三角形全等之倍长中线(含问题详解和练习)

1、实用文档三角形全等之倍长中线1 .如图，AD为4ABC的中线.(1)求证：AB+AC>2AD.(2)若AB=5, AC=3,求AD的取值范围.2 .如图，在 ABC中，AD平分/ BAC,且BD=CD. 求证：AB=AC.3 .如图，CB是4AEC的中线，CD是4ABC的中线，且 AB=AC. 求证：CE=2CD;CB平分/DCE.文案大全4 .如图，在4ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC,BE的延长线交AC于点F .求证：/AEF=/EAF.5 .如图，在4ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF /AD交CA的延长线于点 F, 交 AB 于点 G, BG

2、 = CF.求证：AD为 ABC的角平分线.6.如图，在四边形 CD的中点，且 长.ABCD中，AD / BC,点E在BC上，点F是AFXAB,已知 AD=2.7, AE=BE=5,求 CE 的7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E, 4FEB为等腰直角三角形，/ FEB=90°,连接FD,取FD的中点G,连接EG, CG.求证：EG=CG 且 EGLCG.【参考答案】延长AD至E,使DE=AD,连接BE, . AE=2AD.AD是 ABC的中线BD=CD在4BDE和4CDA中BD =CD1=2ED =AD.-.BDEACDA (SAS)BE=AC在 ABE 中，AB+

3、BE>AEAB+AC>2AD(2)解：由可知AE=2AD, BE=AC在 ABE中，AB-BE<AE<AB+BE. AC=3, AB=55-3<AE<5+3 2<2AD<8 . 1<AD<42.证明：如图，延长 AD到E,使DE=AD,连接BE.在4ADC和4EDB中CD = BD23=/4AD = ED.ADCAEDB (SAS) .AC=EB, /2=/EAB=AC证明：如图,. AD 平分 / BAC3.延长CD至ij F,使DF=CD,连接BF. . CF=2CD,. CDMAABC的中线BD=AD在ABDF和AADC中BD

4、= AD2=1DF = DC实用文档.-.BDFAADC (SAS) .BF=AC, Z3=ZA,. CBMAAEC的中线BE=ABv AC=ABBE=ACBE=BF: / CBE是 ABC的一个外角 ./CBE=/BCA+/A=ZBCA+Z3v AC=AB ./ BCA=/CBA ./ CBE=/CBA+/3=/ CBFftACBEffiACBF 中CB =CBIRCBE =/CBFBE =BF.-.CBEACBF (SAS) .CE=CF, /4=/5 . CE=2CDCB平分/ DCE4.证明：如图，延长 AD至UM,使DM=AD,连接BM .M.D是BC边的中点BD=CD在AADC和A

5、MDB中CD = BDADC =/MDBAD =MD.ADCAMDB (SAS) ./CAD=/M, AC=MB文案大全实用文档v BE=ACBE=MB./ M = /BEM ./ CAD=/ BEM . /AEF=/BEM ./ CAD=/AEF即 / AEF=/EAF5.证明：如图，延长 FE至ij M,使EM=EF,连接BM. 点E是BC的中点BE=CE在ACFE和ABME中FE =MEI2CEF =/BEMCE =BE.CFEABME (SAS) .CF=BM, / F=/Mv BG=CFBG=BM ./3=/M ./3=/F. AD/ EF；/2=/F, /1 = /3/ 1 = /

6、2即AD为 ABC的角平分线.6.解：如图，延长AF交BC的延长线于点G.文案大全. AD/ BC ./ 3=/G二点F是CD的中点 DF=CF在AADF ffiAGCF 中3 u/GI-；Z1 =，2DF =CF AADFAGCF (AAS) . AD=CGv AD=2.7CG=2.7AE=BE ./5=/Bv ABXAF. /4+/5=90° /B+/G=90° ./4=/GEG=AE=5CE=EG-CG=5-2.7=2.37.证明：如图，延长EG,交CD的延长线于M. ./ DCB+Z FEB=180°EF / CD ./ FEG = /M 点G为FD中点F

7、G=DG在AFGE和ADGM中.FEG =/M.FGE =/DGMFG = DG.FGEADGM (AAS) .EF=MD, EG=MG.FEB是等腰直角三角形EF=EBBE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD即 EC=MC . ECM是等腰直角三角形v EG=MGEGXCG, /ECG=/MCG=45°EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题1.（4月21日）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB=AD+BC, E是CD的中点.求证：AEXBE.2（4月22日）已知：如图， ABC与4BDE均为等腰直角三角形,BA，AC, EDLBD,垂足 分别为A

