2017高三一轮复习数系的扩充与复数的引入

1、数系的扩充与复数的引入1复数的概念(1)理解复数的基本概念(2)理解复数相等的充要条件2复数的运算(1)了解复数的代数表示法及其几何意义(2)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义知识点一复数的概念及几何意义1复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0，b0，则abi为纯虚数2复数相等abicdiac，bd(a，b，c，dR)3共轭复数abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)4复数的模向量O的长度叫作复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| .5几何意义

2、易误提醒1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件3z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z29<0.自测练习1设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i·()A2 B2i C2 D2i2已知复数是纯虚数，则实数a()A2 B4 C6 D63在复平面内，复数i(2i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限知识点二复数的代数运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cd

3、i)(ac)(bd)i.(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：(cdi0)2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)必记结论掌握复数代数运算中常用的几个结论：在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1±i)2±2i；i；i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN.自测练

4、习4已知i是虚数单位，则()A.i B.iC.i D.i5设复数z1i(i是虚数单位)，则z2()A1i B1iC1i D1i考点一复数的有关概念|1若abi(i是虚数单位，a，bR)，则ab()A2 B1 C1 D22(2015·高考湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()Ai BiC1 D13(2015·高考天津卷)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题

5、时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点二复数的几何意义|1(2015·山西四校联考)复数z(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若，(，R)，则的值是_判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成abi(a，bR)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限考点三复数的代数运算|1(2015·高考全国卷)已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2iB2iC2i D2i2(2015·高考湖南

6、卷)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1iC1i D1i3设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z132i，则z1·z2()A512i B512iC1312i D1312i复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(3)利用复数相等求参数abicdiac，bd(a，b，c，dR)15.方程思想在复数问题中的应用【典例】已知x，y为共轭复数，且(x

7、y)23xyi46i，求x，y.方法点评(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x，y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解跟踪练习(2015·高考福建卷)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A3，2 B3,2C3，3 D1,4A组考点能力演练1(2016·洛阳模拟)设i是虚数单位，若复数(2ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为()A1 B2C3 D42复数的共轭复数

8、是abi(a，bR)，i是虚数单位，则点(a，b)为()A(1,2) B(2，1)C(2,1) D(1，2)3设xR，i是虚数单位，则“x3”是“复数z(x22x3)(x1)i为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是()A1,1 B.C. D.6(2015·高考江苏卷)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_7(2015

9、83;高考重庆卷)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.8已知mR，复数的实部和虚部相等，则m_.9计算：(1)； (2)；(3)； (4).10复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值B组高考题型专练1(2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数()A1i B1iC.i Di2(2014·高考江西卷)是z的共轭复数若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B1iC1i D1i3(2015·高考山东卷)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1iC1i D1i4(2015·高考全国卷)

10、若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0C1 D25(2015·高考安徽卷)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限6(2015·高考全国卷)设复数z满足i，则|z|()A1 B.C. D27(2015·高考四川卷)设i是虚数单位，则复数i3()Ai B3iCi D3i8(2015·高考重庆卷)复数(12i)i的实部为_1.解析：因为z1i，所以i·i1i12.答案：C2.解析：，a6时，复数为纯虚数答案：D3.解析：zi(2i)2ii212i，复数z在复平面内的对应点为(

11、1,2)，在第一象限答案：A4解析：i.答案：C5.解析：z2(1i)212ii21i2i1i.答案：D1.解析：abi12i，所以a1，b2，ab2.答案：A2.解析：i607i4×151·i3i，又i的共轭复数为i，选A.答案：A3.解析：由题意知，复数(12i)(ai)a2(12a)i是纯虚数，则实部a20，虚部12a0，解得a2.答案：21.解析：因为zi，所以z在复平面内所对应的点在第一象限，故选A.答案：A2.解析：由条件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根据得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：11.解析：因为(z1)i1i，所以z12i

12、，选C.答案：C2.解析：由题意得zi(1i)1i，故选D.答案：D3.解析：z132i，z232i，z1·z2(32i)(32i)512i，故选A.答案：A【典例】思路点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题解设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或跟踪练习解析：因为(1i)(23i)abi，所以32iabi，所以a3，b2，故选A.答案：A1.解析：因为(2ai)ia2i，又其实部与虚部互为相反数，所以a20，即a2

13、，故选B.答案：B2.解析：2i，其共轭复数为2i，即abi2i，所以a2，b1.故选C.答案：C3.解析：复数z(x22x3)(x1)i为纯虚数，则x22x30且x10，解得x3，故x3复数z为纯虚数，选C.答案：C4.解析：i，i对应的点为，在第二象限，故选B.答案：B5.解析：由复数相等的充要条件可得化简得44cos2 3sin ，由此可得4cos23sin 44(1sin2)3sin 44sin23sin ，因为sin 1,1，所以4sin23sin .答案：C6.解析：设复数zabi，a，bR，则z2a2b22abi34i，a，bR，则a，bR，解得或，则z±(2i)，故|z|.答案：7.解：设zabi，则(abi)(abi)z|z|23.答案：38.解析：，由已知得m1m，则m.答案：9解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10解：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.1解析：1i.选A.答案：A2解析：设zabi(a，bR)，则abi，又z2，即(abi)(abi)2，所以2a2，解得a1.又(z)i2，即(