考前突击：史上最全椭圆二级结论及其证明92条,双曲线二级结论及其证明92条,抛物线二级结论及其证明30条

1、考前突击：史上最全椭圆二级结论及其证明 92条, 双曲线二级结论及其证明92条，抛物线二级结论及 其证明30条2019年3月12日1.抛物线二级结论30条抛物线性质30条已如抛物战炉=2时/。卜AB是触物线的焦点弦t点C是AB的中点垂直准战于BB.底直笈线F夕，CU垂直用?£ 1- C CC'胃抛物线干点M,雷线工m轴F点K.求证:L M产|=$4与履产上与4舄2 . 卬| 网 网卜 22工K AB为直性的圆町准线L相切： 证明；CC是梯陪AA%方的中位线.| AB= 4F |十| 8FH且十团片卜21卜2尸4 .乙4c6 = 90% （由I可证）5 .；证明：/ AAf |

2、 FK;卢K = £FAA.*4 .4F R 且41二 £AAF - ZAFA同理；/8rFK = J/EF札得证，6 .|C = i|AT3|证明；由47TT = 9Q得证.工AC垂直平分AF： EC'垂直平分B'F：证明：由|5 二|AH|可知 |CFr,|H四=|。” 22与生儿”,得证同魏可证另一个.8. AC'平分BC 平令 4R'BFF 平分 N/FK, B' F 平分 NBFK .证明：由AU垂直平分AT可证.9. CT 1 AB ：证明：CrF-AB = (p,-5；*- ) (% - %，Ji- )'i) =

3、M.0-x)十吗K=苧一手十吗E=。10. |-4F| = ： I bf =-11 1-CQsa I 1 1证明：作 AH 垂直 k 轴于点 H,则 | .4 b目 AAr=KF-FH |= p+1 AF cos a,: AF |=左. 问理可证另一个.112由十际（一万'证明；由|/F| =；忸曰=；得证.1 - cos a1 + cos a12 .点A处的切线为My = p（x + x>：证明，（方法一）设点A处切线方程为A。-%），与炉二2P工联立，过kyr 2对 4 2P（凹一Ax）=0,由 A = 0n 2p/ + p = 0,解这个关于A的一元二次方程（它的差别式也恰

4、为0）得；A=l = K,得证，2再必证法二，（求导）二二28两边对x求导得2万= 2p. ./ = £，得证.13 . AC'是切线，切点为A: DC'是切线.切点为D:证明；易求得点A处的切线为yj = ”（工+xj,点B处的切线为外厂=,/十与），就得两切线的4 点为（一刍,纭工），得证.14 .过抛物线准线上任一点P作抛物线的切线，则过两切点5、的弦必过焦点;并且尸。，尸02证明：设点4为准线上任一点，过点P作抛物线的切线,切点为。（令川,炉二2内两边对才求导得2万'=2p, / =:'一产显然A = 4J +4/ >0,切点有两个，设为

5、J）0式令'，外），则M十/二2八乂力=p2>i 为 _ 2网2 22 22研yi-p2=悬斤-悬r悬-悬二°,所以QQ过焦点西恒=（含哼）专，/-，)=等 + 4+ « )1 + >2)+1以小吟*-2=_或之苧匚.）0m15. A. O、B'三点共线：B. O、A'三点共线:证明：A、O. B'三点共线U4“<=,£）、=- 同理可证：从O、A'三点共线.16x, -x2 =证明，设AB的方程为少二双工一与），与丁=2内联立，得心3-20，一切O.k 一跖 P '12 2p 2p 4P24 &#

6、39;17|,4用=与十/十=二-sin-a证明：|,48|二|.4日十忻同二为十与十圣十与=X +4 + P,I 叫 U/(WJ-4y" = EE底八5=2=2pVl +cot2 a =-4.得证. sin-a18. Sy)B => .X4</o-2 sin a证明：53 = 3% + S" =y-y-J(M +jfWe。5/（定值）； 证明：由=、鼠m二上二得证sirT"2sina证明：又必二/ 1曲, I所1= »pJlQ 旧-（也产）2证明：叫|所1=/2471.卜（21. AB>2pt 证明，由45| 二一得说 sin，a22

