四阶非线性奇异半正方程组边值问题的正解

1、朱风玲，刘立山曲阜师范大学数学科学学院，山东曲阜（273165）E-mail：,摘 要：本文利用不动点指数定理研究了一个四阶非线性奇异半正两点边值问题方程组的正解的存在性，借助研究与其近似的二阶非线性半正奇异方程组解的存在性，得到了四阶非线性奇异半正方程组的一些新的正解存在性的结果最后，本文给出了一个例子具体说明解的存在性定理的应用.关键词：非线性奇异半正方程组；四阶边值问题；正解；锥；不动点指数中图分类号： O177.911引言在许多领域如物理,生物和化学等, 都有奇异半正方程组边值问题出现, 而且无论是理论方面还是应用方面都有很重要的作用. 对于这样的非线性奇异方程(组)问题的研究应经有很

2、多了, 然而大部分文章倾向于二阶的非线性奇异方程组,或者是非线性项是非负的, 如文献1-16, 很少文章研究四阶奇异半正边值问题. 最近, 刘立山在文15中研究了下列二阶非线性两点半正边值问题正解的存在性:x"(t)=f(t,y(t),x(t)+p(t),t(0,1),y"(t)=g(t,x(t),y(t)+q(t),t(0,1), (1.1) x(0)=x(1)=0,y(0)=y(1)=0,其中f,g:(0,1)×R×RR是连续的，并且t=0和（或）t=1处是奇异的+p,q:(0,1)(,+)是Lebesgue可积的，并且在0,1上有限个奇异点.通过对

3、方程组(1.1)进行代换, 然后用熟悉的不动点定理就可以得到其正解的存在性.受上述文章的启发, 本章考虑如下实Banach空间(E,)中四阶非线性奇异半正方程组: x(4)(t)=f(t,x(t),y(t),x"(t),y"(t),t(0,1),(4)y(t)=g(t,x(t),y(t),x"(t),y"(t),t(0,1), (1.2) x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0,其中f,g:C(0,1)×R×R×R×R,

4、R),f,g在t=0和（或）t=1处可能是奇异的, 并且取值可能是负的, 其中R=0,+),R=(,0,通过用不动点定理来讨论一下与(1.2)逼近的二阶非线性半正方程组解的存在性, 进而得出四阶非线性半正方程组两点边值问题解的存在性. +2预备知识首先，记下面边值问题 1本课题得到国家自然科学基金(10771117)和高等学校博士点科研基金(20060446001)的资助。-1-u"(t)=0,t(0,1),u(0)=u(1)=0,的格林函数为G(t,s),易知G(t,s)为s(1t),0st1,G(t,s)=t(1s),0ts1.易证G:0,1×0,10,1是连续的，并且

5、有G(t,s)=G(s,t)G(s,s)=s(1s)1,在本文给出以下条件0s,t1.(H1)f,gC(0,1)×R+×R+×R×R,R),并存在函数hiC(R4,R+)和p1(t)f(t,x1,x2,x3,x4)q1(t)h1(x1,x2,x3,x4),p2(t)g(t,x1,x2,x3,x4)q2(t)h2(x1,x2,x3,x4), (t,x1,x2,x3,x4)(0,1)×R+×R+×R+×R+.pi,qiL1(0,1),R+)IC(0,1),R+)(i=1,2),使得(H2)存在(,)0,1，使得xi+t

6、,i=1,2,3,4limminf(t,x1,x2,x3,x4)+p1(t)=+,x4或g(t,x1,x2,x3,x4)+p2(t)=+.xi+t,x4i=1,2,3,4limmin(H3)10Mi=maxxj0.r(j=1,2,3,4)h1(x1,x2,x3,x4),h2(x1,x2,x3,x4),10r1=p1(s)ds,r2=p2(s)ds,r=maxr1,r2，并且满足0<G(,)q1()+p1()d<1rM1+1r,0<G(,)q2()+p2()d<1M2+1.注1 由条件(H1)容易得出f,g在t=0或/和t=1处有奇异事实上，条件(H1)允许f和g在0,1

7、上有有限个奇异点为了解决f,g有导数的难点,先考虑以下二阶非线性微积分方程组:u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),00v"(t)=g(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),0<t<1,(2.1) 00u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.引理2.1 四阶非线性奇异半正微分方程组(1.2)有一个正解当且仅当二阶非线性微积分方程组(2.1)有一个正解.-2-证 (x,y)四阶非线性半正微分方程组(1.2)的一个正解,令u(t)=x"(t),v(t

