全等三角形几种类型[总结]5

1、WORD格式整理全等三角形与角平分线全等图形：能够完全史合的两个图形就是全军图形全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 全等多边舷的对应边、对应由分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE且五边形AB'CTD'E' 这里符号“且”表示全等，读作“全等于” B全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角膨的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三由膨对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示

2、：能卷完全重合的两个三角形叫作全等三角影能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应由全等符号为“0” 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 由平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角-(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角-(5)有对顶甬的，对顶角常是对应角全等三角形的判定方法：(1)(2)(3)(4)(5)边角边定理(S4S):两边和它们的夹甬对应相等

3、的两个三角膨全等角边角定理(d£4):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三由形全等角角边定理(d/IS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等-斜边、直角边定理(也)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 判定三角形全等的基本思路：'找夹角TSAS已知两边找直角THL找另一边tSSS边为角的对边找任意一角f AAS己知一边一角边就是角的一条边找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角-* AAS 找该角的另一边一SAS己知两角找两角的夹边TASA 找任意一边T AAS专业知识分享全等三角形的图形归纳起来有以下

4、几种典型形式：平移全等型(2)对称全等型（3）旋转全等型由全等可得到的相关定理：（1）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个甬的平分线上等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（6）线段垂直 平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（7）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上-与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到甬的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线

5、上它们具有互逆性由平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向由的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而膨成等腰三角形，3 - OA = OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中浅的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中爱的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角影底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的媒段叫做三角膨的中位媒三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半- 中位线判定定理：经过三由形一边中点且平行于另一边的直线必平分

6、第三边 中线中位埃相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点、），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式）， 尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为第见*例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在AB AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于。再连结AO、BC， 若4 = N2 则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由【巩固】如图所示，AB=AD，BC = DC，E、F在AC上，AC与BD相交于P 图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招

7、生考试）如图，AC DE，BCEF，AC = DE 求证： AF = ED -【例3】（2008年宜宾市）巳知：如图，AD = BC，AC=BD 求证：NC = ND 【巩固】如图，AC BD相交于O点，且AC=BD，AB=CD，求证：OA-OD D【例4（哈尔滨市2008年初中升学考试）巳知 加图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB = DC >BE = CF > ZB = ZC 求证：OA= OD 【例5】 已知，如图，AB= AC > CE± AB > BF ± AC，求证：BF = CE 【例6】 E、f分别是正方形ABCD的BC、CD边

8、上的点、，且BE = CF 求证：AE±BF DFC【巩固】E、F G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE，EF > GE = EF 求证： BG + CF = BC WORD格式整理【例7】 在凸五边形中，ZB = ZE，NC = ND > BC = DE，M为CD中点.求证：A14±CD 板块三、板长补短类【例1】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直践上的任意一点（点B除外），作NDMN = 60。， 射线MN与NDEA外角的平分线交于点N > DM与MN有怎样的数量关系？【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN

9、JLDM且与NABC外角的平分线交于 点N，MD与MN有怎样的数量关系？【例2】 如图，ADLIB，CBLAB，TAh，3k，N4价75°，NBMG4V，则 AB 的长为 ()k + hA. aB. kC. D. h2专业知识分享WORD格式整理【例3】巳知：如图，4阅9是正方形，ZFA4NFAE.求证：BE+DF=AE.【例4】如图所示，4ABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点 作一个60,的NMDN，点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长【例5】五边形脸中，房,超，BC+D笈CD，NMdN,抗庐180，求证：AD平分，CDE板块四【例1】

10、与角平分线有关的全等问题如图，巳知AABC的周长是21，OB，OC分别平分NABC和NACB，OD J.BC于D，且OD = 3 >求AABC的面积【例2】在ZkABC中，D为BC边上的点，已知/BAD = NCAD > BD = CD，求证：AB = AC 专业知识分享WORD格式整理【例3】巳如AABC中，AB= AC，BE、CD分别是NABC及NACB平分线求证：CD = BE 专业知识分享【例4】巳知4ABC中，NA=6(T，BD、CE分别平分NABC和NACB > BD、CE交于点0，状判 新BE、CD、BC的数量关系，并加以证明【例5】如图，巳知E是AC上的一点，

11、XZL = Z2，N3 = N4 求证：ED=EB -【例6】（“希望杯”竞赛我题）长方形力筋中，刃笈4,除7, N6切的角平分线交相于点八初L面 交AB于/，则EF=【例7】 如图所示，巳知AABC中，AD平分NBAC >E、F分别在BD、AD上-DE = CD >EF = AC 求 证：EF | AB【巩固】如图，在AABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF 勾D交CA的延长线于点F， 交AB于点G >若BG = CF >求证：AD为NBAC的角平分线【巩固】在AABC中，AB>AC，AD是NBAC的平分线 P是AD上任意一点求证：AB-AC >