7、. kAB =; 证明:由点控法得证.乂十%23. tana = =:“ 尸”尸证明：作状垂克x轴干点心在A44尸中,tana二若二一，同理可证另一个.,2 x-E24. |ArBf=4|AF|-|BF|;证明：|.4'町=串斗忸目口从一凡=4（玉+4X毛+4 44O ）'； 4 >?2 - 2yM = 4玉七 + 2 网 + 2户2 + p，o -2y% =驾电 + P 由=玉七二?得证25. 设CC交抛物线于点M.则点M是CC的中点：证明：（之卢，上；工中点横坐标为:" J 把尸=红芥2代入 >尸=2,丫，得、十号十2州"”.X=土/444所

8、以点M的横坐标为工二上士?二E.点M是CC，的中员 当弦AB不过焦点时,设AB交x轴于点/外儿0）（小 >。）,设分别以A、B为切点的切线相交于点P, 求证，当弦AB不过热点时.设AB交x轴于点0)，设分别以A、B为切点的切线相交于点P, 求正26点P在直线/=-加上证明：设.48:犬=9 +，与)*=2尸1联立，得y1 -2pty -2pm =(X 'y + % = 2=-2pm 又由仆节?相减得(%-%)广冬岑Q二中，PBzyy = p(x±x2)L 乙/22代入J'lJ = P(x+芯)得.士/，lb = " +3，yxy2 = 2pjc,:.x

9、 = 一m,得证.27 .设PC交抛物线尸点M,则点M是PC的中点:证明：C(2k±i.产(_砧尸E点横坐标为"2 '：一)"、把,=里卢代入1/=2p.T.得小号 2m "pk 7M=-2p%.2g+2：4pm=2*廿. k $ r )*>>所以点M的横坐标为x =+ / 点M是PC的中点，428 .设点A、B在准线卜.的射影分别是Ai, Bi,则PA垂直平分AiF, PB垂直平分BF,从而PA平 分产，PB平分/48尸证明，Xkz =B，一匕上一二£，(U)= -i尸/工同尸，'乂 §-(-£

10、)必 P又I力/耳44|所以以垂直平分AF.同理可证另一个.祈一ktan /.FAP tan APAAy =I + kAf - k ", 1 + k m, kMLan /.FAP - tan ZPJ.4,2咏P 。/ M1十2叫 p y; - p m2py-P" )威士 p*7t0f + /。上= B=E = 0Ji K 7,/. tan /.FAP = Ian ZP41 ,". /.FAP - PAA.同理可证另一个29 上".4 = tPFB证明；A/M4 = AP4F = ZPFA = /F44 同理：£PFB = ""

11、;Bl 只需证= /Pg易近 |总 H PF R FBJ,：£P4瓦:WFB1A, :P&A匚/尸瓦氏2.椭圆二级结论92条椭圆二级结论大全（证明附后）1.P娟+|尸用=2a222标准方程三+=1优 D3.=e <1224 .点P处的切线PT平分WF1F2在点P处的外角.5 . PT平分WF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点.6 ,以焦点弦PQ为直径的圆必与时应准线相离.7 .以 焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 ,设Ai、Az为椭圆的左、右顶点，则WF1F2在边PFz（或PFi ）上的旁

12、切圆，必与A1A2所在的直线切于A?（或Ai）.X2 /9.椭圆/+与= l（a>b。）的两个顶点为 4（一凡0）/50）,与y轴平行的直线交椭圆于Pi、P2时台XA1P1与A2P2交点的轨迹方程是矿10 ,若乙（木。,）在椭圆二十=1上，则过乙的椭圆的 / O切线方程是工a+拉=1b2.L2AB的中点，则自“也b=ya2213.若%（%,乂）在椭圆二十二=1内，则被P。所平分a b22的中点弦的方程是?+岑=2+&./ b a b2214 ,若月（%。/，0）在椭圆二+匚=1内，则过Po的弦中优 D点的轨迹方程是1+=誓+警. a b a b2215 .若PQ是椭圆二+二=1

13、（a>b>0）上对中心、张直a* o角的弦，则+16 .若椭圆三+=1 （a>b>0）上中心张直角的弦L所在直线方程为= 1 （，如工0）,则 与？5人号空.a &(?" + bE17 .给定椭圆 Q : b2x2 +a2y2 = crbz ( a > b > 0 ), C2 : flBl2； 2/ + a,2 =(二/)2厕(i)对q上任意给定的点a +bP（*。j。）,它的任一直角弦必须经过Q上一定点（订）对。2上任一点/（%。0 ）在G上存在唯一的点M ：使但A/ 的彳工一吉伊昉却归;计P'占22 Y V19 .过椭圆= +

