322立体几何中的向量方法4及详解——向量法求线线角与线面角

1、高二理科数学导学案班别： _学号： _姓名： _ §3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1理解直线与平面所成角的概念2掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与 ，cos 。问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？如图，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，a，n，则s

2、in 。三、例题探究例1如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、 的中点求异面直线MN与所成的角 变式：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ()A30° B45° C60° D90°例2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°. (1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值变式：如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BA

3、D90°，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点求BD与平面ADMN所成的角.四、练一练（时间：5分钟）1. 1若平面的法向量为，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是 ()Acos Bcos Csin Dsin2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A BC D3正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，则AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）A B CD4已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为

4、() A.B. C. D.5正四棱锥SABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为 【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1理解直线与平面所成角的概念2掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法用向量方法求空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b| . (0，直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|cos |a，n . 0，二面角设二面角l的平面角为，平

5、面、的法向量为n1，n2，则|cos|cosn1，n1|.0，1求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，cos.2求直线与平面所成的角如图，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，a，n，则sin|cos|cosa，n|.二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与 ，cos 。问题3：用向量的数量积

6、可以求异面直线所成的角，能否求线面角？如图，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，a，n，则sin 。三、例题探究例1如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、 的中点求异面直线MN与所成的角【答案】60° 变式：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ()A30° B45° C60° D90°答案D 解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，设AB1，A(0,0,0)，M(0

7、,1，)，Q(，0)，设P(x,0,1)，(0,1，)，(x，1)，·0×(x)1××(1)0，选D.点评 1求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图证明计算；(2)把角的求解转化为向量运算2一般地，若直线AM和点Q固定，点P变动，则直线AM与PQ所成的角为变量，若此角不随P的变化而变化，则只能是AM平面P1P2Q(其中P1、P2是P运动轨迹中的两个点)，故选D.例2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°. (1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C

8、所成角的正弦值解析(1)取AB中点O，连接CO，A1B ，A1O，ABAA1，BAA160°，BAA1是正三角形，A1OAB，CACB，COAB，COA1OO，AB平面COA1，ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，OC平面ABB1A1，OCOA1，OA，OC，OA1两两相互垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1，0,0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)，设n(x，y，z)是平面CBB1C

9、1的法向量，则即可取n(，1，1)，cosn，直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.变式：如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90°，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点求BD与平面ADMN所成的角.解析如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由，得，取x1，则z1，n(1,0，1)cos，n， sin|cos，n|.又0°9

10、0°，30°.方法规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是异面直线所成的角(0，故两直线的方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值；若直线与平面所成的角，直线的方向向量和平面的法向量夹角为，则其关系为sin|cos|；若二面角为，两平面的法向量夹角为，则|cos|cos|，需分辨角是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出四、练一练（时间：5分钟）1. 若平面的法向量为，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是 ()Acos Bcos Csin Dsin答案 D

11、2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A BC D答案 A解析如图所示，建立空间直角坐标系，设AB4，则D (0,0,0)，B(4,4,0)，E1(4,3,4)，F1(0,1,4)，则= (0,1,4)，= (0,1,4)·0×0(1)×14×415，|=，|=，cos，= =，设与所成的角为，则cos=|=，即与所成的角的余弦值为故选A3正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）A、B、C、D、答案 B解析 取BC的中点D，连结DC1，可以证明A

12、D平面BB1C1C，则ÐAC1D是AC1与平面BB1C1C所成的角，cosÐAC1D，即AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为，故选B.4已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为 () A.B. C. D.答案 C解析解法一：连结A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1，连结BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求，通过计算得sinC1BO，故选C.解法二：以A为原点，AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)、B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2)，(0,4,2)，(4,4,0)，(0,0,2)，设平面BDD1B1的法向量为n(x，y，z)，则，取x1，则n(1,1,0)设所求线面角为，则sin|cosn，|.5正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面ABCD上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为 答案 30°解析 可利用平面的法向量。课堂小结：1异面直线，的方向向量为a，b，则与所成的角即为a、b所成的夹角或其补角；2要求直线与平面所成的角，先求出直线的方向向量与平