二)的曲率半径最小，其曲率半径为r = Li4.求椭圆,K：黑；在(0,b点处的曲

34、率及曲率 y = bsint半径.角军： x = -a sin t, y = b cost; x = -a cost, y = _bsin t因此曲率k =. F FF F II xy -x y |.2.2 3/2(x y )|bJ |_|2|,2.2, 22 、3/2 I(0,b) T | ,(a sin t b cos t)a 1曲率半径P=1/k=|a|.b§ 3.7 程的近似解1 .试证明方程x5+5x + 1=0在区间(-1,0)内有唯一 的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01.证明：令f (x) = x5 +5x+1, f'(x)=5x4+5&g

35、t;0 ,函数 f(x)在(-1,0)单调 递增.f(x)在-1,0上连续，且 f(-1) = -5 :二 0, f(0) =1 0,故方 程x5+5x+1=0在区间(-1,0)内有唯一的实根.求近似值 的过程略.第三章综合练习题1 .填空题1 ln(1 ) x.1 lim xsin - lim x 0 x xf ； arctanx函数y = x ln(x+1)在区间(1,0)内单调减少，在区间C内单调增加.曲线y+ln(1+ex)的渐近线是x = 0和y=0. xlim (tanx)c0sxx L-022 .求下列极限.1 tanx -1 sinx lim2x 0 xln(1 x) -x解：

36、四1 tanx - 1 sinxxln(1 x) -x2tanx-sin x limx 0 xln( 1 x) - x. 1 tanx 1 sin x1 -cosxtan xlim lim 2 x )0 ln(1 x) -x x 0 x1 1 - cosxlim 2 x * ln(1 x) - x1 sinx-lim2 x >0_ 11 x=m吗1 x)J2 0 x2/ . 1 . 11、1(-sin _ _cos-)coslim 1x-xxxxa 3 21(e -e ) sin 解:(-sin1 1 cos1) cos1lim1a (ex12a e1-2 lim x ”二a 2.1-e

37、 ) sin - x11cos 2 x xx -x = limx 厂一 2a e(-sin1 - 1 cos1) cos-cos"3-1)213e2ax.1sin 一 x.111-sin- -cos =limx x xf ：2ae3,求证当 x>0 时)x2x2 <ln(1+x).证明：令 f (x) =ln(1+x)-x+ f2(x0) b-ab -a44x2 ,贝 U2f (x)=, x-1 x =1 x当x A0时，(x)A0 ,故f (x)在0,F单调增, 当x>0时, 有 f(x)>f(0) =0 , 即x-1x2 <ln(1+x)24 . 设f(x)在a,b上可导且b-a >4 5证明：存在 /电 x0 w (a,b)使 f (x。)<1 + f2(