14、F = l(3>0,八0)上任一点月(不。,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且爆°=野工(常数).a y0x2 /20椭圆一r +二=1 (a>b>0)的左右焦点分别为Fi尸2 ,点P为椭圆上任意一点 3/第二/，则椭圆的焦点三角形的面积为S/9玛=从面5,P±Jc2 -62 tair , ±tan ).c V2 c 22221 .若P为椭圆=+J = 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi, F 2是焦点,/尸片£=a, /次4=乃，则a - G a B=tan tan .MFr

15、= a + exQI IF2 = a-exQ(I(-c.O),g(q0), M(Wo) 23 .若幡圆三+ = = 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为Fk F2 ,左准线为L,则当正-1 W c < 1时，可在椭圆上求一点P ,使得PF1是P到 对应准线距离d与PF2的比例中项.2225.椭圆? + % = l(a>b>。)上存在两点关于直线，：v = A(x-$)对称的充要条件是X； < ("二.26 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准

16、线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28 .P是椭圆x = a cos (P(a>b>0 )上一点，则点P对 y = 6 sin w椭圆两焦点张直角的充耍条件是。2 =1 + sin，>29 ,设A,B为椭圆二+二=Xk> 0 W 1)上两点，其直线AB与椭圆工+ % = 1相交于RQ,则4P = Q. a o22定长为2m ( o<m<a )的弦30 .在椭圆二+二=1中， a b中点轨迹方程为m1a1 cos2 a +b2 sin。a),其中r)xtan a = - ry = 0« =90 .ay31 .设S为椭圆巨+ = 1 (

17、a>b>0)的通径，定长线 a b段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB| = / I4/。)是充要条件是A2a2 + B2b2 > C2.（xfV 5一凡）,-?M-=1与直线+碘+C = 0有公共点的充要条件是4/ + B2b2 > （小, + By。+ C）2.22弘.设椭咤+ %= l(a>b>0)的两个焦点为Fi、F3P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在&PF1F2中，记&、吗=a, 4/"；=" 4gp = 了，则有sin a c = = e. sin/ + sin/ a35 .经过椭圆b2x2 +a2y2

18、 = «2Z>2 (a>b>0)的长轴的两 端点Ai和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于Pi和P2,则卜/大36 .已知椭圆二+二= l(a>b>0),0为坐标原点，P、 a bQ为椭圆上两动点，且。产_L。.(1) 卷十看W+和2 ) |。吁网的最小值为4。2 b2 ，一一士=q2 +/2 ； ( 3 ) Sh°pQ 的最小(MjE °2 + /.37 . MIN 是经过椭圆 bzx2 +a2y2 =( a > b > 0 )焦点的dA弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦, 则 |/lB = 2a|A£

19、;V|.38 . MIN 是经过椭圆 b'x： + a2y: = cfb1 （ a > b > 0 ）焦点的任一弦，若过椭圆中心。的半弦。尸，八则上的两顶点）的交点N在直线/ : x=£ (或 y =上.40 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为 椭圆长轴上一个顶点连结AP和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点，则MFJLNE41 .过椭圆T焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q Al、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M , A2P和 AiQ交于点N ,则MFXNF.2242 ,设楠圆方程匚+="则斜率为k（kwO）的平行弦的

20、 cT b中点必在直线/ ：沙=去的共辗直线），=左'上,而且kk'=- aX2 v243 设A、B、C、D为椭圆/方=1上四点AB、CDI心叫 _ cos2 /3 +a1 sin2 J3 |PC| * PD b1 cos2 a + a二 sin2 a2且P不在椭圆上则+ y1 =( cy2 2 a y2 2 q y所在直线的倾斜角分别为外 £ ,直线AB与CD相交于R44 ,已知椭圆匚+二=1 （a>b>。）,点P为其上一点 a2卜Fi, F2为桶圆的焦点，的外（内）角平分线为/ , 作Fi、Fz分别垂直/于R、S ,当P跑遍整个隔圆时，R、S 形成的轨

