03可降阶高阶微分方程

1、第3节 可降阶的高阶微分方程 我们从最简单的开始。主要方法是把高阶方程降阶为低阶方程，再解。3.1 情形 ,则. ,则3.2 （i）辨认类型：（不含）。（ii）解法：还是用作新的自变量，记。则方程变为。这是一阶方程（未知函数是）。如果它是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解，即。这又是一阶方程（未知函数是）。如果它又是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解。这也是原方程的通解。3.3 （i）辨认类型：（不含）。（ii）解法：用作新的自变量，记，（注意：和都是对求导的）则。方程变为。这是一阶方程（未知函数是）。如果它是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解，即。这又是一阶方程（未知函数是

2、）。如果它又是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解。这也是原方程的通解。 （记住：不含时还是用作新的自变量；不含时就用作新的自变量。）【例3.2】 求微分方程的通解解、是不含的二阶方程。还是用作新的自变量，记。则方程变为，即。这是一阶线性方程。，。通解，即。两边积分得原方程的通解（课本上为什么x没有绝对值符号？通解不一定是全部解。）【例3.3】 解方程：.解、是不含的三阶方程。还是用作新的自变量，记。则方程变为。分离变量为。两边积分得，即。再积分两次得原方程的通解（是为了后面简单。此例说明降阶法要灵活一点。）【例3.4】 求方程的通解.解、既不含也不含。两种方法降价都可以。只讲不含的解法（

3、不含的解法见P303例3.4解1）。用作新的自变量。记。则。方程变为。分离变量为。两边积分得，即。再次分离变量为。两边积分得，原方程的通解【例3.5】 求解例1.3中微分方程 解、是不含的方程。用作新的自变量。记。则。方程变为。分离变量为。两边积分得，即。把代入得，。时最大若要卫星脱离地球引力，必需即。【例3.6】 求解微分方程：解、是不含的方程。用作新的自变量。记。则。方程变为。分离变量为。两边积分得，即。再次分离变量为。两边积分得，即，这就是原方程的通解。 （本来，但是，经验证，也是原方程的解。）【例3.7】 求解微分方程解、既不含也不含。两种方法降价都可以。当作不含的。用作新的自变量。记

4、。则。方程变为。分离变量为。两边积分得。但是目前我们无法解。当作不含的。用作新的自变量。记。则。方程变为。分离变量为。两边积分得。即。两边积分得原方程的通解（本来，但是，经验证，也是原方程的解。两种方法，繁简不同。）3.5 二阶方程应用举例【例3.8】 质量为的质点在力的作用下，沿轴作直线运动，且随着时间的增加，力均匀减小当时，；起始时质点位于坐标原点，初速度为零，求质点的运动方程解、设。由得。设质点运动方程为。根据牛顿定律得。这是不含的二阶方程。记。方程变为。两边积分得。由得。再次积分得。由得。质点运动方程为。【例3.9】 海上巡逻艇向位于正东方的走私船进行追击，巡逻艇始终对准走私船。如果走

5、私船以其最大速度（为常数）向正北方向逃跑，巡逻艇的速度为，求巡逻艇的运行轨迹曲线。图3.1解、建立直角坐标系如P306图7.3。设时间时巡逻艇在点。此时走私船在。的斜率。应该是巡逻艇轨迹的切线。所以。巡逻艇轨迹应满足这是有积分的等式，我们不会解。为了把它变成微分方程，两边对求导得，即这就是巡逻艇轨迹要满足的微分方程。这是一个不含的二阶方程。记。分离变量为。两边积分得。由得。两边积分得。由得。巡逻艇轨迹图3.2当时巡逻艇在点追上走私船。【例3.10】 悬链线的方程：设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索只受到重力的作用而下垂。试求绳索在平衡状态时所呈现曲线（称为悬链线）的方程。解、（请看黑板分析

6、。）曲线应满足这又是一个含积分的等式。两边求导得这是不含的方程。用作新的自变量。记，。方程变为分离变量为。两边积分得。由得。分离变量为。两边积分得。由得。，。悬链线方程习题讲解1求下列方程的通解：(3) 解、不含。记，。方程变为。原方程的通解。2求下列初值问题的解： (2) ，；解、不含。记，。方程变为。分离变量为。两边积分得。由得。两边积分得。由得。所要求的特解是。3. 试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线解、由题意。由得。所要求的积分曲线是。B类1求下列方程的通解： (3) 解、不含。记，。方程变为。，。积分得原方程的通解。习题73A类1求下列方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 2求下列初值问题的解：(1) ；(2) ，；(3) ,；(4) ，3. 试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线4. 有一下凸曲线位于面的上半平面内，上任一点处的法线与轴相交，其交点记为如果点处的曲率半径始终等于线段之长，并且在点处的切线与轴垂直，试求的方程B类1求下列方程的通解：(1) ；(2) ；*(3) ；(4) *2. 设有单位质量的质点, 受到沿方向的力的