世纪金榜2016高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件 新人教版必修4

1、1.6三角函数模型的简单应用【知识提炼知识提炼】三角函数的应用三角函数的应用(1)(1)根据实际问题的图象求出函数解析式根据实际问题的图象求出函数解析式. .(2)(2)三角函数作为描述现实世界中三角函数作为描述现实世界中_的一种数学模型，因此的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. .(3)(3)利用搜集的数据，作出利用搜集的数据，作出_，通过观察散点图进行，通过观察散点图进行_而得到函数模型而得到函数模型. .最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. .周期现象周期现象散点图

2、散点图函数拟合函数拟合【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)能用三角函数模型解决的实际问题中通常具有什么现象？能用三角函数模型解决的实际问题中通常具有什么现象？提示：提示：具有周期现象，如钟摆、潮汐等具有周期现象，如钟摆、潮汐等. .(2)(2)从实际问题中抽象建立起的函数模型，其自变量的取值范围有什从实际问题中抽象建立起的函数模型，其自变量的取值范围有什么特点？么特点？提示：提示：自变量的取值范围通常受到实际情境的影响自变量的取值范围通常受到实际情境的影响. .2.2.做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为y=2sin(

3、50t+y=2sin(50t+ )cm )cm，则它的周期为，则它的周期为_s._s.【解析解析】T= =0.04.T= =0.04.答案：答案：0.040.0462503.3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s_s往复一往复一次次. .【解析解析】由图象知周期由图象知周期T=0.8-0=0.8T=0.8-0=0.8，则这个简谐运动需要，则这个简谐运动需要0.8s0.8s往复往复一次一次. .答案：答案：0.80.84.4.某人的血压满足函数式某人的血压满足函数式f(t)=24sin160t+110f(t)=24sin160t+110，其中

4、，其中f(t)f(t)为血压，为血压，t t为时间为时间( (单位：分钟单位：分钟) )，则此人每分钟心跳的次数为，则此人每分钟心跳的次数为_._.【解析解析】因为因为 ，所以，所以答案：答案：808021T160801f80.T5.5.如图，是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵如图，是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是_._.【解析解析】设设y=Asin(t+y=Asin(t+)(0)(0，| | | ) )，则，则A=2A=2，T= =2T= =2(0.5-0.1)=

5、0.8(0.5-0.1)=0.8，所以，所以所以所以y=2sin( t+y=2sin( t+)，因为因为2=2sin( 2=2sin( 0.1+0.1+)，所以，所以sin( +sin( +)=1=1，所以所以= .= .所以所以答案答案：2252524452，5y2sin(t).245y2sin(t)(t0)24【知识探究知识探究】知识点知识点 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：三角函数应用题有几种模式？：三角函数应用题有几种模式？问题问题2 2：解三角函数模型应用问题的步骤是什么？：解三角函数模型应用

6、问题的步骤是什么？【总结提升总结提升】1.1.三角函数应用题的三种模式三角函数应用题的三种模式(1)(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题函数的性质，解决一些实际问题. .(2)(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题其他问题. .(3)(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一

7、步用函数模函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题型来解决问题. .2.2.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用的步骤(1)(1)建模问题步骤：审读题意建模问题步骤：审读题意建立三角函数式建立三角函数式根据题意求出某点根据题意求出某点的三角函数值的三角函数值解决实际问题解决实际问题. .(2)(2)建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式出待定系数，然后写出具体的三角函数式. .3.3.三角函数模型应用注意点三角函数模型应用注意点(1)(1)一般地，所求

8、出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围别注意自变量的取值范围. .(2)(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解关系，并利用相关知识来理解. .【题型探究题型探究】类型一类型一 三角函数图象与解析式的对应问题三角函数图象与解析式的对应问题【典例典例】1.(20151.(2015青岛高一检测青岛高一检测) )函数函数y=f(x)=4cosx-ey=f(x)=4cosx-e|x|x|(e(e为自然对为自然对数的底

9、数数的底数) )的图象可能是的图象可能是( () )2.2.已知函数已知函数y=sinax+b(a0)y=sinax+b(a0)的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数y=logy=loga a(x+b)(x+b)的的图象可能是图象可能是( () )【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的函数有什么明显的性质？中的函数有什么明显的性质？提示：提示：函数定义域是函数定义域是R R，且是偶函数，且是偶函数. .2.2.典例典例2 2中中a1a1还是还是0a10a1？b b的取值范围是什么？的取值范围是什么？提示：提示：由周期大于由周期大于2 2知知0a10a2T= 2，又，又a0a0所以

10、所以0a1.0a1.当当x=0 x=0时时y=by=b，由图象知，由图象知0b1.0b0)(A0，0)0)的图象的图象. .(1)(1)试根据图象写出试根据图象写出I=Asin(t+I=Asin(t+) )的解析式的解析式. .(2)(2)为了使为了使I=Asin(t+I=Asin(t+)(A0)(A0，0)0)中中t t在任意一段在任意一段 秒的时间秒的时间内电流强度内电流强度I I能同时取得最大值能同时取得最大值A A与最小值与最小值-A-A，那么正整数，那么正整数的最小值的最小值是多少？是多少？1100【解析解析】(1)(1)由图知，由图知，所以所以因为因为( ( ，0)0)是该函数图象

