2完全平方数答案

1、完全平方数完全平方数是数论中较为常见的一类问题，经常出现在各种数学竞赛中. 在解决完全平方数的有关问题时，需要用到完全平方数的性质及整数的有关知 识， 比如：(1) 完全平方数 “2的个位数字只能是 0、1、4、5、6、 9；(2) “2的十位数字为奇数，当且仅当川的个数字是 6；(3 ) n2的个位数字为5则n2的十位数字为2.上述特征可概括为：完全平方数的未两个数只能是福 6、画、画、 裤、25.記之一 .从上面的性质我们还不难分析出，完全平方数的下列性质：(4) 形如322、4k + 2、4k+ 3 (keZ)的数不是完全平方数；2(5) 设p为质数，a是完全平方数，若pa ,则p a.

2、1利用完全平方的特征例1?求最小的正整数”，使得n3+2n2是一个奇数的完全平方数.解：由n3+2n2 =n2(n+2)为奇数，可知"为奇数.要使nn + 2)为完全平方数，则 n + 2 为完全平方数，所以最小的整数 n = 7.例 2. 设"是一个正整数， A 是一个 2“位数, 且每个数位上的数字均为 4, B 是一个 "位数，且每个数位上的数字均为 &证明： A + 2B + 4 是一个完全平方数 . ( 第七届巴尔干地区数学奥林匹克 )42证明：注意到A = -(102,-l) , B= |(io,-1),故 A + 2B + 42;,= -(1

3、02;, -1) + 2/,(10" -1) + 4 = -x 102/, + x 10" + 2><10，； +4 2 = ( )9 99 9 93因为3|(2xlOn+4),所以，A + 2B + 4是一个完全平方数.2 引入参数例 3. 设 m、 "是正整数，且满足 2001m2 + m2 = 2002/72 + n证明：由已知得 m>n,设m = n + k(k e N).则式化为rv 4002加一 200W k = 0 ,即(" 一 2001幻$ = (2001幻$ +2001/+ =紅 2001 x 2002k +1).因为

4、伙, 2001 x 2002k + 1) = 1,所以 k 和 2001 x 2002点+1均为完全平方数 . 故加-”是一个完全平方数 .例 4. 求所有的正整数对 (m,n), 使得 m2 -4n 和?？一 4加均为完全平方数解：由对称性，不妨设 m, n.(1 )若 “ Z”7 -1,则"2 47% .开一 4" + 4 = ("-2)2.又"2 一 4加”(“-1)2 = “2 2"+ 1 ,且其等号不成立，则n2 4m = (n 2) 2 => “ =加 +1.故一3n =( 777 2)2 8 = /2(/ e N).因为&q

5、uot;Z + / 2与m t 2的奇彳禺'性木目同，且m +1 2 > m t 2 ,所以,m +1 2 = 4, 加-/ +2 = 2.解得加=5 , n = 6是满足条件的一组解.若"2 = “，则肿一 4 “ =加一 2尸一 4 =尸(/ w N).同上，解得"2 =“ = 4.综上，所有满足条件的正整数对 (" n) = (4,4), (5,6), (6,5). 评注：此题利用完全平方数的性质进行适当放缩，分类讨论，再引入参数通过 联立方程组进行求解 .例 5?求所有的正整数”，使得“ + 36是一个完全平方数，且除了 2或 3以 外，n没

6、有其他的质因数.(2007年湖北省高中数学)解：设"+ 36 =(尢 +6)2，其中 x&N,则 n = x(x+12).'x = 2 | .°中依题意，可设_/,其中ggb血均为非负整数，于是2": .3 勾-T' -3*' =12(1)如果a=a2=0,则3%-3%=12,这是不可能的.所以即勺中至少有一个大 于0, 于是 x 和 x + 12均为偶数，从而冬均为正整数 .若a2 =1,则2-3A =12 + 2 a' -3 b',显然只可能a, =1(否则左右两边被4除的余数不相同)，此时 3%=6 + 3”，

