【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

1、标准实用二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1 .会用待定系数法求二次函数的解析式；2 . 会平移二次函数y =ax2(a#0)的图象得到二次函数 y = a(x h)2十k的图象;了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3 .根据交点求解解析式.文案大全知识点梳理21、顶点式：y =a(x -h ) +k的图像与性质a <0问卜(h, k)直线x = hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时， y随x的增大而增大；x = h时，y有最 大值k.2、交点式：y =a(x xi)(x X2)的图像与性质Xi、X2分别是二次函数与 x轴的两个交点坐标，如果二次函数与 x轴的

2、交点坐标已知,则我们可以设解析式为 y =a(x-xi)(x-x2),然后再根据条件求出 a即可；3、一般式y =ax2 +bx +c的性质 对于一般式：y =ax2+bx+c(a #0),我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标 呢？ 将一般式配方成顶点式:2y = ax/ 2= a(x2 b c 2 bbx c = a(x x ) = a(x x， a ab / b 2、 c / b 、2-x (丁)-()a 2a a 2a22b b -4ac4 a2=a ix2a22 ：所以，任意二次函数，其又称轴方程为：直线 x=-；顶点坐标为 -2，4ac-b2a12a 4al1.当a>0时

3、，抛物线开口向上，对称轴为直线 x = -b ,顶点坐标为2a1 b 4ac -b2.一丁， J.12a 4a j当x<b时，y随x的增大而减小；当x>-b时，y随x的增大而增大; 2a2a2 .当a <0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x = b ,顶点坐标为2a3 . 2 b 4ac -b、2a 4a jbb当x<一旦时，y随x的增大而增大；当x>一旦时，y随x的增大而减小; 2a2a典型例题分析1、二次函数一般式;例1、抛物线y = 2x2 +4x-1的对称轴是直线 【答案：x=1例2、抛物线y =2x24x+3的顶点坐标是 .【答案：(1,1)1例3、二次

4、函数y=x22x3,当y<0时，自变量x的取值范围是【答案：根据一般式，画出图像，求出与x轴的两个交点，位于 x轴下方的部分就是y <0； ，一1 <x <3例4、已知二次函数 y =ax2+bx+c的图象如图，则 a、b、c的正负性分别【答案：a <0； b <0； c>0例5、如果A ( -2, y1), B ( -1, y2)为二次函数y = x2 4x+1的图像上的两点,试判断y1与y2的大小为【答案：y2 < y1】例6、若二次函数y = (m+1 X2 + m2 2m 3的图象经过原点，则 m的值为【答案：3】例7、二次函数y =ax

5、2+bx+c的图像如图所示，那么abG b2 4ac,2a+b,a+b+ c值为正数的有 个.【答案：2】例8、已知二次函数 y =ax2+bx + c的图象与x轴交于点(一2,0)、(x1,0)且1 <% <2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论： 4a -2b +c=0； ab+cA0； a+b+c<0； a<b<0.其中正确结论的是.【答案：正确，将 x = 2即可；正确，将 x = 1代入得：ab+c>0；错误，将x=1代入彳导：a+b+c>0；正确，将x = 2代入得：4a 2b+c = 0 ,将x=1代入得：a+b+c>

6、0 ,所以(4a2b+c)(a+b+c) <0 ,整理得：3a-3b <0例9、已知二次函数 y = 2x2+3x+1的顶点是A,与x轴的两个交点为 B、C (B点在C点的左侧)与y轴的交点为D,求四边形 ABCD的面积.3119 _【答案：A(,; B(-1,0) ； C ( ,0) ； D(0,1)；面积为一】482322、二次函数顶点式；1 2例10、把一次函数y=x的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得2图像的解析式为：.,、121 27【答案：y= (x+1) +3或丫= x +x+ 222例11、如果抛物线y=x2 mx+m+3的顶点在x轴上，那么m=.【答

