空间几何(上篇)

1、 空解精要（简单部分） 序空间解析几何，是数学专业基础课中最容易的一个板块。无需像高代一样必须参透一切，也不需像数分一样必须无限刷题。一般说来，只需要上课听讲，完成作业，然后稍微复习一下，便可以得到90分以上的成绩。那接下来就来了解一下空解的精要部分。1. 向量的三积 （注：在这里联系一下高代里面的“线性相关性”部分） 1.内积 定义：内积也成为向量的数量积，任取向量a,b,内积的值为 ，它是一个数量。用符号表示。 若a=,b=,则 2.射影和射影向量 射影向量：一个向量在另一个向量上的正投影向量叫做射影向 量。 射影：射影向量的模就叫做射影。记为：。表 示在上的射影。 命题：1. 2. 3.

2、例题1：已知向量a与b的夹角为，计算 （1） ； （2）.2. 外积 定义：向量的外积也叫叉积或者向量积，它的积是一个向量。 a与b的外积记为，它的模是： ，它的方向与a和b都垂直，并且按 a，b，这一顺序成右手系。 外积不符合交换律。 由定义可知：两个向量共线的充要条件是外积为零向量。 如果a和b不共线，则的模表示以a，b为邻边的平行四 边形的面积。 若a=,b=，则 =，其中i.j,k是单位向量。 外积的运算律： 1.反交换律：= 2.数乘结合律：= 3.左右分配律：； . 于是，与a和b都垂直的向量可设为； 与a和b都垂直的单位向量可设为. 二重外积公式： 例题2：在直角坐标系中，已知，

3、求与a， b都垂直，且满足下列条件之一的向量c： （1）c为单位向量； （2），其中. 3.混合积 定义：两个向量的外积向量再与第三个向量的内积，叫做三 个向量的混合积。 若a=,b=，c=，则的值为 命题1：三个向量共面的充要条件是混合积为0. 命题2：若a，b，c不共面，那么a，b，c的混合积表示以 a，b，c为邻棱的平行六面体的体积。 命题3：轮换混合积的3个因子，不改变它的值，而对调任 何2个因子，都要改变符号。 如：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,b,a)=-(b,a,c)=-(c,b,a) =-(a,c,b) 例题3：证明：如果，那么a，b，c共面。 二.平面和直线的渊源 注

4、意：在这之后的平面与直线方程都是在直角坐标系中表 示的，不考虑仿射标架中的。 （一）.平面的方程 1.点位式方程 我们知道，由于直线和直线外一点可以确定一个平 面，设一条直线的方向向量为v=（X，Y，Z），直线 上一点为，直线外一点为，于 是可以用一组混合积来表示平面： =0 ，其中 用行列式表示为： 由于结果是0，所以根据行列式的性质，里面的行列 顺序可以随便写。 2. 一般式方程 我们明显可以发现，把点位式的方程行列式按照未 知量所在的行展开可以得到一个关于x,y,z的三元一 次方程，记为Ax+By+Cz+D=0。这样的方程叫做平面的 一般方程，也是解题所需要的最终结果形式。 在这个方程里

5、面，注意到A，B，C，而向量 （A，B，C）就是这个平面的法向量。 3.截距式方程 相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面与 坐标轴相交的对应的坐标，如果题目给出平面在三个坐 标轴上的截距a,b,c，联想到中学的直线的截距式方程， 可想而知，方程可写为 4.点法式方程 如果已知平面的法向量为（A，B，C），平面上一点 为，那么方程可写为 其中的原理是垂直于同一直线的直线刚好构成一 个平面，如果，则 =0 5.一般方程的法式化 如果已知方程的一般方程为，作为 法式方程，必须将 单位化，于是，只有在方 程左边乘以法式化因子即可，其中 正负号的选取与D有关，如果D为负，那么取正号， 如果D为正，

6、取负号。 化完之后的平面如果记为，此时 的法向量很明显是个单位向量，而这个单位向量 的几何意义是： 从原点指向平面的单位法向量。 这里的 的几何意义是： 原点到平面的距离 定理：平面的充要条件是关于x,y,z的方程是一个三元 一次的方程。 （二）直线的方程 1.标准方程 我们知道，空间中的两点可以确定一条直线。如果我 们知道直线上确定的两点，那 么，直线的方程可以写为： 这样的方程称为两点式方程。 很明显，分母组就是该直线的方向向量，于是，如果 给出直线的方向向量(X,Y,Z)，那么就可以写成： 这就是直线的标准方程。 2.射影式方程 在标准方程中，我们可以看到有两个等号，表示的是两 个等式，

7、如果将两个等式联立起来，用一个未知数表示另外 两个未知数，就可以把标准方程化为一下形式： 这个方程称为直线的射影式方程。 3.一般方程 我们知道，两个相交的平面，它们的交线就是一条直线， 于是，就可以把两个平面用花括号联立，就变成了一般方程。 一般方程的形式为： 需要注意的是：标准方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊结构。 4.标准形式和一般形式的互化 标准一般 直接化成射影式即可 一般标准 首先令其中一个未知量为一个确定值，再解出另外两 个未知数，这样便确定了直线上的一点。 一般方程的方向向量就是 然后写成标准形式即可 例4.求过点（3，-5,1）和点（4,1,2），垂直于平

8、面x-8y+3z-1=0 的平面方程。 例5.将下列平面化成法式方程 （1）x-2y+5z-3=0 （2）x-y+1=0 三.线性图形的位置和度量关系 （一）平面与平面的位置关系 在仿射坐标系下，设两个平面为 1.相交 2.平行 3.重合 （二）平面与直线的位置关系 直线l和平面的方程分别为 于是， 1.相交 2.平行且 3.直线在平面上且 （三）两条直线的位置关系 设两条直线的方向向量分别为，两条直线上分别 有两点。 1.异面 2.相交且不共线 3.平行共线但和不共线 4.重合，为共线向量。 （四）距离公式 1.点到直线 直线上一点为，直线外一点为M，直线的方向向 量为v，于是，M到直线的距离公式为 意义是：平行四边形的面积除以底边长，即为高。 2.点到平面 设平面方程为，平面外一点为 ，于是联想到中学的点到直线的距离公式可 得： 3.直线与直线的距离 设两条异面直线分别过，方向向量分别为， 则两条直线的距离为： 几何意义为：体积除以底面积，即为高 注意：其他类型的距离都可以通过以上三种变换而来， 比如平行平面的距离，可以转换为点到平面的距离来求 解。 例6：求二平面 之间的距离。 四.平面束 定义：我们把空间中所有通过同一条直线的平面的集合称