8、)=y"(t), 则由方程组(1.2)的边值条件和交换一下积分顺序可得11x(t)=G(t,s)u(s)ds,0y(t)=G(t,s)v(s)ds.故u(t)=x"(t),v(t)=y"(t), 是二阶微积分方程组(2.1)的一个正解. 另外, 若(u,v)是二阶微积分方程组(2.1)的一个正解. 令x(t)=G(t,s)u(s)ds,1y(t)=G(t,s)v(s)ds.1则有x'(t)=(1s)u(s)dssu(s)ds,t1ty'(t)=(1s)v(s)dssv(s)ds,t1tx"(t)=u(t),y"(t)=v(t).

9、也就是x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0. 相应地, (x,y)是方程组(1.2)的一个正解, 其中x(t)=G(t,s)u(s)ds,1y(t)=G(t,s)v(s)ds.1在本文中取X=C(0,1,R)×C(0,1,R), 则空间X在范数(u,v):=u+v下是Banach空间, 其中对任意的(u,v)X， u=maxt0,1u(t)， v=maxt0,1v(t). 同时定义X中的锥P为P=(x,y)X:x(t)t(1t)x,y(t)t(1t)y,t0,1.注2 若(x,y)C0,

10、1t(0,1),有u(t)>0,v(t)>0,则称(u,v)是方程组(2.1)在空间C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)上的一个正解令IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)满足方程组(2.1)且对任意的1(t)=G(t,s)p1(s)ds,12(t)=G(t,s)p2(s)ds,10t1.由条件(H1)和格林函数的性质可有1101(t)=G(t,s)p1(s)dsG(s,s)p1(s)dsp1(s)ds+,0040111102(t)=G(t,s)p2(s)dsG(s,s)p2(s)dsp2(s)ds+,004011并且1"(t)=p1

11、(t),2"(t)=p2(t),1(0)=1(1)=0,2(0)=2(1)=0,也就是说1(t)和2(t)分别是下面BVP的正解：u"(t)=p1(t),t(0,1),v"(t)=p2(t),t(0,1), =u(0)u(1)0,v(0)v(1)0,对任意的uC0,1，定义一个函数:0,1R为-3-+为了解决半正问题所带来的难题, 考虑以下非线性奇异微分方程组:u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)(s)ds,1G(t,s)v(s)(s)ds,1200u(t)1(t),v(t)2(t)+p1(t),v"(t)=g(t,1G(t,s)u(s)

12、(s)ds,1G(t,s)v(s)(s)ds,12 （2.2） 00u(t)1(t),v(t)2(t)+p2(t),u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.易知(u,v)C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)是方程组(2.2)的一个解当且仅当(u,v)C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)是下列非线性积分方程的解：u(t)=1f(s,1G(s,)u()()d,1G(s,)v()()d,12000u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds, （2.3） 111v(t)=g(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()

13、d,000u(s)1(s),v(s)2(s)+p2(s)G(t,s)ds,t(0,1)定义算子A,B:PX如下：A(u,v)(t)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,b(u,v)(t)=g(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p2(s)G(t,s)ds,t(0,1)定义一个积分算子F:PX为F(u,v)=(A(u,v),B(u,v)，则方程组(2.3)等价于在Banach空间X=C(0,1,R)×C(0,1,R)中的

14、不动点方程F(u,v)=(u,v)方程组 (2.1)正解存在性可由文13中的不动点定理得证.引理2.2令X为一个实Banach空间,P为X中的锥, 是X中的一个开子集并且有,A:PP是一个全连续算子, 则有下列结论成立:(i)若对所有的uIP,1，Auu,则i(A,IP,P)=1，(ii)若对所有的uIP,Au/u,则i(A,IP,P)=0.引理2.3若满足对任意的t0,1, 都有u(t)w1(t)和v(t)w2(t)成立的向量(u,v)为方程组(2.3)的一个正解, 则(uw1,vw2)是奇异半正方程组(2.1)的一个正解.证 事实上，若(u,v)是方程组(2.3)的一个正解使得对任意的t0