8、, D,连接EC, F为EC中点，连接AF, DF ,猜测AF, DF的数量关系和位置关系， 并说明理由.3. （4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C （不与点A, B, D重合），分别以AC, BC为斜边在AB同侧作等腰 RDACE与等腰RDBCF, / AEC= / CFB=90° ,连接 DE, DF, EF.求证： DEF为等腰直角三角形.4. （4月24日）已知：如图，在四边形 ABCD中，AB/DC, E为BC边的中点，/ BAE=/EAF, AF与DC的延长线相交于 点F.试探究线段AB与AF, CF之间的数量关系，并说明理由.【参考答案】1

9、.证明：延长AE交BC的延长线于点F.v AD/ BC.D = /DCF, /DAE=/F. E是CD的中点DE=CE在4ADE和4FCE中7 D =/FCEI2DAE =/FDE =CE.ADEAFCE (AAS) .AD=FC, AE=FEv AB=AD+BC . AB=CF+BC=BFftAABEffiAFBE 中AB =FB« BE = BEAE = FE.ABEAFBE (SSS) ./AEB=/FEB=90°即 AEXBE2.解：AFXDF, AF=DF,理由如下:延长DF交AC于点P.v BA±AC, EDXBD ./ BAC=/EDA=90

10、6;DE/ AC ./ DEC=/ ECA: F为EC中点EF=CF在AEDF和ACPF中DEF ="CFI« EF =CFZ EFD =/ CFP.EDFACPF (ASA) .DE=CP, DF=PFv ABC与八BDE均为等腰直角三角形 .AB=AC, DE=BDAB-BD=AC -DE=AC -CP即 AD=AP在ADAF和APAF中DF =PFAF = AFAD =AP.DAFAPAF (SSS)丁. / DFA=ZPFA=90° , / DAF=/ PAF=45°AFXDF, AF=DF3.证明：延长ED到点G,使DG=DE,连接BG, FG

11、.D为线段AB的中点 . AD=BD在4EDA和4GDB中ED =GD!/ / /EDA =Z GDBDA = DB.EDAAGDB (SAS) .EA=GB, /A=/GBDv ACE与八BCF是等腰直角三角形 .AE=CE=BG, CF=FB, / A=/ECA=/FCB = /FBC=45° ./ECF=90°, / GBF=/GBD+/FBD=90°在AECF和AGBF中EC =GB ! / ECF =/ GBFCF =BF.ECFAGBF (SAS) .EF=GF, /EFC = /GFBvZ CFB=/ CFG+ZGFB=90° . / EF

12、G = / EFC+ZCFG=90°在AEFD和AGFD中EF =GFIFD =FDED =GD.EFDAGFD (SSS) ./EDF = /GDF=90°, / EFD= / GFD=45°DE=DF .DEF为等腰直角三角形 .解：AB=AF+CF,理由如下：延长AE交DF的延长线于点G.G.E为BC边的中点BE=CE. AB/ DC. B=/BCG, / BAG=/GftAABEffiAGCE 中fZ B =/ GCE/ BAE =/ GBE =CE.ABEAGCE (AAS) . AB=GC . / BAE=/EAF G=/EAF . AF=GF. GC

13、=GF+FC . AB=AF+CF三角形全等之倍长中线(随堂测试)1 .在4ABC中，AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是2 .已知：如图，在 ABC中，AB*C, D, E在BC上，且DE=EC,过D作DF/AB交AE于点F, DF=AC.求证：AE平分/BAC.【参考答案】1 . 3<AB<132 .证明略（提示：延长 AE到点G,使EG=EF,连接CG,证明 DEFzXCEG）.三角形全等之倍长中线（作业）1 .已知：如图，在4ABC中，AB=4, AC=2,点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=.2 .已知：如图，BD平分/ ABC交AC于D,点E为CD上一点，且 AD=DE, EF/ BC交BD于 F.求证：AB=EF.3 .已知：如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB, AC为直角边向外作等腰直角 三角形.求证：EF=2AD.4 .如图，在 ABC中，AB >AC, E为BC边的中点， AD为/BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.5.如图，在四边形ABCD中，AD / BC,点E在BC上，点F是CD的中点, /EAF,求证：AFXEF.连接AF,若 /