21、迹方程是该椭圆右支于M, N两点日玄M N的垂直平分线交x轴于P ,则于x2b2=1 (a>b>0)上任点，过A作一条斜率为-的直线L,又设d是原点到直线L的距离，大弓分别是A到椭圆两焦点的距离，则48 .已知椭r + 5 = 1( a>b>0)和r + q ba(0<2<1 )，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，贝l|AB| 二|CD|.2249 ,已知椭圆二+七a t=1( a> b>0 ) ,Ak Bx是不肯圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点尸(小,0),niI a2-b2则a50 .设P点是椭圆a二+J = 1( a&

22、gt;b>0)上异于长轴q b端点的任一点,Fi、F2为其焦点记”四；=夕，则(1)| 必 |% |=2b21 + cos 0、e(2) $kpg=b tan .47 .设 A ( Xizyi)是椭圆一y +51 .设过椭圆的长轴上一点B( m,o )作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN : x = 于M , N两点，则a < Bresin e （当且仅当PH=b时取等号）.53是椭圆:+1=1 （ a>b>0）的准线,A、B是 cT b"椭圆的长轴两顶点，点尸，是离心率，ZEPF = « ,

23、H是L与X轴的交点c是半焦距，则a是锐角且sina&e或a W arcsin e （当且仅当| PH |=时取等号）.2254 . L是椭圆工十二=1 （ a>b>0）的准线，E、F是 a b两个焦点，H是L与x轴的交点,点尸eL , AEPF = at离心率为e ,半焦距为c ,则a为锐角且sin a K产或a < arc sin e2 （当且仅当 | PH =->la2+c2 时取等号）.c55 .已知椭圆f+懑>=1 （ a>b>0）,直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点h连结起来，则公<| FA-

24、B<（2从了（当且仅当AB±x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、匕、B三点共线时左边不等式取等号）.56 .设A、B是椭a > b > 0 ）的长轴两端点,P是椭圆上的一点，"AB = a, 4BA = /3qPA = y ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有|%|二.(2) tan ct tan /? = 1 - e2 .(3)2abl | cos«""222a 一。cos a相交于P、Q两点，则NP/出+ /。45 = 180二2258 .设A、B是椭圆二+二=1( a>b>0)长轴上分别 a, b，位于椭圆

25、内(异于原点)，外部的两点，(1 )若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且Z7汨4 = /0匹4，则点A、B的横坐标x.满足=a；(2)若过8点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且乙PAB + 4QAB = 180、,则点A、B的横坐标满足马马=/. Y*59 .设4/1是椭圆r +=1的长轴的两个端点，。'是与44'垂直的弦，则直线月。与,40的交点P的轨迹是双22曲线f L2260 .过椭圆亍+a=1( a>b>0)的左焦点?作互相垂直的两条弦AB、CD则学叫+|CO区红山 ci.261 .到椭圆y+ ” =

26、1 ( a >b>0)两焦点的距离之比等于一(c为半隹距)的动点M的轨迹是姊妹圆 b(x+a): + y2 = b:.62 到椭圆十分=1( a > b > 0 )的长轴两端点的距离n交点的距离之比为j （ C为半焦距）的动点的轨迹是姊 b妹圆（X ± =）2 + / = （4）2 （ e为离心率）. ee64 .已知P是椭圆二+二=1 （ a>b>0）上f 动点， a b是它长轴的两个端点，且叱,/Q JL/P ,则V2 Mv2Q点的轨迹方程是二+二1=1. a a65 ,椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点目 与此直径平行的弦长和长

27、轴之长的比例中项.2266 .设椭圆二+J = 1（ a>b>0）长轴的端点为b2x的直线4 40（斗乂）是椭圆上的点过P作斜率为-a yI ,过44分别作垂直于长轴的直线交/于MA/,则（1） I AM |月入，|= /. （ 2 ）四边形40171/面积的最小值是 2ab.r2 v267 .已知椭圆=+'=1a ba>b>0）的右准线/与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点产的直线与椭圆相交于A、B两点点。在右准线/上，且6。/八轴，则直线AC经过线段EF的中点.68 . OA. OB是椭圆（工一疗 y1十5=1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦

28、，O为坐标原点，则（1 ）直线AB必经一个定点产:鹿少注）0）以PA、P为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是ab2+a2m . b1 n (224 +na2 -b1)(”一下力+(尸 E =U(x W/w 且 y =，？).70 .如果一个椭圆短半轴长为b ,焦点Fl F2到直线£的距离分别为山、£12,那么（1）4&=/,且匕2在上同 侧。直线L和椭圆相切.（2 ） 44 >/，且Fk F2在L同侧=直线上和椭圆相离，（3 ）< /，或Fi、F2 在L异侧o直线L和椭圆相交.2271 . AB是椭圆二+二=1 （a>b>0）的长轴，N是椭

29、 a b'圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、。两 点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2 4v2十=1("o).Q O2272 .设点尸际%）为椭圆1r十2=1 （ a>b>0）的内22部一定点，AB是椭圆二+J = 1过定点PG，%）的任一 a b弦,当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时(|A4|“PB|)x"(a" +52x02).当弦AB垂直于长轴所在直线时,a2b2 + b2xQ2)a + c 与 a-c.76 .椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距

30、离与以该焦点为端 点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中， 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 78 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定 比e.79 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比 例中项.80 .椭圆焦三角形中，桶圆中心到内点的距离、内点到同侧 焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81 .椭圆焦三角形中，半焦距、外点与椭圆中心连线段、内 点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82 .椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线 引垂线则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平 行.83 .椭

31、圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线 引垂线，则桶圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84 .椭圆焦三角形中，过焦点向非焦顶点的外角平分线 引垂线，垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为 直径的圆的切点.85 .椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长 轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86 .椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平2289 .已知椭圆=十 * = 1（。>0,6>0）（包括圆在内）上有一点P，过点P分别作直线的平行线,aa与X轴于，与歹轴交于凡Q.,。为原点，则：（1）3十|。¥/=2" ;（2） OQOR

32、= 2b90 .过平面上的尸点作直线4：），= x及4：y = 平行线,分别交轴于,交y轴于凡。.（1）若 |。Z2+|尔=2" ,则P的轨迹方程是22= + 二=1（。> 0» > 0）。）若 I。+1 on=2/ ,则a, b"P的轨迹方程是三+与=1（。> 0/ > 0）. a b91 .点尸为椭圆三+ £ = 1（4 > 0,方>0）（包括圆在内）在 第一象限的弧上任意一点，过P弓1%轴、y轴的平行线， 交y轴、x轴于A/,N，交直线y = -3于。,7?，记 a OWQ与的面积为几S?,则：51+52 =.,

33、2t92 .点尸为第一象限内一点，过尸引X轴、y轴的平行线,轴于,交直线y = 一2X于Q,R，记 a，则OA。与。人衣的面积为E ,S已知凡+M =贮产的轨迹方程是T+Hnig）。/。）.椭圆二级结论证明L椭圆第一定义6 2.由定义即可得楠圆标准方程,3.椭圆第二定义。4.如图，设，切线PT （即/ ）的斜率为k , PF、 所在直线4斜率为左，在所在直线4斜率为七。tern zv =I-2 1£一勺 _ a y（） x。+c5飞 +/歹；+b2xQc” k-kAtan p ="=1+检b%o U% /CA2 Yi U ,%2a = (3Vo义X°_Cb2x；+

34、a2v；-b2x()同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。5如图，延长FiP至A ,使PA=PF2 ,则叱也是等腰三p 4角形，AF2中点即为射影H2e则。乩=3=。，同理可 -2得 Og = a 除去两端点。,所以射影Hl , H2的轨迹是以长轴为直径的圆6.设P , Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为& M ,以PQ中点到准线的距离为d ,以PQ为直径的圆的半径为r,则d=小包=竺士丝=2尸，故以PQ为直 2 2e e径的圆与对应准线相离。7图7如图，两圆圆心距为. PR 2a-PFA PF.故两圆内切。8 .如图，由切线长定理：阳司+|甲1 =匹|十熙|十/耳| = 2

35、°+2c ,西司=旧了| = 4+。而阳丁| = 4 + 6 =阳闻，T与4重合，故旁切圆与X轴切 于右顶点，同理可证P在其他位置情况。9 .易攵喝（凡0）4（40）,明（毛,为）,舄（,一%）,则父- CT4月：）'=怠（叫4乙：片含JoV J：I-/ bZ C? b21L设6（蜀,y），2（%,%），由 10得：呼+陪= L +等=1，因为点，鸟在直线 a 6.3 卜电上，且同时满足方程W+捍=1 ,所以12.，x/l（怎J, j ）,8（入2,8）,A，（"o'No）+A吟+*】作差得:a2 b2（巧一巧）（“1 +/）工（一%）（乂 + J2） _n