7、显然只能是 Z>2=2,Z>=1, 此时 x = 6,n =108.若?2 .2,则x + 12是4的倍数，从而x也是4的倍数，故q.2,此时( 2)显然 *2? 2 中至少有一个应为 0(否则( 2)式左右两边奇偶性不相 同).当 022 = 0，即 a2=2 时， 3%2“2? 3勺=( 3)此时q-2>0 (否则等式左右两边奇偶性不相同)，故 b2 >b若 Q.2, 则( 3)式左边是 9 的倍数，而右边为 3,矛盾，故只可能也=1,从而( 3)式即 3" 日2 心=1,它只有两组解和為 1 = 1, b 2 1 = 2,a = 5丄 3'此时，

8、对应的俺分别为 24和 96,相应的俺分别为 864和 gax3,= 2,(4)此时显然 a2-2 >0 (否则等式左右两边奇偶性不相同)，故b2 ,bx.(2)当 q2 = 0，即 q=2 时， 2"一 3% 3人=若 b2 .2,则( 4)式左边是 9的倍数，而右边是 3,无解. 故 Z?2<1.若 b2 = 0, 则 2C，a2 =若 b2 =1,4则, ( 4)日=1, A= 2,2_2 一 3"式即 2"此时，= 3 ,只可能勺 =0 ,此时 a2 4, x 4, n 64.23° 它只有两组解 ：二， 和 2,2A=-<i=

9、i ，对应的 x 值分别为 12 和 36,相应的 "值分别为 288和 1728.因此，符合条件的 "值有 6个，分别为 64, 108, 288, 864, 1728, 10368.评注：此题通过引入适当的参数，从特殊情形出发，分类讨论，从而解决问题3反证法例6.设正整数d不等于2、5、13.证明：在集合 2,5,13,中可以找到两 个不同的元素 a、 b , 使得 ab-1 不是完全平方数 .(第 27届 IMO 试题)证明：注意到 2x5-1 = 32, 2x13-1 = 52 , 5x13-1 = *.于是只需证明 2 -1、 5d-1、 13d-1 中至少有一个

10、不是完全平方数即可 .否则，假设x、y、zwN+,使得2d-1"5 -1 “13<7 1 = z2 由式 e 知兀为奇数，设则 2d-l = (2k + l)2 =4/+4k + l.故 d = 2k+2k + , 这说明 d 为奇数.由式0、?知 y、z均为偶数，令y = 2"z、z - 2n(m,neN+)代入0、？并相减，得2d = rr m2 (ji + m)(n m).由于 2d 为偶数，故加、 "的奇偶性相同 .从而，(n + m)(n - m) 是4的倍数，即d为偶数，矛盾！因此，所证结论成立 . 评注:反证法是证明此类问题的一种常规方法 .练

11、习题1?使得 3"+81 是完全平方数的正整数“有()A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个(2007年湖北高中数学联赛 )1. 解：当n<4时，易知3"+81不是完全平方数？故设n = k + 4,其中E为正 存在正 整数x,使得3*+1 =兀2,即3* = x?-1 = (x + l)(x 1),故x+l,x I都是3 的方幕.又两个数x + l,x-l 相差2,所以只可能是3和1,从而x = 2,k = I.因此，存在唯 一的正整数n = k + 4 = 5, 使得3"+81为完全平方数.故选(B).2. 设 an =n2+n + 2(/7

12、= 1,2, )?则在数列”中()A.有无穷多个质数B.有无穷多个平方数C.有且只有有限多个质数 D.有且只有有限多个平方数(2006年江苏省高中数学竞赛)2.解：因为a” = ” 2+=：瓜-"+1)+2，故2an,且an >2.所以，a” 一定是合数.从而排除选项A、B,又因为".2时，“2 <“2+ “ + 2<2“ + 1 = (“ 故+ 1只)2,有当时，是完全平方数3?集合 1!,2!, ,24!中删去一个元素 后，余下的元素之积恰好是完全平方数.(2006年江苏省高中数学竞赛 )3 .解：由于(2炕! = (2幻(21)!,乘积可化为24X(

