离散时间信号与离散时间系统

1、§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。离散时间系统：处理离散时间信号的系统。混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：连续信号离散信号数字信号取样量化三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<f(kT)，其中k为序号，相当于时间。例如：2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如：f(k)=1,0.5,0.25,0.125, 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，

2、可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：下图表示了的波形。这个函数与连续时间信号中的冲激函数相似，也有着与其相似的性质。例如：，。2、 单位阶跃函数：这个函数与连续时间信号中的阶跃函数相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。3、 单边指数序列：(a) (d) (b) (e) (c) (f) 比较：单边连续指数信号：，其底一定大于零，不会出现负数。4、 单边正弦序列：双边正弦序列：五、 离散信号的运算1、 加法：<相同的k对应的数相加。2、 乘法：3、 标

3、量乘法：4、 移序：当n>0时，信号向右移（后移）>称为减序；当n<0时，信号向左移（前移）>称为增序。离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。六、 线性移不变离散时间系统1、 线性离散时间系统系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。2、 移不变离散时间系统 系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 3、 线性移不变离散时间系统同时满足线性和移不变性的系统。 七、 离散时间系统的描述方法：见§7-3。§7-2 抽样信号与抽样定理离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离

4、散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：1） 怎样进行抽样？2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？一、 抽样器及其数学模型抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，其中的开关函数为：当时，开关函数近似为：可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即：这样，抽样以后的信号为： 显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。二、 抽样定理显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失

5、信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？1、 抽样信号的频谱：其中，称为抽样（角）频率；T称为抽样（取样）周期。可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱，抽样频率，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为、增益为T的ILPF，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:则这个定理称为Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。能够完全不失真

6、地还原信号所需要的最小的抽样频率称为Nyquist抽样频率，或Shannon抽样频率。（a） 原信号 (b) 原信号的频谱（c）单位冲激序列 （d）单位冲激序列的频谱（）(e) (f) 的频谱l 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相反：首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。l 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结果不变。l 恢复信号时，ILPF是不可能实现的，只能用其它的LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一般取的35倍。抽样信号经过非理想低通滤波器l 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquis

7、t抽样定理还可以做适当修改。l 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。l 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信号，从而可以用数字信号处理系统进行处理，达到模拟信号处理无法达到的效果。e(t)r(t)A/D转换DSP处理D/A转换LPF滤波§7-3 离散时间系统的描述离散时间系统的描述方法有三种：1） 数学模型>差分方程2） 物理模型>框图3） 系统函数>Z.T.，在第八章中介绍。一、 数学模型离散时间系统处理的信号是离散信号，信号只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用

8、差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。例731例73-1 著名的斐波纳奇（Fibonacci）数列问题。假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会发生死亡。在最初一个月内有一对大兔子，问第n个月时一共有几对兔子。这里，每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。解：这里，我们用表示第个月兔子的对数。显然，第个月兔子无论大小，在第个月都会是大兔子，从而在第个月中生出个小兔子；同时，因为假设兔子不会死亡，第月的对兔子在第月中依然存在，使第月中大兔子的个数为。而第月中兔子的总个数等于大兔子对数与小兔子对数之和，由此可以得到方程：

9、这就是斐波纳奇（Fibonacci）数列问题的差分方程。与微分方程一样，对于差分方程，我们一般将其中的未知的函数或序列放在方程等式的左边，而将激励函数或数列等放在等式的右边。所以，可以将上式表示成：l 差分方程与微分方程一样，也必须有初始条件。如果已知y(0),则可以得到差分方程的解：,l 差分方程也可以加激励：假设k年从外地引入x(k)个人，则：。例732例732 一个空运控制系统，它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度，另外用一雷达于以上计算同时对此飞机实测一次高度，把应有高度与一秒钟前的实测高度相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正

10、比于此差值，即米秒。求该问题的差分方程。解：从第k-1秒到第k秒这1秒钟内飞机升高为 经整理即得这就是表示控制信号与响应信号之间关系的差分方程，它描写了这个离散时间（每隔1秒钟计算和实测一次）的空运控制系统的工作。差分方程的一般形式：l 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微分计算变成了移序计算；l 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最大移序与最小移序之差；l 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个数必须等于差分方程的阶数；l 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系统可以用一个常系数差分方程描述。l 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程求近

11、似数值解。例733例733 一RC电路如图a)所示，若于输入端加一离散的抽样信号e(t)，如图 b)所示，现在要求写出描写此系统工作时每隔时间T输出电压与输入信号间的关系的差分方程。a) b)解：图 (b)所示的抽样信号是一有始函数，它可以表示为如下冲激序列之和 现在来考察该电路在时的输出响应。当t由小于kT趋于kT而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。 由该时刻开始即tkT时的电容电压零输入分量显然应为 又可知此电路的冲激响应是 用在这里，则可得：当t=kT第k个冲激加于电路后即时，电容电压的零状态分量应为 于是得t>kT后总输出电压为 当t=kT时，上式成为 经整理，并将记为

12、一般形式，即得 这就是描述输出离散电压与输入抽样电压间关系的差分方程。例734例734 图所示一电阻的梯形网络，其中每一串臂电阻值同为R，每一并臂电阻值同为另一值，为某一正实数。所以这网络是一重复的梯形结构。该网络各个节点对公共节点的电压为，分别为0、l、2、n。试写出这个系统的差分方程， 电阻的重复T形网络解：把系统中第个节点的电流关系特别画出如图所示。由图显然可见，；同时，根据图中电压电流的简单关系，此式即可写成 再经整理，即得该系统的差分方程二、物理模型与连续时间系统一样，离散时间系统也可以用框图的形式描述。1、 基本运算单元离散时间系统框图的基本运算单元有加法器、标量乘法器和延时（移序

13、）器构成。 (a)初始条件为零 (b)初始条件不为零延时器2、 离散时间系统框图的构成离散时间系统框图构成与连续时间系统很相似，只不过将其中的积分器变成延时（移序）器。离散时间系统的初始状态可以包含在延时（移序）器中。一阶离散时间系统的模拟框图n阶离散时间系统模拟框图例735 一离散时间系统由以下差分方程描写 试作出此系统的模拟框图。 解 辅助函数，就可看出 由此两式，读者可以很容易地自行证明，它们合起来等效于所给的差分方程。 对于本题的简单方程，可令kn-1，于是原方程成为 如y(k)为无限序列，k和n均为由-到的自然数，把此式中的n改为k，此式仍可成立。如y(k)为有限序列，则只要考虑到序

14、列的起迄处有序数1的差别，上式中把n改成k亦可成立。于是有 如果另有一个系统的方程为 则读者可以自行证明，与此式相对应的模拟框图的结构仍同上图，但是要由第一个延时器之前引出,如图中虚线所示。§7-4 离散时间系统的零输入响应离散差分方程的解法：1） 时域经典法 与微分方程一样，将解分为通解（齐次解）和特解两部分。首先确定形式解，再代入初始条件（或边界条件），确定其中的待定系数。优点：物理概念清晰，可以一次得到全部解；缺点：特解有时很难求，不实用。2） 近代时域法：将解分为零输入响应和零状态响应两部分。对零输入响应仍然用时域经典法；零状态响应用卷积和求解。这种方法是求解差分方程的主要方

15、法；3） 变换域解法：Z变换（ Z.T.），相当于连续时间系统中的L.T.变换法。在第八章中介绍。4） 数值解法：利用前向预测形式的差分方程，通过迭代计算的方法，得到数值解。这种方法用计算机求解比较方便，但是无法得到通式。例如：对于Fibonacci问题，有差分方程：y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0；è y(k+2)= y(k+1)+y(k)；è y(k)= y(k-1)+y(k-2)；现在已知：y(0)=0,y(1)=1,则可以得到：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,y(6)=8, 本章重点介绍近代时域法。 首先，在本节中介绍近代时域法中零