36、? + ? =0幻8 一 X一二:"（七+/） 一 及/尢1一/（乂+%）/为 dkoM13 .由12可得:=标乂歹一。2H十%¥一加芯=0=> 万、03 +42yop =+Qy；=浮 + 2 = W + 414. .fi 12 可得:_ b sin / a cos tsin t . a?r = -1 /. tan t - tan t =- a cos/b ri A Ga1 (cos21 + cos2 N ) + / (sin21 + sin* a cos21+ bz sin，/ cos21 + b1 si1 1 、2 +2 1COS t COS- t )+b2tan

37、21 tan21、2+2 rk COS t cos t )2 + tan(6? +b2 tail2 +b2 tan.)(a1 + 6，)(tanL + tan。/)+2/2a (tan2 Z +tan2 /)az+b216.将直线AB代入椭圆方程中得:(f/+B2b2)x2-2Aa2x+a2 (1-W)= 0 A = AcB-b2(A2a2 +Blb- -1),皿"婴熏虫"+5皆-1设）则芭 + 毛=1AaA2a2+B2bzXxX2 =az(l-B2b2)月虫1_32)A2a2+B2b2OAA.OB.xx2 + yy2 = 0=> 4, + 6' = a

38、76;b(4 +B2=> z42 + Z?2 =".（I）设椭圆内直角弦AB的方程为：y- /Im = *（彳一用即y- kx + nt-kii Q当斜率k存在时，代入椭圆Cl方程中得：cTk1 +力2卜2 +2。2左（7-如卜 + 储（加一加） -b1设 * （8,M），B （%，%）得工1 + 毛=2 ：" ； /；）2 axYx2 =（m - kn） b1a2k2 +b2则以,% = （为 一天）（% 一/）+（% 一乂）（稣一”）二（六 +1）玉/ _（'），+®0 +40 _"?%）（$ +不2 ）+X； +v0=>a2kl

39、 +1）（加-而2）“ 一甘 +（左7+4为 +x0 -mk2azk（左2 +1）（"2版）2 a2 （62 +1）52 +（2后2 +J2）x； +（一2yo+b22a2k2 （m-kn + 2a2kxQ （w =a2（m-kn -a k1 +1）从+12公+/）片+（H +办 n（a左 z +9）（x； +），；） + （/ +3'）（/w 左/2a'b1 k1 +1=alkl （x； + ）'；） +6。（龙:+ ）'：）+（4，+（M + 6，/+2ma:kx 2mb2yo - 2k2na2,xQ + Zkn/%=0crxi +（/ +/）/

40、一/就 一2而超=0廿一当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。（H）由上可知Q和C2上点由此建立起一种对应的关 系r即证。18.必要性：设 P1P2 : y+niy =k(x-nixQ)Q k存在时， 代入椭圆方程中得：(a%? + " * 201km (y0 + kxQ)x + cinr (% + A;y0 )2 -6设下 （石，M ），巴（生%）得项+玉=% "二:产°'， a k +ba2ml （yQ + Ax0-a2b2xx. =；J a2k2 + b2卜化：（打 一乂 ）（ 一% ） _ 卜飞A 一左（" + mkx°

41、 + 稣 乂 1 2 （毛一玉）（玉）一力）王马一小卜_ b1 （如 + 1）2切式0乂 + 左飞（租（"z + 3 _ b1 （m4?（a一1）20咤J，。+4%；（加一1） + 就（m+l）k不存在时,P1P2 : x=mx°贝By = ±工-小x；,a( b r22 2 丫 . b r22)2兄_7a _m X。_m X。 ，； -院 £ = -2丛1L = 一:x：(i-根y；必要性得证。充分性：设P1P2过定点（名夕），则P1P2 : y = hc + p-kq.a1 （p kqY a2 护x.x.=-：a2k + b2则k_（乂一汽）（力一肾