15、,1，都有u(t)1(t)和v(t)2(t), 则由(2.2)式和函数的定义可知-4-u"(t)=f(t,1G(t,s)(u(s)(s)ds,1G(t,s)(v(s)(s)ds,1200(u(t)1(t),(v(t)2(t)+p1(t),v"(t)=g(t,1G(t,s)(u(s)(s)ds,1G(t,s)(v(s)(s)ds,12 (2.4) 00(u(t)1(t),(v(t)2(t)+p2(t),u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0.令u1=u1,v1=v2,则u1"(t)=u"(t)1"(t),v1"(t)=v&quo

16、t;(t)2"(t), 故有u"(t)=u1"(t)+1"(t)=u1"(t)p1(t),v"(t)=v1"(t)+2"(t)=v1"(t)p2(t),t0,1因此(2.4)变为,u"(t)=f(t,1G(t,s)u(s)ds,1G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),111100111v"(t)=g(t,G(t,s)u(s)ds,G(t,s)v(s)ds,u(t),v(t),1111 (2.5) 001u(0)=u(1)=0,11v1(0)=v1(1)=0.也就是(u1,v1)

17、=(u1,v2)是方程组(2.1)的正解, 从而引理证毕. 由引理2.3的结果, 下面主要讨论方程组(2.3).证 对任意的定点(u,v)P , 令L=maxmax0t1u(t),max0t1v(t). 则由函数的定义和格林函数的性质可得u(s)1(s)u(s)L, v(s)2(s)v(s)L,s0,1G(s,)u()()dL,G(s,)v()()dL,1211因而由条件(H1)可有A(u,v)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,q1(s)h1(G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,1

18、11u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(s,s)ds,(N1+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+,01其中Ni=maxxj0,L(j=1,2,3,4)hi(x1,x2,x3,x4)(i=1,2). 按照与上述相同的证明方法进行, 同样可有B(u,v)<+. 因此,F:PX是良定义的.接下来, 对任意的(u,v)P, 令(x,y)(t)=F(u,v)(t). 由算子F的定义可有(x,y)(0)=F(u,v)(0),(x,y)(1)=F(u,v)(1), 所以存在t0(0,1)，使得(x,y)(t0)=(x,y).-5-tt,t0s,t,0t(1s)tst0,

19、s(1t),G(t,s)= G(t0,s)1t,st,t0,1t0s(1t),t0st,t0(1s)故可得G(t,s)t(1t),G(t0,s)所以11(t,s)(0,1)×(0,1). x(t)=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,0001u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,=f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d, 000111u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)t(1t)x(t0)=t(1t)x,t0,1.G(t,s)G(t0,s)ds,G(t0,s)同样可有y(t)t(1t)y, t0,1. 因

20、此, F(P)P.令DP为任意一个有界集,则存在一个常数L'>0使得对任意的(u,v)D,都有(u,v)L'. 进而对任意的(u,v)D, 0,1有u()1()u()uL',v()2()v()vL',G(s,)u()()dL',011G(s,)v()()dL'.021因此由条件(H1)可得f(s,G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d,0011u(s)1(s),v(s)2(s)q1(s)h1(G(s,)u()1()d,G(s,)v()2()d, (2.6) 0011u(s)1(s),v(s)2(s)q1(s)N1',其中

21、Ni'=maxxj0,L'(j=1,2,3,4)hi(x1,x2,x3,x4)(i=1,2). 故由(2.6)可有-6-u(s)1(s),v(s)2(s)+p1(s)G(t,s)ds,G(s,s)q1(s)N1'+p1(s)ds,01(N1'+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+,(u,v)D.01类似地, 对任意的(u,v)D,有B(u,v)(t)(N2'+1)G(s,s)q2(s)+p2(s)ds<+. 01因此, F(D)是一致有界的.现在证F(D)在0,1上是等度连续的. 对任意的(u,v)D, t0,1, 由算子A的定义可

22、有t1dA(u,v)(t)(N1'+1)(sq1(s)+p1(s)ds+(1s)q1(s)+p1(s)ds). 0tdt对其积分并交换积分顺序可得(sq(s)+p(s)ds+(1s)q(s)+p(s)ds)dt0011t111t1=dssq1(s)+p1(s)dt+ds(1s)q1(s)+p1(s)dt 0s00111s=2G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+.01所以对任意的(u,v)D,有0101dA(u,v)(t)dt2(N1'+1)G(s,s)q1(s)+p1(s)ds<+. 0dt同样的方法可以得到0101dB(u,v)(t)dt2(N2'+

