2017年上海春考数学试卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合,集合,则.2.不等式的解集为。3.若复数满足（是虚数单位），则。4.若，则。5.若关于、的方程组无解，则实数。6.若等差数列的前项的和为，则=。7.若、是圆上的动点，则的最大值为。8.已知数列的通项公式，则。9.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。11.设为的一个排列，则满足的不同排列

2、的个数为。12.设，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为。二、选择题13.函数的单调递增区间是（）。(A)(B)(C)(D)14.设，“”是“”的（）。(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A)三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形16.如图所示，正八边形的边长为.若为该正八边形上的动点，则的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)三、解答题17.如图，长方体中，,.（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.18.设

3、,函数.（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围.19.某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：米），要求圆与、分别相切于点、，圆与、分别相切于点、.（1）若，圆和圆的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。如何设计圆、的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）。20.已知双曲线：（），直线：（），与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点.（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若，点的坐标为，且，求的值；（3）若，求关于的表达式。21.已知函数（1）解方程；（2）设，证

4、明：且;（3）设数列中，,求的取值范围，使得对任意成立.2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合,集合,则.【知识点】集合的运算【解】，故.2.不等式的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】，故原不等式的解集为。3.若复数满足（是虚数单位），则。【知识点】复数的基本概念、运算【解】，故。4.若，则。【知识点】诱导公式【解】，故.5.若关于、的方程组无解，则实数。【知识点】线性方程组解的判定【解】方程组无解直线：与直线：互相平行，所以，解得。6.若等差数列

5、的前项的和为，则=。【知识点】等差数列的前项和，等差中项【解】由得，所以，故.7.若、是圆上的动点，则的最大值为。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由得，所以半径，故的最大值为2.8.已知数列的通项公式，则。【知识点】等比数列的前项和，数列极限【解】由得首项，公比，所以，故9.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。【知识点】二项式定理【解】令，则，解得；所以展开式的通项令，则,故所求的常数项为160.10.设椭圆的左、右焦点分别为、，点在该椭圆上，则使得是等腰三角形的点的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想【解】由得，所以，故且.（1）若点位于椭

6、圆的短轴的端点处，是等腰三角形，此时点有两个；（2）若点在椭圆上，则；.，所以,故以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；同理以为两腰、为底边构成等腰三角形，此时点有两个；综上（1）（2）满足条件的点的个数为6个。11.设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】根据题意可知，若；，且，则即的最小值为1，当时，只有，所以在与中选出一个，在与中选出一个，在与中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的总数为.12.设，函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为。【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质【解】方法1令函数在区间上有两个不同的零点分别为、,且

7、，所以、，故、（*）令，则，即（）（*）故、是（*）的解，所以于是由（*）可知，即。方法2由于函数在区间上有两个不同的零点，则必有。且，即，此时（当且仅当时，等号成立）令，即记，则函数在区间上与函数的图像有两个不同的交点。由于，再令得（1）若，则，则可行域为，其端点分别为、。所以当或时，；当时，。此时；（2）若，则，则，即，所以，此时；（3）若，则，则，可行域为其端点分别为、当时，；当时，；当时，.此时，；综上（1）（2）（3）可得，即的取值范围是.方法3令，则故“函数在区间上有两个不同的零点”等价于“关于的方程在区间上有两个不同的根。”记，对称轴为，则其图像在区间上与轴有两个不同的交点，需满

8、足条件：可行域端点为、，故当或时，；当时，所以，即的取值范围是.方法4要使得函数在区间上有两个不同的零点，必有，否则不成立。还需满足如下条件：，以下解法同上。二、选择题13.函数的单调递增区间是（）。(A)(B)(C)(D)【知识点】函数的单调性【解】函数图像的对称轴为直线，且该抛物线的开口向上，所以该函数的单调递增区间为，故正确选项为B.14.设，“”是“”的（）。(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【知识点】分式不等式的解法，充要条件【解】,所以是成立的充要条件.故正确选项为C.15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体

9、所得的截面中，不可能的图形是（）。(A)三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形【知识点】平面的性质、截面【解】不可能是三角形，故正确选项为A16.如图所示，正八边形的边长为.若为该正八边形上的动点，则的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)【知识点】平面向量的数量积【解】，当点在处，取最小值，此时；当点在处，取最大值，.所以的取值范围是，故正确答案为B三、解答题17.如图，长方体中，,.（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【知识点】椎体的体积，异面直线所成的角【解】（1）四棱锥的底面为正方形,其面积;由于底面,所以是四棱锥的高，故，于是.（2）由于,所以或其补

10、角即为异面直线与所成角。在三角形中，,由余弦定理可得，,所以，即，故异面直线与所成角的大小为.18.设,函数.（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围.【知识点】函数的奇偶性，指数函数的性质，分类讨论思想【解】（1）函数的定义域为R，由于为奇函数，所以对于任意实数,均有成立即对于任意实数都成立,所以于是,即,所以.（2），由于，故若，则，不等式恒成立；若，则，因为，所以，解得；若，则，此时不等式不是恒成立。综上所述，实数的取值范围是。19.某景区欲建造两条圆形观景步道、（宽度忽略不计），如图所示，已知，（单位：米），要求圆与、分别相切于点、，圆与、分别相切于点、.（1）若，

11、求圆和圆的半径（结果精确到0.1米）；（2）若观景步道与的造价分别为每米千元与每米千元。如何设计圆、的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）。【知识点】三角比，建立函数关系式，基本不等式【解】（1）已知，得圆的半径为（米）。又,得圆的半径为（米）。（2）设圆和圆的半径分别为和，由于,得，故，因此，观景步道的总造价为（千元）当且仅当时等号成立，此时半径答：当观景步道和的半径分别设计为米和米时，总造价最低，且最低总造价约为千元。20.已知双曲线：（），直线：（），与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点.（1）若点是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若，点的坐标为，且，求的值；（3）若，求关于的表达式。【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质，直线与双曲线的位置关系【解】（1）根据已知条件，可得，所以,故的方程为，其渐近线方程为.（2）当时，的方程为，点设，由得，解得又由点在上，解得，故直线的斜率.（3）当时，直线的方程为，设由得，由已知可得，且所以（*），又，故直线的方程为由点在直线上，得（*）将（*）代入（*）得，即.21.已知函数（1）解方程；（2）设，证明：且;（3）设数列中，,求的取值范围，使得对任意成立.【知识点】对数方程的解法，对数函数的性质，分类讨论的思想【解】（1）由得，所以，解得，经