2009年第二十届希望杯全国数学邀请赛初二第2试试题及答案标准版

1、精选优质文档-倾情为你奉上希望杯第二十届(2009年) 初二第二试试题一、 选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）2如果，那么代数式的值是（ ）（A） 0 （B） 正数 （C）负数 （D）非负数3将的整数部分记为，的小数部分记为，易知+（）若，那么等于（ ）（A） （B） （C） 0 （D）1

2、4某种产品由甲、乙、丙三种元件构成根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）（A）120°，180°，60° （B）108°，144°，108°（C）90°，180°，90° （D） 72°，216°，72°5面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( ) （A）20 （B） 28 （C） 36 （D）406In the rectangular coordinates,abscis

3、sa and ordinate of the intersection point ofthe lines and are integers for imteger ,then the number of the possible values of is（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示用这四张小纸片一定可以拼成（ ）（A）梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）平行四边形8若不等式组的

4、解集是，则（ ）（A） （B） （C） （D）9如图4，四边形ABCD中，A=C=90°，ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（ ）（A） （B） （C）12 （D）10任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解（）可称为正整数的最佳分解，并规定如：12=1×12=2×6=3×4，则则在以下结论 若是一个完全平方数，则若是一个完全立方数，即（是正整数），则中，正确的结论有（ ）（A） 4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11将一根钢筋锯成段,需要分钟

5、,按此速度将同样的钢筋锯成段(，都是大于1的自然数)，需要 分钟12给机器人下一个指令，（，），它将完成下列动作：先在原地向左旋转角度；再朝它面对的方向沿直线行走个单位长度的距离现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为轴的正方向，取它的左侧为轴的正方向，要想让机器人移动到点（，）处，应下指令： 13已知实数，满足，则14已知实数，满足，并且，则的最大值是 ，最小值是 15汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的、所示，则与的交点的横坐标

6、.(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用) 16Given ,if when takes the value of its inverse number，the corresponding value of is also the inverse number,and ，then （英汉小词典：inverse number 相反数）178人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分18若正整数,使等式成立,则 , 19如图6,长为2的三条线段、交于O点，并且60°，则这三个三角形的面积的和 （填“<

7、;”、“=”、“>”） 20已知正整数，满足，则 ， 三、解答题（每题都要写出推算过程）21（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于但与最接近的那个分数22（本题满分15分）如图，一次函数的函数图象与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作RtABC，且使ABC=30°（1）求ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（，），试用含的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当APB与ABC面积相等时的值；（3）是否存在使QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由23（本题满分15分）点A（4，0），

8、B（0，3）与点C构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求可能取的一切值第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二 第2试一、选择题（每小题4分）题号12345678910答案DCABBADCAC二、填空题（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）题号11121314151617181920答案，135º-3，0；22500-412C56；7<5；9三、解答题21.设所求的最简分数是， 则 ，因为 ，且m，n是正整数，所以 .（1）当时，有（当时），或（当时），所以 或.由m是整数，知2n+1或2n-1（n<15）是5的倍数.（5分

9、）要使最小，则n应最大.由2n+1或2n-1（n<15）是5的倍数，知n最大取13，对应的m=5，此时 .（8分）（2）当时，因为n<15，m，n是正整数，所以.综上可知，的最小值是，此时对应的m=5，n=13，故是最接近，但分母小于15的最简分数. （10分）22.（1）依题意，函数y=x+的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，当y=0时，x=1；当x=0时，y=，所以点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，）于是 AB=2.在RtABC中，ABC=30º，AB=2.设AC=x，则BC=2x，由勾股定理，得，得，.所以 AC=，SABC=AB·AC=. （5分

10、）（2）点P在第二象限内，且P，则m<0，S四边形AOPB= SAOB+SBOP=×1×+××（-m）=.又SAPB= S四边形AOPB- SAOP=，由APB与ABC的面积相等，得，解得 . （10分）（3）这样的点存在，一共有6个，分别是：以AB为底边的等腰三角形有两个，这时，Q点的坐标是（-1，0）或（0，）；以AB为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q点的坐标是（0，），（0，），（0，），（3，0）. （15分）23.点A和点B之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边，设点C的坐标是（a，b），则 或者 （5分） 对于，有 两式相减，得 ，因此 ，将它代入的第二个式子，得