16、输入响应的求法，或齐次差分方程的求解方法。一、 差分方程的算子表示法为了记录方便，引入移位算子S：则可以将一般的差分方程记为： 或：其中：二、零输入响应的求法零输入响应对应于齐次差分方程：或：1、一阶系统>假设：已知，则：；² 分析上面的结论，其中的可以定义为系统的特征方程的特征根，相应的解中就有了。结合在求解微分方程中的一些结论，可以分析出求解差分方程的零输入响应的基本思路，猜想它应该有下面的形式：其中为差分方程的特征根。2、n阶系统与微分方程求解方法相似，也分为以下几部：（1） 求特征方程即H(S)的分母多项式D(S)=0根（特征根）、；（2） 根据D(S)=0的根，确定r

17、(k)的形式解：a、 假设D(S)=0没有重根，则其形式解为： b、 假设D(S)=0有重根，假设是一个m重根，则形式解为： 其余情况以此类推。（3） 带入初始条件，确定待定系数。对于一般差分方程，初始条件为。将它带入形式解中，可以得到n元一次线性方程组：由此不难确定待定系数。例741例741 试求斐波纳奇数列的解。解：斐波纳奇数列所满足的差分方程在这个方程中，不存在激励，所以它的解中只有零输入响应部分。利用移序算子，将上面的方程记为：从而得到特征方程其特征根为。由此得到将初始条件y(1)=1,y(2)=1代入，可以得到：解此联立方程，可以得到，于是斐波纳奇数列的解的通式为：三、 特征根与系统

18、稳定性在离散系统信号处理中，同样需要满足稳定性条件。系统的响应不应该随着而趋向无穷大，而应该是一个有限的值。所以，对于系统的零输入响应中的各个分量，都应该随而有限。1、 当时，（有重根时），系统稳定。2、 当时，1） 如果没有重根，系统临界稳定；2） 有重根时， ，系统不稳定。3、 当时，系统不稳定。是一个复数，可以在复平面上表示为一个点。复平面上每一个点都对应一个信号模式。系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心、半径为1的圆单位圆的内部，在单位圆上最多只能有单根。比较：连续时间系统的稳定条件。例742例742 有一离散时间系统，用下列差分方程描写 系统的初始条件为,。求该系统的零输入响应

19、。 解 该系统的差分方程的齐次式为 应用移序算子，此式可写成 或 算子方程 具有两个根，。故此系统的零输入响应为 把初始条件代入求系数、，有 解此联立式，得，。于是系统的零输入响应为 此解包含有一常数项和一底数大于1的乘幂，故系统是不稳定的。§7-5 离散时间系统的零状态响应的解法：1） 经典法：分通解和特解两部分分别求解。2） 时域卷积和法：类似于连续时间系统中的卷积积分方法。3） 变换域法：Z.T. ，类似于L.T.本节介绍卷积和法。一、 离散信号的时域分解 选用子信号单位函数，可以将离散时间信号分解为很多个单位函数之和：引入卷积和计算：则可以将上式简记为：二、 的求解假设线性移

20、不变系统对的响应（单位函数响应）是，则：对的响应是，<移不变 对的响应是，<齐次性响应是，<叠加性即：系统对激励信号的响应为：所以，如果知道系统的单位函数响应，通过卷积和计算，就可以得到系统对任意信号的响应。l 假设激励信号是一个有始信号，则上面的卷积和公式中的求和上下限可以简化为：l 如果系统是因果系统，则也是一个有始信号，则可以进一步简化：三、 卷积和1、 卷积和可以通过其定义求得。例：P30，表7-1：常用卷积和公式。2、 卷积和的数值解法1） 图解法：反褶、平移、相乘、叠加例：e(k)=2,1,5, h(k)=1,2,3 e(k): 2 1 5 h(k): 1 2 3

21、 h(-k):3 2 1>r(0)=2 h(1-k):3 2 1>r(1)=5 h(2-k): 3 2 1>r(2)=13 h(3-k): 3 2 1>r(3)=13 h(4-k): 3 2 1>r(4)=15 h(5-k): 3 2 1>r(5)=0 h(6-k): 3 2 1>r(6)=0所以，r(k)=2,5,13,13,15从此例可见，有限长序列的卷积和仍然是有限长序列。2） 多项式乘法 e(k): 2， 1， 5* h(k): 1， 2， 3 6， 3，15 4， 2，10 2， 1， 5 2， 5， 13，13，15 >r(k)3）