23、1)G(s,s)q2(s)+p2(s)ds<+. 0dt由积分的绝对连续性可知F(D)在0,1上是等度连续的. 再由Ascoli-Arzela定理可得, F(D)是一个相对紧集.由f和g的连续性, 易知F:PP是连续的. 因此,F:PP是一个全连续算子. 从而引理证毕.证 假设存在01,(u0,v0)Pr，使得0(u0,v0)=F(u0,v0), 则有(u0,v0)=10F(u0,v0)和0<101. 因为v0(t)v0t(1t)=rt(1t),t0,1 u0(t)u0t(1t)=rt(1t),和-7-1(t)=G(t,s)p1(s)dst(1t)p1(s)ds=rt1(1t),1

24、12(t)=G(t,s)p2(s)dst(1t)p2(s)ds=r2t(1t),11并且对任意的t0,1,有u0(t)1(t)rt(1t)rt1(1t)(rr1)t(1t)0,v0(t)2(t)rt(1t)r2t(1t)(rr2)t(1t)0,则由(u0,v0)=10F(u0,v0), 可以得到关于0,u0和v0的方程:111+"()(,(,)()(),utftGtsussds0100G(t,s)(v0(s)2(s)ds,00(u0(t)1(t),(v0(t)2(t)+p1(t)=0,0<t<1, (2.7) u(0)=u(1)=0,0v0(0)=v0(1)=0.因为对任

25、意的t(0,1), 有u0"(t)0, 所以u0(t)在0,1上是一个凹函数.由边值条件可知, 存在t(0,1),使得u0=u0(t0),u0'(t0)=0,u0'(t)0,t(0,t0),u0'(t)0,t(t0,1).对t(0,t0),将(2.7)由t到t0积分可得t0u0'(t)=(u0"(s)dstf(s,G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,tt011(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)+p1(s)ds.因为0u0(s)1(s)u0(s)u0=r,0v0(s)2(s)v0(s)v0=r,0G(s,)(u0

26、()1()du0()u0=r,010G(s,)(v0()2()dv0()v0=r,1故f(s,G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,11(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)q1(s)h1(G(s,)(u0()1()d,G(s,)(v0()2()d,11(u0(s)1(s),(v0(s)2(s)q1(s)M1,其中常数M1是在条件(H3)中定义的, 进而有'u0(t)(M1+1)q1(s)+p1(s)ds. (2.8)tt0-8-r=u0(t0)=u0'(s)ds0t0(M1+1)dsq1()+p1()d0st0t0=(M1+1)dq1()+p1()d

27、s00t0(M1+1)q1()+p1()d0t0相应地有 (M1+1)t0G(,)q1()+p1()d.01t0t0r(1t0)G(,)q1()+p1()d. (2.9) (M1+1)0用同样的办法,对t(t0,1)有1rt0G(,)q1()+p1()d. (2.10) (M1+1)t0将(2.9)和(2.10)相加可得r(M1+1)G(,)q1()+p1()d. 01L>由(H2)知存在R1>r使得 (1)max0t1G(t,s)ds2 (2.11)f(t,x1,x2,x3,x4)+p1(t)Lx4,取Rt,xiR1,i=1,2,3,4. (2.12) 2R1r1, 显然,R&g

28、t;2R1>2r, 因此<. R2(1)接下来, 证(u,v)/F(u,v),(u,v)PR. 事实上, 若存在(u1,v1)PR使得(u1,v1)F(u1,v1), 则由引理2.5证明过程可知, 对任意的t,有-9-u1(t)1(t)u1(t)rt1(1t)u1(t)rt(1t)u1(t)u1(t)rR111u1(t)t(1t)RR(1)>R1>0,222v(t)v1(t)2(t)v1(t)r2t(1t)v1(t)rt(1t)v1(t)1rR111v1(t)t(1t)RR(1)>R1>0,222故由(2.12)-(2.14)可得11(2.13)(2.14)

29、Ru1(t)A(u1,v1)(t)=G(t,s)p1(s)+f(s,G(s,)u1()1()d,1G(s,)v1()2()d,u1(s)1(s),v1(s)2(s)ds,LG(t,s)v1(s)2(s)ds,L(1)RG(t,s)ds,2而由(2.11)可知t0,1.(2.15)L(1)RRmax0t1G(t,s)ds>R.2这就与(2.15)式矛盾. 故由引理2.2, 可得i(F,PR,P)=0.()3主要结果定理3.1假设条件(H1)(H3)成立,则方程组(1.2)在空间C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)上至少有一个正解.证 由引理2.5, 2.6和不动点指