7、案：m = 6或m = -2例12、抛物线y =ax2 1上有一点P(2, 2),平移该抛物线，使其顶点落在点 A(1,1 ) A(1,1)处，这时，点P落在点Q处，则点Q的坐标为.【答案：Q(3, 4),原函数顶点坐标是(0, -1)】2 2例13、将函数y = 2x +8x-7写成y =a(x+m ) +k的形式为.【答案：y =2(x2)2 +1例14、已知函数y = (m +2 Km24ms是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m的值；(2) m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y

8、随x的增大mix而减小？【答案：(1) m = -3或m = 2；(2) m=2, (0,0)；当x=0时，y有最小值为0,当x>0, y随x的增大而增大(3) m =-3, (0,0)；当x=0时，y有最大值为0,当x>0, y随x的增大而减小】例15、(1)若抛物线y = x2+mx +2m的顶点在y轴右侧，求 m的取值范围；(2)已知抛物线y =x2 2(k +1)x+16的顶点在X轴上，求k的值；(3)若抛物线y =x2 2(k+1)x +16的顶点在y轴，求k的值.【答案：(1) m<0; (2) k=3 或 k=_5; (3) k=_1】3、二次函数交点式；例16

9、、抛物线y =x2 +bx + c经过点(0,3)和(-1,0)，那么抛物线的解析式是 .【答案：y=x22x3】例17、二次函数的图像经过点(1,0) , (3,0),且最大值是3,求二次函数的解析式.3 2 39【答案:y=_3x2+3x+9】 424例18、已知抛物线y =ax2+bx+c(a¥0)与x轴的两交点的横坐标分别是 -1和3, 与y轴交点的纵坐标是 -3； (1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线 的开口方向，对称轴和顶点坐标.123.【答案：(1) y=-x -x-一 ；(2)开口向上；对称轴：直线x = 1 ；顶点坐标(1,2)】 22课后练习练1 .

10、抛物线y = x2 6x +5的顶点坐标为 .【答案：（3,工）】练2.已知一元二次方程 x2+bx-3 = 0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的4 . . 5.1图象上有二点（ ，）、（，丫2）、（，y3）, y、y2、y3的大小关系是.5 46【答案：必丫2丫3】练3.已知函数y =（k3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .【答案：k 4123练4, 右一次函数y=x x+c图象的顶点在 x轴上，则C=.29【答案：c = 一 16练5.抛物线y=ax2+bx + c在点（3,1）处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标为-8,则它的解析式为.【答案：y = -

11、x2+6x-8】练6.已知抛物线y =ax2 +bx+c经过（1,2）、（3,0）两点，它在x轴上截得线段的长为6 .求此抛物线的函数解析式.12327 5129,【答案： y=-x x + 或 y = x +一82844练7.已知抛物线y = x2+mx 2与直线y = 2x + b相交于M、N两点，点M、点N的横坐标分别是7和一2.求：(1) M、N两点的坐标；(2)直线和抛物线的解析式；(3)若坐标原点是 O,求AMON的面积.【答案：(1) M (7, -30) , N(2,12)； (2) y = x2+3x2; y = 2x16；(3)S.MON =72Z8.抛物线y =ax2+b

12、x + c过点(0,-1)与点(3,2 ),顶点在直线y=3x-3上,a <0,求此二次函数的解析式.【答案：y =x2 +4x1】练9.已知二次函数图象与 x轴交于A(-2, 0), B(3,0)两点，且函数有最大值是2.(1) 求二次函数的图象的解析式；(2) 设次二次函数的顶点为 P ,求AABP的面积.(2 ) S&BP = 5 】82848【答案:(1) y=一x 十一x十一；252525练10.已知抛物线y = x2-mx+m-2.(1)求证此抛物线与 x轴有两个不同的交点；(2)若m是整数，抛物线 y = x2 mx+m-2与x轴交于整数点，求 m的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为A ,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且 MA = MB ,求点M的坐标.【答案：(1) A=b2-4acA0;(2) m=2； (3) (1Q)或(0,1)】课后小测验1 2 .1 .将抛物线y=-x向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为，再向右3平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标、.1 212【答案：y=-x2 -2- y=-(x-3)2-2； (0,2)； (3, -2)3322 .抛物线y=x 6x16的顶点坐标为 .【答案：(3,15)】3 .二次函数y =x2 +bx+