22、阵列法：21512 152421036315各对角线元素相加，可以得到结果。3、 卷积和的性质：卷积和有很多与卷积积分相似的性质。其中最重要的是移序特性（相当与卷积积分中的时移或微积分特性）：如果，则：四、 h(k)的求解方法：有四种：1)递推法（数值解法） 2）祘子法 3）初始条件法 4）系统函数法（ZT）这里仅介绍祘子法。1、 祘子法（部分分式分解）在离散系统中，同样可以利用转移祘子，通过部分分式分解的方法，将高阶系统分解为多个低阶系统之和，解出单位函数响应。其分解方法与连续时间系统中的部分分式分解法相似。这里同样要分几种情况讨论：1） 如果m<na、 如果特征方程没有重根，则：b、

23、 如果特征方程有重根，假设是l重根，则：2） 如果m=n，可以先通过长除，变成一个常数和真分式之和，然后再求解3） 当m>n时，系统为非因果系统。这里不予考虑。如果能够得到各个低阶子系统的单位函数响应，将其相加，就可以得到系统的单位函数响应。2、 子系统的单位函数响应1） 一阶离散系统：对应的差分方程：。a、 k<0时，r(k)=0 (因果系统，零状态)b、 k=0时，c、 k=1时，d、 k=2时，e、 k=3时，f、 k=4时，g、.通过数学归纳法，可以证明： 或记成： 同样可以证明：。这个结果似乎比上面的结果规范，但是它在做部分分式分解时必须在分子上凑S。2） 或：3） 的单

24、位函数响应为，或有了上面的结论就可以得到任意系统的单位函数响应。例 解的最终形式应该是：1） 形式上最简单；2） 有理分式的分子、分母多项式按降幂排列；3） 分母上不能有复数或无理数；4） 在实际系统中，激励、系统函数都为实数信号或函数，在响应中不可能有虚部。如果出现共扼复根，如何计算？P35，表7-2。 例751例751： 已知差分方程：r(k+2)-5r(k+1)+6r(k)=e(k+2)-3e(k)求h(k)。解：根据差分方程，可以用移序算子表示为： 例752例752： 一离散时间系统用以下差分方程描写 试求此系统的单位函数响应。 解 将所给差分方程用移序算子写成 此式的转移算子为 先用

25、长除法再用部分分式展开法，上述转移算子可写成 由公式，可得系统单位函数响应为五、 离散时间系统全响应的求解综合前面的§7-4的内容，可以求出离散时间系统全响应。例：系统转移函数：，激励，初始条件为：r(0)=2,r(1)=4。求全响应。关于初始条件r(0)、r(1)的讨论：初始条件r(0)、r(1)到底是什么？有多种解释：1） 它是系统在0、1时刻的值。这种解释符合实际应用条件。但是，其中r(0)和r(1)中必然包含零状态响应部分，所以不能直接用它求零输入响应。>应该将其中的零状态响应部分减去后再带入零输入响应。2） 直接是系统零输入响应部分的值，即和。这样求解简单了，但是在实

26、际情况下很难得到。3） 有的资料上给出的初始条件是r(-1),r(-2)等。这时候它一定属于零输入响应。例753： 一离散时间系统的转移算子为 此系统的初始条件是y(0)9，y(1)13.9。当系统输入为单位阶跃序列时，试求系统的响应。解: 如果这里系统的初始状态仅仅是指零输入响应部分在0、1时刻的值，可以按以前的方法分别求得系统的零输入和零状态响应，然后相加就可以得到全响应。但是，这里的初始状态是系统全响应的初始状态，其中也有零状态响应所产生的部分，所以无法用它直接求解系统的零输入响应。这时，只有先求出系统的零状态响应，然后将零状态响应在初始状态时的值从系统初始条件中减去，得到零输入条件下的初始状态，由此求出系统的零输入响应。 先求系统的零状态响应。为此，要先求系统的