42、）_1252+左（。一为一比乂/十,12 （工1一七）乂工2 一%）公芍一/（工+三ak1 （p- 初J 一42后2 -2a%z （P一初）（p- 初一%）+ q£ （p_kqj - crb1 + /la kx （p-七夕）+ x： 叫（P- 2-2%（尸-初）+ （旷；-发2%；）w + 1 b2I-= I 。（尸一句+2人（p-旬）+ （左飞一y；）m-1 a1（一一%）一2%（。一句） + （y；-左24）_m + i （。一句）2 + 2在（夕一年）+（廿片-，：）m-=H （77说 +q2 -mqx。-qx+k（mpx + pxQ -mqy。+ qmx +q二 一mqx。-

43、x0 = 0（夕一/ 乂9%=7舞PX° + px° mqy° + qy。-20夕=0 = < p% （z + l） + q、雁陟o-陟o+P一孙;=°（。一"）（"少0一 注意mxl，解（1 ）（ 3 ）得o=一"乂，,=/代入（2 ） 式,成立。验证k不存在的情况，也得到此结论。故/过定点（皿0，一步0 ）（加工1），充分性得证。2q喳（日0_ a22 T2c«上 k2xQ - 2/纵6Za2k2 + bz = % =a2k2+b2同理。6?女工飞 + 2a上为为 -b2x 31% 一4上工y。+ 2b?

44、Ka2kzb2a2k2 + b220.由余弦定理：归国 2 +1%- 21咫 | |% I cos 7 =（2c）2 n （即 | + |尸局）2b.4a2 = 4c2 + 2|77|p|（cos/ + l）=> |P7|P| =5呐1叫 $in/ =bl si n /COS/ + 12 . y y lb" sincos21 .由 34 :a-c 1 - a sin B + sin a - sin z sin p + sin a 一 sin（ a a + c 1 + e sin J3 + sin a + sin / sin p + sin a + sin （asin ft +

45、sin a sin a cosp sin pcosasin 尸（l coscsin sin -22Bacos cos22a0=tantan 2222 .由第二定义得：r 2 / 2>|AZ| = e 与+=。+ 气小窗| = e4 = a-e*o23 .PF PF= e => PF? = e - PF1=> a = e( a + exQ)=> :x。£(0,句 I < 1 => + 2c1 >0=> c 26-1或c e" +e24 .在呼中，相PF： 一 AF? <PA<PF2+AF2 :.PFX +PA <

46、;PFx+PF2 +AF2 =2a + AF27PFx+PA>PF 都当且仅当4 P、用三点共线时取等号。25设椭圆上的点4（曰必卜以与线）关于八N =6+ "7 对称，河卜;,乂）。由12得：V7 ”立依自回1+1(2 ac27,设 P（以cos，sin0，则切线+把吆y = 1 a bF户 E4 = (acosw - c, b sin 0) .- 1 一 ""内夕I。sin (p c )28.设P(acosQ6sin°),由射影定理有:b2 sin2 ° = (c-aco： => c2 = a2 cos2(p + (al -c2

47、1sin2(p=> e2 = cos2(p+-eq联立qj得：(A2a2 +B2b2) +2Aa2Cx+a2C2 -irb2B2 = 0 ,由韦、一g2Aa2C达足理：,+%=-心、夕/同理的+专0 贝！1AP-BQ=1 +日L -马卜j +*民- *Qbj而 -尊,4-4的符号一定相反，故k月一巧卜卜8 - % =5+ 4 - (x尸+%) = 0。所以 AP=BQ30.设/(acosb/isin 夕)，8(qcose，7sine) , M(x0,y0) 为AB中点.则= a2 (cos® cos?)" +6? (sin-sin>)te = 4/ sin22

48、- 2®+0 - 2 6 f 2 ?e +(P . 2 夕一(P 2=a sin -sin +b cos -sin =m2222而acos 夕+ acos0 9+0，- R6 sin 0xo = 47 coscos,y0 =解得/=1 一1+"1月=2，代入m2得:mb2+令 tan a = -得: 明m227 2 2 人、a b tan a;1：tana+l tair a + 1,所以定长为2m (0<m<a)的弦中点轨迹方程为其中tanAy*a =-,当 y = 0 时，a = 90。 ay31.设/(acosa,3sintz)，2?(acos/7,6sin