13、23!)2X22X(21!)2XX4 X(3!) 2 X2 = 26X(23!) X(21!) XX(3!) 2 X(12!).故删去的数为 12!.4 .若6" +2" +2(加，” w N)是一个完全平方数，则所有可能的(m,n) = .(2005安微省高中数学竞赛 )4 . 解：当 H.2 时，有 6"'+2"+2 = 2(3x6"' “+2"“显+然1),不是完全平 方数. 下面 讨论加” 1或"”1的情况.当加=0 时,6"'+2"+2 = 2"+3,由于 H.

14、2 时，2"+3 三 3(mod4)所以 2"+3 不 可能 是完全平方数 ?故或 1 ,此时有解 (m,zz) = (0,0).当也=1时， 6"'+2"+2 = 2 “ + 由8,于加. 4时， 2"+8 = 8(2 心+1)不可能是完全 平 方数，故 n = 0, 1 , 2 ,或 3 易知(" “) = (1,0),(1,3).当 n = 0,l 时，同理可得 (%") = (0,0), (1,0).5 . 证明：不存在正整数 " ，使得 2/+1、3/+1、 6/r+l 均为完全平方数 .(200

15、4 年日本数学竞赛 )5. 证明：假设 2/+1、3/r+K 6/r+l 均为完全平方数 .则 36/(6/ +1)(3/ +1)(2/ +1)= (36?4 +18/ +1)2 -1 为完全平方数 , 矛盾 !6.求证：不存在正整数a、b,使得/+/,及a + F都是完全平方数.6?分析：欲证一个数不是完全平方数，只需证明其介于两个连续的完全平方数之 间即可?即欲证“不是完全平方数，只须证 a2<n<(n + l) 2.证明：女口果 a.b>0则 a? <a?+Z?' a?+a(a + 1)1这说明a2+b不是完全平方数；女口果 b> aO, Ab-&l

16、t;a+b- , b + b<(b + l),这说明a + F不是完全平方数.所以，不论a、b的大小关系如何，a2+b及a +夕至少有一个不是完全平方 数，命题得证 .结论是两个都不能同时都为完全平方数，但其中之一是可以的，例如 ? = 3, b = 40时，a2 +b是完全平方数.同样的办法可证a2 + 2b与2a+ b2也不可能为完 全 平方数 .7 .已知正整数数列 a”满足aQ=m,a” =a+487.试确定加的值，使 a”中完 全平方数的个数最大 .7 .解：显然m三0, 1,2, 3(mod4),下面依次讨论.若 m=0(mod4),那么 q 三 m +487 =487=3(

17、mod4),a三 a： +487 三(一 1)'+487 三 2(mod4), a?三 a； +487 三 3(mod4),这样易得吗三2(mod4),，这样依次循环.而完全平方数对4取模应余0或1,这样 a”中至多只有一个完全平方数 (兔).若 m=l(mod4),那么易知 ai =0(mod4),色三 3(mod4), a,=2(mod4), s&=3(mod4),此时至多有 2个完全平方数 (勺和 q).同样的分析，若m三2或3(mod4),那么 a”中不可能有完全平方数.由上知a”中至多有2个完全平方数，且只可能为勺和q，下面求m的值使和 再都为完全平方数 .设 a()

18、 =m=k2,那么设 ax = nr 1 + 487 = kw + 487 = n2, .'.81= n 2 -k i0 =(n k5)(n+k 5).注意到487是质数，那么n-k5 =1,解得k=3, .*.m=9.经检验，m=9时 兔和 均为完全平方数， .?. 所求加即为 9.8 .求所有正整数组 (a,b,p,ri), 使得 p 为素数，且 a3+b3 = p n.8.解：a'+b3 (a + ba +b -ab) - p n,显然 a + b>l,那么 p|a + b.33假女口 p = 3 , 那么 a3 +b3 = (a + Z?)(a2+b ab) 3&

