二次函数的图象与性质

1、探究二次函数的图象与性质北师大实验中学 张蓓P2教学内容01学生情况02教学目标03重点难点04教学目标教学过程05一、教学内容P3 这节课是在学完二次函数 的概念，通过类比一次函数的研究过程，引导学生借助几何画板经历探索、分析一般二次函数的图象和性质的过程，感悟新旧知识的关系，体会数学中的数形结合、类比思想和从一般到特殊再到一般的方法。二、学生情况 前面学生已经学习过了一次函数和二次函数 的概念，对研究函数的基本方法都有一定的认识，会用几何画板画一次函数y =kx+b(k0)的图象。大部分学生对二次函数的概念能熟练掌握，但如何自主研究二次函数 是难点，授课进度不能过快，探索问题时需要给学生足

2、够的时间。 三、教学目标 会用几何画板研究二次函数性质 经历探索二次函数 图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 四、教学重点与难点: 重点：二次函数 的图象和性质 难点：利用几何画板，数形结合，探讨二次函数 的图象和性质五、教学过程1、回顾研究一次函数的基本方法 概念概念图象图象性质性质应用性质应用性质2、研究一次函数y = kx+b(k0)图象及性质时是怎样的思路？ 令令b=0，特殊的一次函数即正比例函，特殊的一次函数即正比例函数数b0的一次函数的一次函数 ，可以通过正比，可以通过正比例函数上下平移或左右平移得到例函数上下平移或左右平移得到. . 即即 特殊特殊一般，简单一

3、般，简单复杂复杂复习3. 用几何画板回顾研究一次函数的过程 (1) (1)先研究先研究y=kx(k0) （特殊化（特殊化 b=0） 通过改变通过改变k值观察图象，得出值观察图象，得出k对正比对正比例函数的影响是改变直线的倾斜程度。例函数的影响是改变直线的倾斜程度。 (2) (2)一般化到一般化到y=kx+b(k0) 固定固定k值，改变值，改变b值观察直线的变化值观察直线的变化 ， 固定固定b值，改变值，改变k值观察直线的变化。值观察直线的变化。 提出问题P9(一)对于二次函数 y=ax2+bx+c(a0)，你打算如何研究？整理学生提出的问题整理学生提出的问题,引出研究重点：引出研究重点： 问题

4、问题1 二次函数的图象是什么形状？二次函数的图象是什么形状？ 问题问题2 由二次函数图象得出二次函数的性由二次函数图象得出二次函数的性质有哪些？质有哪些？ 问题问题3 a、b、c对图象的形状和位置有什么对图象的形状和位置有什么影响？影响？提出问题P10（二）针对以上问题，对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，你打算如何研究它的图象和性质?设计方案P11方案一： 仿照一次函数的研究方法，从特殊形式的二次仿照一次函数的研究方法，从特殊形式的二次函数入手，如：函数入手，如：b=0,y=ax2+c(a0)，或，或c=0，y=ax2+bx(a0)或或b=c=0,y=ax2(a0)，从形式上，从形式上

5、进行对比，按照进行对比，按照 特殊特殊一般，简单一般，简单复杂复杂 思思路整理出研究顺序路整理出研究顺序: (1)令令b=c=0,研究研究y=ax2(a0)， (2)令令b=0,研究研究y=ax2+c(a0)， (3)令令c=0，研究，研究y=ax2+bx(a0)， (4)研究研究 y=ax2+bx+c(a0)设计方案P12方案二用几何画板画出用几何画板画出 y=ax2+bx+c(a0)图象图象（1）固定系数）固定系数a,b, 让让c改变，观察改变，观察c对函数的对函数的图象的影响图象的影响（2）固定系数）固定系数a,c, 让让b改变，观察改变，观察b对函数的对函数的图象的影响图象的影响 （3

6、）固定系数）固定系数b,c, 让让a改变，观察改变，观察a对函数的对函数的图象的影响图象的影响动手操作 观察 探究P13 学生在计算机上操作方案一，写出探究结果并展示归纳P14(1)函数函数y=ax2（a0）的图象是一条抛物线，）的图象是一条抛物线，以以y轴为对称轴，顶点在原点（轴为对称轴，顶点在原点（0,0）.(结合函数表达式分析为什么图象会是轴对称结合函数表达式分析为什么图象会是轴对称图形）图形） a决定开口方向和开口大小：决定开口方向和开口大小： 当当a 0时时,开口向上；开口向上； 当当a 0时，函数有最小值，且时，函数有最小值，且 当当x0时，时，ymin0； 当当a 0，若，若x0

7、时，时，y随随x增大而减小增大而减小 若若x0时，时，y随随x增大而增大增大而增大 当当a 0时）或向下（时）或向下（c 0时）平移时）平移| c|个单个单位得到位得到. 以以y轴为对称轴，顶点在原点（轴为对称轴，顶点在原点（0,c） 归纳P18(3) 函数函数 y = ax2+bx（a0） b0时，图象是一条抛物线，图象可以由函时，图象是一条抛物线，图象可以由函数数y=ax2（a0）的图象平移得到）的图象平移得到（如何平（如何平移，下节课再讨论）移，下节课再讨论）,对称轴不再是对称轴不再是y轴，顶轴，顶点在也发生变化，但函数图象过原点，图点在也发生变化，但函数图象过原点，图象和象和x轴有两个交点，交点坐标是什么？轴有两个交点，交点坐标是什么？(结合函数与方程的关系（结合函数与方程的关系（0,0）（）（ ，0）) ba归纳P19 ab0时对称轴在时对称轴在y轴左侧轴左侧（对称轴过函数与（对称轴过函数与x轴的两个交点（轴的两个交点（0,0）（ ，0）所连线段的中点，且垂直于）所连线段的中点，且垂直于x轴，轴，为直线为直线x = ，从而验证了观察图象得出，从而验证了观察图象得出的的a、b符号对对称轴位置的影响符号对对称轴位置的影响.）ba2ba归纳P20(4)函数函数 y = ax2+bx+c（a0）的图象就是函数）的图