2017初一北师（下）三角形全等辅助线添加方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形辅助线辅助线1：截长补短+角平分线1.已知：如图，在ABC 中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD2.如图在ABC中C=90°，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=6cm，求DEB的周长3.如图，四边形ABCD中，B=90°，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为BC的中点4.如图，在ABC中，BAC=90°，ADBC于点D，ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FHBC于点H，求证：AE=FH5.已知：如图，在ABC 中，ABC=60°

2、，AD 平分BAC，CE 平分ACB，AD，CE 交于点 O， 求证： AC=AE+CD， OE=OD6.已知：如图，在ABC 中，A=90°，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 的延长线于点 E 求证：2CE=BD7.如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上8.如图，AP，CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P求证：BP为MBN的平分线面积法1如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长

3、之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由2.如图，ABC中，B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PEAB、PFBC、PDAC，垂足分别为E、F、D，求PD的长3.如图，已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h在图中，点P是边BC的中点，由SABP+SACP=SABC得，ABh1+ACh2=BCh，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h图中，点P分别在线段MC上、M

4、C延长线上、ABC内、ABC外（1）请探究：图中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）说明图所得结论为什么是正确的；（3）说明图所得结论为什么是正确的辅助线2：倍长（类）中线:ABC中 AD是BC边中线 方式1： 延长AD到E使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长作CFAD于F，作BEAD的延长线于E连接BE 方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CN1.如图，ABC中，中线AD=4，AB=6，求AC的取值范围2、在ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19

5、D、9<AB<193.已知：如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF 4、已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EFAB交AD于点F，EF=AC。 求证：AD平分BAC5、ABC中，AD是边BC上的中线，DAAC于点A，BAC=120°， 求证：AB=2AC.6、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM7.已知，如图，在ABC中，90°M为AB的中点，P、Q分别在AC上，且PMQM于M，求证：AP+BQPQ。8.如图，在中，是边的中线.求

6、证：9.如图，在中，平分，为的中点，交延长线于.求证：10.如图，ABC中，ADBC于D，且AD=BD，F为AD上一点，且CD=DF,点E在CB延长线上，连接EF交AB于G。（1）求证：BF=AC；（2）若点G为EF中点，求证：EB=AF。11.如图，在ABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为D，E是CB上一点，且CE=AC，EFCD，垂足为F.（1）求证：AD=CF（2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GDGF.12.已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，M点是线段DF的中点.试说明线段ME与MC的关系辅助线3：半角模型1.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD

7、，=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：EF=BE+FD（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD, =180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； 2. 如图，点C为等边ABD外一点，满足CD=CA，且=120°，已知ABD的边长为2. 现有MCN60°，其两边分别与DB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0°旋转角

8、60°），使得M、N始终在边DB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由辅助线4：手拉手模型1.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）ABEDBC （2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。（4）AGBDFB（5）EGBCFB（6）BH平分AHC（7）GFAC2. 如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）ABEDBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC3. 如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接A

9、G,CE,二者相交于H.问 （1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？4. 两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a，连接AE与CD.问（1）ABEDBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？5如图，点A，B，C在同一直线上，ABD，BCE都是等边三角形（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断BMN的形状，并证明你的结论6如图，ABC和ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O（1）求证：BD=CE；

10、（2）OA平分BOE吗？说明理由7如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN求证：（1）BD=CE；（2）BM=CN；（3）MNBE8如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时的大小是否

11、发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）全等三角形辅助线（答案）辅助线1：截长补短+角平分线1.已知：如图，在ABC 中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD【解答】方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE 方法二：延长AB至E，使AE=AC，连接DE2.已知：如图，在ABC 中，ABC=60°，AD 平分BAC，CE 平分ACB，AD，CE 交于点 D， 求证： AC=AE+CD， DE=DD【解答】（1）证明：ADC=120°，ADE=DDC=180°ADC=180°120°=60°，在AC上截取AF=AE，连接DF，如图，

12、在ADE和ADF中，ADEADF（SAS），ADE=ADF，ADF=60°，CDF=ADCADF=120°60°=60°，又CDD=60°，CDD=CDF，在CDD和CDF中，CDDCDF（ASA），CD=CF又AF=AE，AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC；（2）证明：ADEADF，CDDCDF，DE=DF，DF=DD，DE=DD3.已知：如图，在ABC 中，A=90°，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD 交 BD 的延长线于点 E 求证：2CE=BD【解答】解：延长CE、BA相交于点FEBF+F=90°

13、，ACF+F=90°EBF=ACF在ABD和ACF中ABDACF（ASA）BD=CFBD平分ABC，CBE=FBE，在BCE和BFE中，BCEBFE（ASA）CE=EF2CE=BD辅助线2：倍长（类）中线:1.如图，ABC中，中线AD=4，AB=6，求AC的取值范围【解答】解：如图，延长AD到E，使AD=DE，连结CEAD是ABC的中线，BD=CD在ADB和EDC中，ADBEDC（SAS），AB=CEAECEACAE+CE，2ADABAC2AD+ABAD=4，AB=6，2AC142.已知，如图，在ABC中，90°M为AB的中点，P、Q分别在AC上，且PMQM于M，求证：AP

14、+BQPQ。【解答】延长QM，使MH=QM，连接AH,PH.利用三角形三边关系。3.如图，在中，是边的中线.求证：【解答】延长AE至点F，使AE=EF,连接BF.证明AEDFEB,再证明ABFCDA.4.如图，在ABC中，E为BC中点，AD平分BAC，EFAD，EF与AC的延长线交于点F，与AB交于H，试说明：BH=CF【解答】解：如图，过点B作BGEF，交CF的延长线于点G；，AD平分BAC，ADEF，BAD=CAD，BAD=AFH，AHF=BAD，AFH=AHF，AH=AF，FG=HB；而EFBG，BE=CE，CF=FG，BH=CF5.如图，ABC中，ADBC于D，且AD=BD，F为AD上

15、一点，且CD=DF,点E在CB延长线上，连接EF交AB于G。（1）求证：BF=AC；（2）若点G为EF中点，求证：EB=AF。【解答】(1)证明BDFADC. (2)过F点作FHBC交AB于点H,证明EBGFHG,证HFA为等腰Rt。6.如图，在ABC中，ACB=90°，CDAB，垂足为D，E是CB上一点，且CE=AC，EFCD，垂足为F.（1）求证：AD=CF（2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GDGF.【解答】解：（1）ACB=90°，CDAB，ACD+ECF=90°，ACD+CAD=90°，CAD=ECF，在RtADC和RtCFE中，Rt

16、ADCRtCFE，AD=CF（2）如图，连接CG，ACB=90°，G为AE的中点，AC=CE，CGAE，CAG=ECG=45°，CG=AG=GE，RtADCRtCFE，CAD=ECF，CAG+GAD=CAD，ECG+GCF=ECF，GAD=GCF，在GAD和GCF中，GADGCF，AGD=CGF，CGAE，AGC=90°，AGF+CGF=90°，AGF+AGD=90°，即DGF=90°，GDGF辅助线3：半角模型1.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：EF=BE+F

17、D（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD, =180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； 【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90°，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立

18、（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180°，ADF+ADC=180°，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBGEF=BEFD2. 如图，点C为等边ABD外一点，满足CD=CA，且=120°，已知ABD的边长为2. 现有MCN60°，其两边分别与DB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0°旋转角60°），使得M、N始终在

19、边DB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由【解答】解析：延长BA至点F，使AF=DM，连接CF又MDC=FAC=90°，DC=AC，MDCFAC，MC=CF，MCD=FCAFCN=FCA+NCA=MCD+NCA=DCAMCN=60°，FCN=MCN在MCN和FCN中，MCNFCN，MN=NFBM+MN+BN=BM+NF+BN=BDDM+BA+AF=BA+BD=4BMN的周长不变，其周长为4辅助线4：手拉手模型1.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）ABEDBC （2）AE=DC（3）AE与