30、数的性质, 有i(F,PRPr,P)=1, 因而F在PRPr中有一个不动点(u0,v0), 并且满足u0>r和v0>r. 同时u0(t)1(t)u0t(1t)G(t,s)p1(s)ds1u0t(1t)t(1t)p1(s)ds1(rr1)t(1t)0,t0,1,v0(t)2(t)v0t(1t)G(t,s)p2(s)ds01v0t(1t)t(1t)p2(s)ds1(rr2)t(1t)0,t0,1.由引理2.3可知,(u01,v02)是方程组(2.1)在空间上C0,1IC2(0,1)×C0,1IC2(0,1)的一个正解. 由引理2.1可知,(x,y)是方程组(1.2)的一个正解

31、, 其中x(t)=G(t,s)(u0(s)1(s)ds,1y(t)=G(t,s)(v0(s)2(s)ds.1-10-定理证毕.4. 例子例4.1 考察下列二阶微分方程组的边值问题1(4)1112224x(t)=t(x(t)+y(t)+x"(t)+y"(t)t,44(4)411133333y(t)=t(x(t)+y(t)+x"(t)+y"(t)t5,t(0,1)75x(0)=x(1)=x"(0)=x"(1)=0,y(0)=y(1)=y"(0)=y"(1)=0.(4.1)结论 方程组(4.1)在空间C0,1证 令IC2

32、(0,1)×C0,1IC2(0,1)上至少有一个正解.1111222f(t,x1,x2,x3,x4)=t(x1+x2+x3+x4)t4,44413333g(t,x1,x2,x3,x4)=t3(x1+x2+x3+x4)t5,75则11p1(t)=t4,411q1(t)=t2,4311p2(t)=t5,541q2(t)=t3,722333h1(x1,x2,x3,x4)=x1+x2+x3+x4,h2(x1,x2,x3,x4)=x1+x2+x3+x4,显然，f和g满足条件(H1),(H2). 因为1因此r=maxr1,r2=1p1(s)ds=,311p2(s)ds=,41, 则有 3max1

33、xj0,3j=1,2,3,4r3=,h1(x1,x2,x3,x4)+117r9=,h2(x1,x2,x3,x4)+131max和1xj0,3j=1,2,3,4111113742Gssqspsdsssssds+=+=(,)()()(1)(),110044115511154353G(s,s)q(s)p(s)dss(1s)(ss)ds.+=+=22005731511-11-max1xj0,3j=1,2,3,41r>G(s,s)q1(s)+p1(s)ds,h1(x1,x2,x3,x4)+10max1xj0,3j=1,2,3,4r>G(s,s)q2(s)+p2(s)ds.h2(x1,x2,x

34、3,x4)+101易知也满足条件(H3). 由定理3.1可知方程组(4.1)至少有一个正解.参考文献4 R.Aris. Introduction to the Analysis of Chemical Reactors. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. NJ. 1965.7 L.S. Liu, P. Kang, Y.H. Wu and B. Wiwatanapataphee. Positive solutions of singular boundary value problems for systems of nonlinear fourth order

35、differential equations. Nonlinear Anal. 68: 485-498. 2008.8 L.S. Liu, X.G. Zhang and Y.H. Wu. Positive solutions of fourth-order nonlinear singular Sturm-Liouville eigenvalue problems. J. Math. Anal. Appl. 326: 1212-1224. 2007.9 R.Y. Ma. Multiple nonnegative solutions of second-order systems of boun

36、dary value problems. Nonlinear Anal. 42: 1003-1010. 2000.10 D. O'Regan. Theory of Singular Boundary Value Problems. World Science. Singaporo. 1994.11 D. O'Regan, B.Q. Yan and Ravi. P. Agarwal. Solutions in weighted spaces of singular boundary value problems on the half-line. J. Comput. Appl. Math. 205: 751-763. 2007.12 X.G. Zhang, L.S. Liu. Positive solutions of superlinear semipositone singular Dirichlet boundary value problems. J. Math. Anal. Appl. 316:525-537. 2006.13 X.G. Zhang, L.S. Liu and H.C. Zou. Eigenv