231双曲线及其标准方程

1、23 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程双曲线的定义我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：34031 020(米)问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？提示：|MB|MA|1 020.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两

2、个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)问题1：若动点M满足|MA|MB|4，则M的轨迹方程是什么？提示：1.问题2：若动点M满足|MC|MD|4，则点M的轨迹方程呢？提示：1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21双曲线定义的理解(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支若|PF1|PF2|

3、2a(a0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支若|PF1|PF2|2a(a0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支(2)若|F1F2|2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线(3)若|F1F2|0，b0)可以看出：如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c2a2b2.求双曲线的标准方程例1已知双曲线过P1(2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程思路点拨解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程；也可以设成mx2

4、ny21(mn0，b0)P1，P2在双曲线上，解得(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1(a0，b0)P1，P2在双曲线上，解得即a29，b216.所求双曲线的标准方程为1.法二：双曲线的焦点位置不确定，设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，则有解得故双曲线的标准方程为y21.答案：A2求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程解：法一：设双曲线方程为1(a0，b0)由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.法二：设双曲线方程为1(4k4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支

5、，且有a2，c3.所以b25，所求的轨迹方程为1(x2)答案：1(x2)曲线类型的讨论例3已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型思路点拨解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论精解详析(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆一点通解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及

6、其特征5若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(，2) D(2,2)解析：由题意，方程可化为3，解得m2.答案：C6当0180时，方程x2cos y2sin 1表示的曲线如何变化？解：(1)当0时，方程为x21，它表示两条平行直线x1.(2)当090时，方程为1.当045时，0，它表示焦点在y轴上的椭圆当45时，它表示圆x2y2.当450，它表示焦点在x轴上的椭圆(3)当90时，方程为y21，它表示两条平行直线y1.(4)当900，b0)或1(a0，b0)或mx2ny21(mn|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(ab0)1(a0，b0)

7、1(a0，b0)焦点F(c,0)F(0，c)F(c,0)F(0，c) a，b，c的关系a2b2c2c2a2b21已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或1D.0或0解析：因为b2c2a2492524，且焦点位置不确定，所以双曲线的标准方程为1或1.答案：C2已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A(1,1)B(1，)C(，1) D(，1)(1，)解析：由题意得解得即1k0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.答案：y217设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程解：依题意得两圆的圆心分别为F1(，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|4|F1F2|2.所以圆心C的轨迹是双曲线，其中2a4,2c|F1F2|2，即a2，c，所以b2c2a21.故L的方程为y21.8已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin A