——大地水准面的起伏和垂线偏差

1、第五章 大地水准面的起伏和垂线偏差确定地面点在地球上的位置需要知道其三个坐标通过天文观测可以确定它的天文经度、天文纬度两个坐标、通过重力测量和水准测量可以确定第三个坐标-正高；地面点的天文经、纬度这两个坐标是以该点的重力矢量方向为依据的，而正高则从该点的大地水准面起算。受地球内部密度分布不规律的影响，重力矢量方向在地球中是杂乱无章的，同时大地水准面也是一个不规则的曲面；地面各点的这三个可观测坐标是以重力矢量方向定向的局部坐标架为根据的，它们之间难以进行精确对比。为了克服这种局限，在大地测量中通常采用大地坐标系；大地坐标系是一种以中心置于地球质心的参考椭球为依据的全球统一坐标系，地面点相对参考椭

2、球的坐标称为它的大地坐标，大地坐标有三个：大地经度、大地纬度和大地高程。三个大地坐标不能直接观测，它们与参考椭球的几何参数和它在地球中的定位有关；几何参数合适的参考椭球选定并在地球中定位后，三个大地坐标可以通过可观测的三个坐标（天文经、纬度和正高）计算出来；为此，需要知道大地水准面的起伏和垂线偏差。本章给出如何根据混合重力异常计算大地水准面起伏和垂线偏差的公式。5.1 自然坐标和大地坐标1.自然坐标地球表面上的任一点的自然坐标式以该点的重力方向为依据的，自然坐标有三个，它们式：天文精度、天文纬度和正高。图式点的地面天球，地球的旋转轴在空间的取向是固定的，点与地球旋转轴的平行直线与天球交点称为点

3、地面天球的北极；过点作一条直线，沿着点重力矢量的反方向向上，它与点的地面天球相交与点，称为点的天文天顶，平面称为点的天文子午面；过作一平面，令与格林尼治初始子午面平行，则称为点的初始天文子午面。点的天文纬度等于北天极在点的告诉，点的天文经度等于点的地方恒星时与格林尼治地方恒星时的差；点的天文经度和天文纬度这两个天文坐标可以通过在点的天文观测测量出来。如图所示，点的第三个坐标式它的正高，它等于点沿垂线至带地水准面的距离，因为地球的重力等位面彼此间不平行，从水准原点开始，通过水准测量测出点至大地水准面的高差与水准测量的路径有关，它不等于点的正高，即有假若在水准测量的路径上同时进行重力测量，考虑到根

4、据（）式，有为地球在大地水准面上的重力位。（）式表明，通过水准路径上同时进行水准和重力测量可以测出点的重力位与大地水准面上的重力位之间的差，因而有根据（）式，点的正高为为、两点间的平均重力。这样，通过水准测量和沿着水准测量路径上同时进行重力测量，根据（）式可以求出点的正高。2.大地坐标如图所示，选择参数合适的参考椭球，将其中心置于地球的质心，在全球地心直角坐标系内，令参考椭球的极轴沿着地球的旋转轴，位于赤道平面内，并令子午面为参考椭球的初始子午面；以这种参考椭球为基本参考架的坐标系称为大地坐标系，大地坐标系式一种全球统一的地球坐标系。地面上任一点的坐标由它的大地纬度、大地经度、大地高程三个大地

5、坐标给出。用表示点沿该点正常重力方向在参考椭球面上的投影，则称为点的大地高程，而过点的参考椭球面法线，即该点的正常重力方向与赤道平面的夹角称为点的大地纬度，过点的子午面与初始子午面的夹角称为点的大地经度，地面点的这三个大地坐标不能直接观测出来，它们与参考椭球的参数有关；当参考椭球的参数选定并在地球内部定位后，地面点的大地高程、大地经度和大地纬度，可以根据可直接观测的地面点的正高、天文经度、天文纬度计算出来。5.2 扰动位，大地水准面的高度和垂线偏差地面上某点重力矢量方向与该点正常重力方向之间的夹角称为该点的垂线偏差；地球在空间任一点的重力位与正常场地球模型在该点产生的重力位的差称为地球在该点的

6、扰动位，即地球与正常场地球模型的密度分布上的差异一方面产生扰动位，另一方面使得大地水准面相对参考椭球面发生起伏，同时产生垂线偏差。这样，扰动位、大地水准面的起伏、垂线偏差都来源于地球与正常场地球模型内部密度的分布不同。如图所示，根据大地高程的定义，点的大地高程等于点的正高和点至参考椭球面的距离的和，即点至大地水准面的高度与点的扰动位有关；事实上，大地水准面上点的扰动位等于大地水准面上的重力位等于正常重力位，即，考虑到位于旋转椭球面上，因而有将上式代入（）式，有（）式表明，大地水准面上点的扰动位实际上等于、两点的正常重力位的差；根据（）式，至参考椭球面的距离为其中为的正常重力，（）式称为布隆斯（

7、Brunes）公式。如图所示，由于扰动位的存在，大地水准面上的重力矢量与正常重力矢量不重合，大地水准面上点重力矢量与正常重力矢量之间的夹角称为点的垂线偏差，即垂线偏差是一个矢量，它有偏差方向和大小。用、分别表示它的南北分量和东西分量，并约定地球的重力矢量的方向在正常重力矢量方向的西南方时，即当点的天文天顶在它的大地天顶东北时，出现偏差的南北分量和东西分量为正。图为点的地面天球，为它的北天极，、分别为它的天文天顶和大地天顶，则点的垂线偏差等于。考虑到天文纬度、大地纬度分别等于天文天顶和大地天顶到天赤道的距离，并且天文经度、大地经度分别为点的天文子午圈、大地子午圈与初始子午圈的缴交，根据球面三角形

8、，有如图所示，用表示地面上点在大地水准面上的投影，为原点选在点的局部直角坐标系，轴垂直向下沿着点的正常重力方向，沿着点的大地子午圈向北，向东；根据扰动位的定义（）式，点的重力位等于正常点的正常重力位与地球的扰动位的和，在所选定局部直角坐标系内，点的重力矢量为考虑到因而有根据垂线偏差矢量的定义（）式以及（）式，有其中，为点垂线偏差的南北分量向南为正，为点垂线偏差的东西分量向西为正。5.3 混合重力异常如图所示，地面上任一点的重力值可以观测出来，通过适当的换算，可以根据地面点的重力观测值计算出与其点相对应的大地水准面上点的重力，假定为过点的正常重力矢量方向，为与参考椭球面的交点，则点的重力与点的正

9、常重力之差称为的混合重力异常，即点的正常重力可以根据正常重力公式计算出来，因而原则上可以认为大地水准面上的混合重力异常式已知的。考虑到其中为点重力矢量方向，为点的正常重力矢量方向。与、之间的夹角约为参考椭球的扁率量级，准确至参考椭球扁率量级，可以把（）式写成：将（）式代入混合重力异常表达式（）式，得根据（）式以及（）式，准确至参考椭球扁率量级其中为参考椭球的平均半径。将（）式代入（）式，并将其写成：（）式、（）式给出了大地水准面的高度、垂线偏差与扰动位的关系，所以若能根据大地水准而上的已知的混合重力异常计算出扰动位、则能根据上述二式计算出大地水准面的高度和垂线偏差。正常场地球模型的极轴与地球的

10、旋转轴重合，并且它们的旋转角速度也相同、因而地球的离心力位与正常场地球模型的离心力位相同。所以地球的扰动位等于地球的引力位和正常场地球模型的引力位的差，因此扰动促在大地水准面上及其外部空间满足拉普拉斯方程。要想根据在大地水准面上给定的混合重力异常计算出扰动位，问题就归结为解扰动位的拉普拉斯方程，使其满足给定的边界条件（）式，即5.4 大地水准面的高度，斯托克斯公式为了便于计算，斯托克斯对（）式中的边界做了简化，把大地水准面边界简化为半径等于地球平均半径的球面，这样，（）式变为其中，为半径等于的球面，此时，由于这种边界条件的简化，解满足（）式求得的扰动位，其误差约为地球扁率的量级。将半径为的球面

11、上的扰动位展成球面函数，有其中为阶球面函数，因为地球的质量等于正常场地球模型的质量，并且坐标原点选在地球的质心，所以（）式中从2开始，根据（）式，地球外的扰动位为将（）式代入（）式中的边界条件，得将球面上给定的混合重力异常展成球面函数，根据（）式，有将（）式代入（）式，得将（）式代入（）式，得用表示称为广义斯托克斯函数。将（）式代入（）式，得如图所示，令，根据勒让德多项式的生成函数（）式，有将广义斯托克斯函数（）式写成根据（）式，有而根据（）式，有考虑到将（）式代入（）式右侧的积分，得考虑到将上式代入（）式，得将（）式、（）式代入（）式，得出广义斯托克斯函数，它等于当，即当时，在半径为的球面上

12、，有考虑到当时，有将（）式代入（）式，得出球面上的斯托克斯函数，即球面上的斯托克斯函数的数值如表所示。将（）式代入（）式，得出根据球面上混合重力异常计算球面上的扰动位的关系式，即将（）式代入布隆斯公式（）式，得出根据球面上的混合重力异常求大地水准面高度的公式，即为地球的平均正常重力，（）式称为计算大地水准面高度的斯托克斯公式。该式表明，球面上任一点的大地水准面的高度等于全球面上的混合重力异常与斯托克斯函数乘积在全球面上的积分，也就是说，要想根据斯托克斯公式（）计算球面上任一点大地水准面的高度，需要知道全球面上的混合重力异常。5.5 温宁.曼乃兹（Vening Meinesz）垂线偏差公式根据大地水准面上任一点的垂线偏差南北分量和东西分量与扰动位之间的关系式（）式，有其中，为地球的平均重力，、为以为坐标原点的局部直角坐标系的两个水平坐标，轴垂直向下沿着点的正常重力方向，轴向北，轴向东，在根据混合重力异常计算扰动位时，为了便于计算，把边界简化为半径为的球面，在按照（）式计算垂线