最新北师大相似三角形_基本知识点+经典例题

1、最新北师大相似三角形基本知识点+经典例题相似三角形知识点知识点1有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最 简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边 成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是am,或写bn成a:bm:n .注：在求线段比时，线段单位 要统一。在四条线段a,b,c,d 中，如果a和b的比等于c和d的 比，那么这四条线段 a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线 段.注：比例线段是

2、有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：bcd .aac(a : bc: d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d 叫比例后bd2项，d叫第四比例项，如果 b=c,即a : bb: d 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有bad。 在比例式黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC（ACBC）且使AC是AB和BC的比例中项，即AC2ABBC叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AC.即51AM 2 长短 51ACBC51 简记为：= ABAC2 全长 20注：黄金三角形：顶角是 36的等腰三角形。黄金矩形： 宽与长的

3、比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质基本性质：a:bc:dadbc ; a:bb:cbac .注：一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共 可化成八个比例式，如adbc,除了可化为 a:bc:d ,还可化为 a:cb:d , c:da:b , b:da:c , b:ad:c , c:ad:b , d:cb:a , d:bc:a .2更比性质（交换比例的内项或外项）：acbd反比性质（把比的前项、后项交换）：合、分比性质：acbdab（交换内项）cd , dc,（交换外项）badb（同时交换 内外项）ca . bd .acacabcd . bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式

4、中等号 左右两个比的前项，后项之间badcacac发生同样和差变化比例仍成立.如：等等.abcdbdabcd 等比性质：如果acemaacem (bdfn0),那么bdfnbbdfn 注：此性质的证明运用了 “设k法”这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法. 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.如：acea2c3ea2c3ea ;其中 b2d3f0 . bdfb2d3fb2d3fb 知识点4比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边

5、的延长线)所得的对应线段成比例. ADE/ BC可得：ADAEBDECADAM DBECADEAABACDECB注：重要结论：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例.三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给由了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往 做平行线，但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的 比及所求的两条线段的比.A 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线 所

6、截得的对应线段成比例. D已知AD/ BE/ CF,BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABB豉或或或等BCEFACDFABDEACDFDEEFCF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如 果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线 段也相等。知识点5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角 形.相似用符号“s”表示，读作“相似于”.相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.相似三角形对应角 相等，对应边成比例.注：对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶 点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角

7、形 的对应角和对应边.顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.两个三角形形状一样，但大小不一定一样.全等三 角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求 对应边相等，而相似要求对应边成比例.知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：反身性：对于任一 ABC有ABS ABC对称性：若 ABSA'B'C',则 A'B'C' sABC传递性：若 ABSA'B'C ,且 A'B'C sABC 则 ABSABC (2)三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边 的直线

8、和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与 原三角形相似.定理的基本图形：ADE ABADEBC(1)CDE(2)B(3)C 用数学语言表述是：DE/BC,，ADEsABC知识点7三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角 形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形

9、相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相 似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三 角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直 角三角形相似.(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.知识点8相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： 如图：称为“平行线型”的相似三角形BAAEDEDABC(1)CDE(2)B(3)C(2) 如图

10、：其中/ 1=/2,则AADk ABC称为“斜交型”的相似三角形。B2E1DC2BAA4D1E1DC2ABC®:称为“垂直型”“三垂直型”)BEDCAAEBEABC(D)CDAD2EBC1蹿：/ 1 = /2, / B=/D,则 ADa A ABC；称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：若 DE/ BC贝必 ADk A ABC射影定理 若CD为RtABC斜边上的高222则 Rt ABS RtAACtD RtACBDS AC=ADAB, CD=ADBD, BC=BD AB;ADBECEABDC满足 1、AC=AD AB, 2、/ACD= B, 3、/ ACBW ADC

11、 都可判定 ADS A ACB2CAD明ADA或 AD AB=ACAE时，AADEi A ACB ACABADBCADEBC 知识点9:全等与相似的比较：三角形全等两角夹一边对应相等 (ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)三角形相似相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直 角边对应成比例知识点10相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平 分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的

12、比等于相似 比.(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等， 也可用来计算周长、边长等.知识点11相似三角形中有关证题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系知识点12相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比.(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多 边形的相似比.(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去 解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是

13、基础和关键.知识点13位似图形有关的概念与性质及作法1 .如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点 的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2 .这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且 对应顶点的连线相交于一点.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.位似图形的对应边互相平行或共线.3 .位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位 似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图 形的所有性质.4 .画位似图形的一般步骤：确定位似中心分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长. 根据已知的位似比，确定所

14、画位似图形中关键点的位置顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小 的图形. 注：位似中心可以是平面内任意一 点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称 为“外位似”内位似：位似中心在连接两个对应点的 线段上，称为“内位似”在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为 k,原图形上点的坐标为，那么同向位似图形 对应点的坐标为（kx,ky）,反向位似图形对应点的坐标为（-kx,-ky）,相似三角形经典例题透析类型一、相似三角形的概念1 .判断对错：（1）两个直角三角形一定相似吗？为什么？（2）两个等腰三角形一定相似吗？为什么

15、？（3） 两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？（4） 两个等边三角形一定相似吗？为什么？ （5） 两个全等三角形一定相似吗？为什 么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角 相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一 个条件.解：（1）不一定相似.反例直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等， 也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.（2）不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对 应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 一定相似.在直角三角形 ABC与直角三角形 A B C中(4) 一定

16、相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边 三角形一定相似.(5) 一定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1,所以全等三角形一定相似，且相似比为1.【变式21下列能够相似的一组三角形为()A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定2 .如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点， AB=3BE DE与BC相交于 F,请战由图中各对相似三角形，并求生相应的相似比.3 .已知在 RtAABC, / C=90 , AB=1Q BC=6.

17、在 Rt EDF中，/ F=90 , DF=3, EF=4,贝U4 ABC和 EDF相似吗?为什么？举一反三【变式1】已知：如图正方形 ABC计，P是BC上的点， 且BP=3PC Q是CD的中点.求证： AD3 QCP.【变式31已知：如图，AD是4ABC的高，E、F分别是 AB AC的中点. 求证： DF% A ABC类型三、相似三角形的性质5. ABSDEF,若 ABC 的边长分别为 5cms 6cm. 7cm,而4cm是 DEF中一边的长度，你能求由 DEF的另外两边的长度吗？试说明理 .6.如图所示，已知 ABC中，AD是高，矩形EFGH9接 于4ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻

18、两边的比为 1: 2, 若BC=30cm AD=10cm求矩形EFGH勺面积.举一反三【变式1】4ABC中，DE/ BC, M为DE中点，CM交 AB 于N,若求.类型四、相似三角形的应用举一反三【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在 该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 mi已知小明的身高是mn,他的影长是2 m.【变式21已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在 地面上留下宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=,窗口高AB=,求窗口底边离地面的高 BC?类型五、相似三角形的周长与面积8 .已知：如图，在 ABC与ACAD中，DA BC, CD与 AB相交于 E 点，且 AE： EB=1： 2, EF/ BC交 AC于 F 点， ADE的面积为1,求 BCE和4AEF的面积.【变式21如图，已知: ABC中，AB=5, BC=3,