11、的第一个点是该函数图象的第一个点( (五点作图法五点作图法) )，所以所以 所以所以所以所以I=300sin(100t+ )(t0).I=300sin(100t+ )(t0).(2)(2)问题等价于问题等价于T T ，即，即所以所以200200，所以最小的正整数，所以最小的正整数为为629.629.111A300.T()6030050 ，2100 .T13001300 ，3003，3110021100，【补偿训练补偿训练】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)s(cm)和时间和时间t(s)t(s)的关系式为的关系式为s=6sin(2t+

12、).s=6sin(2t+ ).(1)(1)作出它的图象作出它的图象. .(2)(2)单摆开始摆动单摆开始摆动(t=0)(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？时，离开平衡位置多少厘米？(3)(3)单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)(4)单摆来回摆动一次需多长时间？单摆来回摆动一次需多长时间？6【解析解析】(1)(1)列表如下：列表如下：描点作图：描点作图：(2)t=0(2)t=0时，时，s=3cms=3cm，此时离开平衡位置，此时离开平衡位置3 3厘米厘米. .(3)(3)离开平衡位置离开平衡位置6 6厘米厘米. .(4)(4)因为因为T= =1

13、T= =1，所以来回摆动一次所需的时间为所以来回摆动一次所需的时间为1 1秒秒. .22类型三类型三 三角函数在实际生活中的应用三角函数在实际生活中的应用【典例典例】(2015(2015宜昌高一检测宜昌高一检测) )在某个以旅游业为主的地区，每年各在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，现假设该地区个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数：每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数：f(n)=f(n)=100100Acos(n+2)+kAcos(n+2)+k来刻画来刻画. .其中：

14、正整数其中：正整数n n表示月份且表示月份且nn1 1，1212，例如，例如n=1n=1时表示时表示1 1月份；月份；A A和和k k是正整数，是正整数，00，cos( +2)1cos( +2)1，cos( +2)-1.cos( +2)-1.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：433每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；该地区从事旅游服务工作的人数最多的该地区从事旅游服务工作的人数最多的8 8月份和最少的月份和最少的2 2月份相差约月份相

15、差约400400人；人；2 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100100人，随后逐月递增到人，随后逐月递增到8 8月份达到最多月份达到最多. .(1)(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)f(n)的表达式的表达式. .(2)(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400400人时，该地区人时，该地区也进入了一年中的旅游也进入了一年中的旅游“旺季旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游的旅游“旺季旺季”？请说明理由？请说明理由

16、. .【解题探究解题探究】本例中参数本例中参数A A，k k的计算顺序是什么？的计算顺序是什么？第第(2)(2)问可转化为什么数学模型？问可转化为什么数学模型？提示：提示：先求先求A A，再求，再求k.k.第第(2)(2)问解不等式问解不等式f(n)400.f(n)400.【解析解析】(1)(1)根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为(8-(8-2)2)2=122=12，由此可得，由此可得，由规律可知，由规律可知，f(n)f(n)maxmax=f(8)=100A+100k=f(8)=100A+100k，f(n)f(n)minmin=f(2)=-

17、100A+=f(2)=-100A+100k100k，f(8)-f(2)=200A=400f(8)-f(2)=200A=400A=2A=2，又当又当n=2n=2时时f(2)=200cos( f(2)=200cos( 2+2)+100k=1002+2)+100k=100，所以，所以k=3k=3，综上可得，综上可得，f(n)=200cos( n+2)+300f(n)=200cos( n+2)+300，符合条件，符合条件. .2T126 ，66(2)(2)由条件由条件200cos( n+2)+300400200cos( n+2)+300400，可得可得cos( n+2) cos( n+2) 2k- n

18、+22k+ 2k- n+22k+ ，kZkZ (2k- -2)n (2k+ (2k- -2)n (2k+ -2)(kZ) -2)(kZ)12k-2- n12k+2- 12k-2- n12k+2- ，kZkZ，因为因为nn1 1，1212，nNnN* *，所以当，所以当k=1k=1时，时，6.18n10.18.6.18n1(2)y1时，才对冲浪爱好者开放，时，才对冲浪爱好者开放，所以所以y= cos t+11y= cos t+11，cos t0cos t0，即即2k- t2k+ (kZ)2k- t2k+ (kZ)，得得12k-3t12k+3(kZ)12k-3t12k+3(kZ)，又，又0t240

19、t24，所以所以0t30t3或或9t159t15或或21t2421t24，所以在规定时间内只有所以在规定时间内只有6 6个小时可以进行活动，即个小时可以进行活动，即9t15.9t0)+B(A0，00，00)，如图是该企业一天中在，如图是该企业一天中在0 0点点至至1212点时间段用电量点时间段用电量y y与时间与时间t t的大致图象的大致图象. .(1)(1)根据图象，求根据图象，求A A，B B的值的值. .(2)(2)若某日的供电量若某日的供电量g(t)(g(t)(万千瓦时万千瓦时) )与时间与时间t(t(小时小时) )近似满足函数关系近似满足函数关系式式g(t)=-1.5t+20(0t12).g(t)=-1.5t+20(0t12).当该日内供电量小于该企业的用电量时，当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产，请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻企业就必须停产，请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻( (精确精确度度0.1).0.1).参考数据：参考数据：【审题指导审题指导】(1)(1)要求要求A A，B B的