12、PB-PC 【例8】 如图，在AABC中> ZB = 2ZC，ZBAC的平分线AD交BC与D 求证：AB + BD = AC -【例9】 如图所示，在AABC中，AC> AB，M为BC的中点，AD是NBAC的平分线，若CF J.AD 且交AD的延长线于F，求证MF = ：(AC-AB)【巩固】如图所示，AD是AABC中NBAC的外角平分线，CD «L AD于D，E是BC的中点，求证DE/AB 且DE(AB+AC) 7【巩固】如图所示，在AABC中，AD平分NBAC，AD=，CM JLAD于M，求证AB + AC = 2AM 【例10】如用»AABC中，AB =

13、AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADJ.BD于D，AE_LCE 于E 求证：AD= AE -【巩固】巳知：AD和BE分别是 ABC的NCAB和NCBA的外角平分钱> CD ± AD > CE ± BE，求 证： DE/7AB ； (2) DE = 1(AB + BC+C/Q -【例11】在4ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ZABE、NACF的角平分线，AM±BM，ANJ.CN 垂足分别是M、N 求证：MNBC，hlN = 1( AB+AC+ BC)【巩固】在AABC中，MB、NC分别是三角形的内角NABC、NACB的角平分线，AM_LB

14、M >AN±CN 垂足分别是M、N 求证：MNBC，hdN = l(AB+AC-BC)WORD格式整理【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形期CD中，AC平分/BAD，过C作CE_L AB于E，并且 AE =-(AB+ AD)，则 NABC + NADC 等于多少？2【例12】如图，ZA+ZD = 180°，BE平分NABC，CE平分NBCD，点E在AD上探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系探讨线段BE与CE之间的位置关系版块一、倍长中线【例1 巳知：ABC中，AM是中线-求证：AM<(AB+AC) 【巩固】(2002年通化市中考题)在AABC中，AB =

15、 5,AC = 9，则BC边上的中线AD的长的取值范围 是什么？【例2】 如图，AABC中，AB<AC，AD是中线求证：ZDAC<ZDAB 专业知识分享【例3】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F， AF = EF，求证：AC = BE 【例4】巳知46C N层NC，£分别是”及M延长线上的一点，且BACE，连接丝交底欧于 G > 求证 GAGE 【例5】巳知AM为AABC的中线，ZAMB，NAMC的平分畿分别交AB于E、交AC于F 求证： BE+CF >EF WORD格式整理【例6】 在RtAABC中，ZA= 90

16、°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且 ED1FD 以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在ZkABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM?+6? = DM?+DN?， 求证 AD? = L( AB + AC?) 4A【例7】(2008年四川省初中数学联赛复赛初二组)在RtAABC中，F是斜边AB的中点，D ” E分 别在边CA、CB上，满足NDFE = 90。若AD = 3，BE = 4，则线段DE的长度为版块二、中位线的应用【例8】AD是AABC的中线，F是AD的中点，BF的

17、延长线交AC于E 求证：AE = ?AC -3A【例9】 如图所示，在AABC中，AB = AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，境接CE、 CD，求证 CD = 2EC 【巩固】已知用中，.但心BD为"的延长假，且旌耳，传为灰、的”边上的中线求证CDLCE【例10】已知：，协力是凸四边形，且/«劭 小/分别是49、及7的中点，房交"于V；必交切于 川，行和劭交于。点求证：NG%»NGWB F c【例11】在AABC中 ZACB = 90° > AC =1BC，以BC为底作等腰直角ABCD > E是CD的中点，求证：AE

18、LEB 且 AE = BE WORD格式整理【例12】如图，在五边形ABODE中，NABC = NAED = 90。，ZBAC = ZEAD，F为CD的中点求证： RF = EE 【例13】(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是AABC内的一点，ZPAC = ZPBC，过 P 作 PM JL AC 于 M，PL JLBC 于 L，D 为 AB 的中点，求证DM = DL -【例14】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在AABC中，D为AB的中点，分别延长CA CB到点 E、F，使DE = DF 过E，F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB 的中点分别为M、N 求证：(1) ADEMgAFDN ；(2) ZPAE = ZPBF 专业知识分享家庭作业【习题1如图 > 巳知AC = BD > AD±AC > BC±BD，求证：AD = BC 【习题2】点W，力在等边三角形d贺的，扮边上运动，除/，/版120，乙仞值60，求证 肿=.侬陆【习题3】在AABC中，AB = 3AC，ZBAC的平分线交BC于D 过B作EEJ.AD，E为