19、quot;.设 a2+b2-ab = y,如果 7” 当心 0 时，a2+b2-ab = l,那么l = a +b 2 ab. .ab , 所以 a = b = 1, 得 3" = 2,矛盾！当7 = 1时，3 - a2 +b -ab. .ab , 所以a、0中至少有一个为1，又3 a + b , 所以，另一个为 2.此时 3" =9,所以 n = 2, 由此得到两组解 (1,2,3,2), (2,1,3,2).女口果"”2,易矢口 "工 0,当”时，(a+b)(cr +b 2 -ab)-3 , 那么 a + b = 3,a? + cib = 1. .c

20、ib , 矛盾!当 “ =2 时，jhkBt a3+b3 = (a + bAa 2 +b2 -ab) -32, AVXa + b = a 2+b2-ab = 3 ,得 a, 0中一个为 1,另一个为 2 . 即得先前求得的两组解 (1,2,3,2), (2,1,3,2). 即当 i ”1 或“.2时,有两组解 (1,2,3,2), (2,1,3,2).如果 7.2 (即 a2 +b2 -ab .9) 且 n .3, 那么 3a+b , 且321 a2 +b2 -ab = (a+b) 2-3ab,所以 323ab,即 3ab,所以 3|a 且 3|b从而(歹+(?=? + £) 爭+

21、($送?餌 31此时仍有(尹+(孑一罟9且H-3.3，重复上述步骤，重复k次以后，得(訝+)(栄+导)( 訝+(知一十却导眾此时有(#)2+(#)2 一#*” 3 或"一 3£”女2,口上分析有 # = 1, # = 2，" 2 或 zv h厂 2,厂,n-3k = 2,即(a, b, p, n) = (3 2 x 3 3,3k + 2)或(2x333,3A + 2)伙e N).这里(1,2,3,2)与(2丄3,2)这两组解也可概括进来.经检验(3',2x3“ ,3,3k +与(2x3',3',3,3k + 2)均是原方程的解.假女口卩鼻

22、3.如果, ， 2,易矢口主 0,当 =1时?+/? 3 =( 。+方)(/+ 戻一=所 AXa2 +b2-ab = l.ab , a+b=p, a=b=l, p=2,此时得到一组解(1,1,2,1).1 1 2女口果 =2，此时/+Z?3=(q+Z?)(q2+ 戾 一。/?) =/,? *. a + b-p , a +b -ab = lA2# = 0+/? = /+戻-oZ?若是前者贝！ J a=b=l, p = 2 ,矛盾！故 p-a+b-a 2 -A-b 2 -ab. .ab , .I a .b(a-l).若a , b都不小于2,那么aAbAa-V) 2( °),得o, 2,a

23、=2,那么夕+4-2b = Z? + 2,得b = l或2.所以p = 3或4,矛盾！.?.Q方至少有个为1,当。=1时，夕+1-/? = /? + 1解得b = 2，同理Z?=l时°2，此 时p=3,矛盾！综上 2时有一组解 (1,1,2,1).如果".3,那么(-) 3+(-) 3 此时若仍有则继续重复， k 次后P P片 +4=严：设此时恰好使 n 3k,2, 如上分析，此时 4 = 4 = 1>p = 2 , n-3k = 1, 得 a=b=2* ,p=2,n=3k+l,即(a Q)/毋左 k k k+ (k w N), (1,1,2,1)也可归纳进去，经检验

24、 (2*,2*,2,3k + l)("N) 是原方程的解 综上所述，(a,b, p,ri) =(3* ,2x3*322)或(2x3*,3* ,3,3k+ 2)或(2*,2*,2,3k + l) (kwN).9 .确定是否存在一个正整数 n, n 无平方因子，恰好被 201 1个不同的质数整除 , 而且 2"+1 被"整除.9 ?假设存在这样的 " ，因为"无平方因子且恰好被 201 1个不同的质数整除，可设？ = A A 102011这里卩1、卩2、P'为互不相同的奇质数（显然"为奇数）且卩 < 卩2 <?<&?因为” |2"