二次函数和三角形最大面积的3种求法

1、 二次函数与三角形最大面积的3种求法一解答题（共7小题）1（2012某）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2013）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC在x轴下方的抛物线上求一点M，使AMC与ABC的面积相等；（3）设N

2、是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN|探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由3（2011）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由4（2012黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中

3、，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由5（2013某）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上

4、是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标6（2009江津区）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由7如图，已知二次函数y=ax2+

5、bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=1（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析一解答题（共7小题）1（2012某）解答：解：（1）抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），解得a=1，c=3，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）对称轴为x=1，令y=x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=1，C（1，0）如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小设

6、直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：，解得k=1，b=3，直线AB解析式为y=x+3当x=1时，y=2，D点坐标为（1，2）（3）结论：存在如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OAON=3xSABP=S梯形PNOB+SPNASAOB=（OB+PN）ON+PNANOAOB=（3+y）x+y（3x）×3×3=（x+y），P（x，y）在抛物线上，y=x2+2x+3，代入上式得：SABP=（x+y）=（x23x）=（x）2+，当x=时，SABP取得最大值当x=时，y=x2+2x+3=，

7、P（，）所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得ABP的面积最大；P点的坐标为（，）2（2013）解答：解：（1）抛物线y=ax2x+2经过点B（3，0），9a×3+2=0，解得a=，y=x2x+2，y=x2x+2=（x2+3x）+2=（x+）2+，顶点坐标为（，）；（2）抛物线y=x2x+2的对称轴为直线x=，与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（6，0）又当x=0时，y=2，C点坐标为（0，2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，直线AC的解析式为y=x+2SAMC=SABC，点B与点M到AC的距离相等，又点B与点M都在AC的下方，BMAC，设直

8、线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，得×3+n=0，解得n=1，直线BM的解析式为y=x1由，解得，M点的坐标是（9，4）；（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN|的值最大理由如下：抛物线y=x2x+2与x轴交于点A和点B，点A和点B关于抛物线的对称轴对称连接BC并延长，交直线x=于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN|=|BN|=BC最大设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，得，直线BC的解析式为y=x+2，当x=时，y=×（）+2=3，点N的坐标为（，3），d的最大值为BC=3（2011）解答：解

9、：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为：（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又点P的坐标中x5，MP2，AP2；以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在RtAOM中，AM=5，抛物线对称轴过点M，在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个

10、连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），过点N作NGy轴交AC于G；作AMNG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4；把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=x+4（t2t+4）=t2+4t，AM+CF=CO，SA=SANG+SCGN=AM×NG+NG×CF=NGOC=（t2+4t）×5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，

11、3）4（2012黔西南州）解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），将点A（0，4）代入上式解得：a=，即可得函数解析式为：y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，故抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为：（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又点P的坐标中x5，MP2，AP2；以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在RtAOM中，AM=5，抛物线对称轴过点M，在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=

12、6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），过点N作NGy轴交AC于G，作AMNG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4；把x=t代入y=x+4，则可得G（t，t+4），此时：NG=x+4（t2t+4）=t2+4t，AM+CE=CO，SA=SANG+SCGN=AM×NG+NG×CE=NGOC=（t2+4t）×5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，C

13、AN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）5（2013某）解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x25x+3m=0，=（5

14、）24×1×（3m）=0，即m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大，此时x=，y=，点E的坐标为（，），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），AF=1=，直线AC的解析式为y=x1，CAB=45°，点F到AC的距离为AFsin45°=×=，又AC=3，ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，）6（2009江津区）解答：解：（1）将A（1，0），B（3，0）代y=x2+bx+c中得（2分）（3分）抛物线解析式为：y=x22x+3；（4分）（2）存在（5分）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称直线BC与x=1的交点即为Q点，此时AQC周长最小y=x22x+3C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3（6分）Q点坐标即为解得Q（1，2）；（7分）（3）存在（8分）理由如下：设P点（x，x22x+3）（3x0）SBPC=S四边形BPCOSBOC=S四边形BPCO若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大，S四边形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC（9分）=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（x22x+3）+（x）（x22x+3+3）=当x=时，S四边形BPCO最大值=SBPC最大=（10