49、)，A4/,%)为AB中点.则：Gt - /acosa + acosjBa+ Ba-(3& = a coscos= cos°222AB = acosa-cosQy+/(sina-sin/?) =sin22 . 2 a + p 1a 2 a + B az sin4 + b2 cos2 =4 1-cos2 Ia1 cos工 a-p 22。+/+ c cos 2 J1、22 aP' +c cos co)2、X； 22 aP2_- + C COS -2。+/2cos -2/2二次函数y=e2x2-mx+a2与y = i在0,句内的交点即为I2Xo的值。由图易知y=e2x2-m

50、x+a2与歹=4的左交点为xo 的值。当m增大时，x0减小。要使X。最大,则要使m最 小。看-+c2cos2"A > 2c/ ,此时等号成立时 2。+/2cos -* 1 = /max - 035图当此式成立时/2产> 二建必的+/=彳=/工需4-2%皿数+ / =彳n /当"omaxJ时:n r2r - 4(ce-a => Z = 2(a-ce)-=<!>(通径)2/?22b2当与m窗W。时：/之2-=中，当之二二一时工.三。，_ Y I"Omax -cc 2e当溷 时，当COS?呸*=1 ,即AB垂直于x轴时xofeox* Oma

51、K32.22<c?/>a)=?过焦点,cos2 a5/42 -Z2 /max > S,<ASJLX轴，, 2bab2x2 +a2y2 = a2b2Ax + By + C = 0=> (力丁 +3皆)/ + 2a1 ACx +a1A = 4"才。2 _4/(02 一笈+B2b0 =>A2a2IyAx + By 4- C = 0=>(/2/ +B2b2x2 +2a2AC-B2b2xQ +,烟。)/+(/ N0=>/ +Bzb2 >A24 +Bzyl +C2 +2ABxQyQ +2A当/=%=0时，即为 32 : A2a2 +Bzbl&

52、gt;C2FF PF PF34.由正弦定理得工=士工=上工，所以 sill a sin p sin /sin a RJ 2c c, esin /? 4- sin / PFX +PF2 2a a '35,设尸(Gcos6sinp),则P点处的切线为cos 口 sin cp36(1)同 15.(2)由 15,36(3): 4G? +从)(a2b2a2b2 a2+b2OPZ |。一 OP2OQ2 -4S；眸一 10,(不+的党AOPOQ灯力 a“b(3 )设尸(4cosabsine),0(acose6sinw), IOP-OQ = a1 cosOcosr + b。sin0sin= 0 = t

53、an 0tan(p -3 AopQII |acos9 m困6 sin 9Asin(phl(2/)(sin geos/-452一 2 bOPQ .=> 二=sina2b22 f?cos2 ?+sin' 9cos2 9一 2sin 夕cosgsin rtan2 0 + tail2 cp- 2 tan 0tan (p _' +tail2 0tan2 O+l/tan。伊 + 1)-+tan2 6 + bAb4tail2 0rx= Ecos6 37,设47放二仇/史 ,八，椭y = t sindPbp =£ p =l + ecos61a J2ab2a2 一。2 cos2+

54、 _=l + ecos3 l-ecosd 1 e-cos4- 3将AB的方程代入椭圆的标准方程中得： 心去晨Sn 由缴t的几何觎耽:椭圆得：+ byf + 2b?mty + b? (jti a?)= 0方程为歹=(x+a)，直线A2Q的方程为玉+ ay二上-(x-a)，联立AiP和A2Q得交点N的横坐标 x2-a许他咨力鲁a%，代人化简；a+ mjy2 + (a-桃)y2b' tm2 -2b?ta? - lb2m?t+a(a2 +万干)(，2 %) v 二，a z-2ablmt + m(a2 + b2t2)(% - X)所以交点一定在直线k = ±o同理可证M在y轴上0勺情

55、m况。引理(张角定理)：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线夕一点P对AC的张角为a,对CB的张角为po sin(a+£) _ sina sin/?41图40,如图,A为左顶点时,没ZPFH = 6, ZMFH = 0 ,则4FP =冗 一 " /PFM = 6中2工2 工2(7 2 Au a bbppbhH =c =一二一二AM =- p = 0c c ae e ecos°( a)对F-APM由张角定理:sin( 4-sin( % - 8) sin(。一 / jFP FM FA=>sin+esm>cos = sm6,cos+sm(对F-QA2M和F-AiPM由张角定理：sin