圆周角和圆心角的关系

1、北京师范大学出版社九年级下册第三章第四节第一课时圆周角和圆心角的关系 银川十八中 董秋菊 电话邮编:750021一、教学内容分析本节课的学习任务是：理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论1.本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，圆周角定理是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的三个推论的依据,还能使学生了解分情况证明数学命题及化归的思想和方法，圆周角定理的推论1可以用来证明角相等，从而进一步证明两个三角形相似或全等，同时又可以实现角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，便于解题，本节

2、是本章重点内容之一.综合上述对教材内容的分析，结合新课标的要求，我确定本节课的重点是：理解圆周角的概念并掌握圆周角与圆心角的关系.二、学生学情分析 学生已了解圆的对称性并已掌握圆中弧、弦、圆心角之间的关系，通过类比分类探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想.九年级学生已经具备一定的观察讨论、自主探索、归纳总结的能力，但在我所带的班级中，多数学生表现欲不强，怕说错话，解错题，而本节课又是分三种情况证明圆周角定理，采用由特殊到一般的方法，这种探索问题的方法学生数学活动的经验较少，即使少数优秀学生能在教师给出三种情况的条件下证明出圆周角定理，他

3、们也不一定能考虑到要分情况去讨论论证并用化归的思想方法去解决. 所以我认为本节的课的难点是：利用分类讨论和化归的思想方法推导证明圆周角定理.三、教学目标设置依据新课标要求，根据本节内容在教材中的地位和作用，以及九年级学生的认识结构和心理特征，我确定以下目标：1理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论12经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，感受以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想和化归的数学方法3让学生在主动探索、合作交流的过程中，获得成功的愉悦感，培养学生独立思考、善于总结的学习习惯.四、教法与学法分析1.教学方法根据本节课的教学目标、教学内容和学生学情，

4、教学上采用“探究式”的教学方法.教师着眼于引导，学生着重于探索，意在帮助学生通过直观情境观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解.2.学生学法学生学习的关键在于教师如何调动、挖掘学生的积极性、主动性.本着“最近发展区”原则，课堂上，学生主要采用动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，在教师的指导下从直观感知上升到理性思考.经历观察、实验、猜想、验证、论证、归纳的学习过程，让不同层次的学生有不同层次的收获与发展.五、教学过程环节一 激趣引入（课件展示）在上周二下午的兴趣小组活动中，咱们班足球小组的李博、季明、王亮三位同学进行了一场游戏，现在老师把他们的游戏抽

5、象成数学问题：三人进行一场射门游戏，过球门AC画了一个圆，李博、季明、王亮分别站在圆上B、D、E的位置直线射球，但是李博和王亮不同意这样比赛，说季明所在的位置相对于球门AC的张角大，游戏不公平，你怎么看？（引发学生思考ABC、AEC和ADC的大小.）教师依次提出问题串：问题1：到底是不是ADC大呢？带着对这个问题的思考我们一起走进今天的课堂.问题2：首先请同学们回忆一下在此之前我们都学过哪些与圆有关的角？问题3：什么是圆心角呢？问题4：ABC、AEC和ADC是圆心角吗？ 问题5:与圆心角相比，它们有什么特征呢？问题6：依据它们共同的特征，你能给他们取个名字吗？非常好，今天我们就来认识圆周角.（

6、教师板书半个课题圆周角）设计意图：本环节从学生感兴趣的体育运动入手，以班级足球兴趣小组三个同学的分歧为切入点，激发学生探索的欲望，同时感受数学与实际生活的密切联系，紧接着又由一系列问题串引导学生观察三个角的特征，类比圆心角，引申到本节要学习的圆周角，便于学生在已有知识的基础上掌握所学，符合学生的认知规律，同时自然而然进入下一环节.环节二 概念明晰（集体活动）问题：现在大家能否根据刚刚的观察讨论给圆周角下个定义呢？请一位同学叙述一下.（学生叙述，教师补充，并板书圆周角的定义。）明晰：顶点在圆上，两条边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.接下来老师给出这样几个练习，看大家对圆周角是否真的认识了.练

7、习反馈：1. 判断下列图形中的角是不是圆周角, 如果不是请说明理由. 图22判断下列命题是否正确： （1）圆周角的顶点一定在圆上.（2）顶点在圆上的角是圆周角.（3）圆周角的两边都和圆相交.（4）两边都和圆相交的角是圆周角.3下列两个圆中各有几个圆周角？ACBDDCAB图3 图4 设计意图：经过上一环节的观察讨论，学生明确了圆周角的特征，教师引导给出圆周角的定义，随后设置了三道练习，练习1是一道关于圆周角定义的图形辨析题，目的在于经过学生的观察与辨析交流，进一步明晰圆周角的两个特征：顶点在圆上和两边在圆内的部分是圆的两条弦.练习2抓住圆周角定义的本质特征，进一步强化对圆周角定义的文字叙述；练习

8、3结合几何证明题的复杂图形中圆周角的确定，为以后处理有关圆的综合性题目打下基础.本环节真正达到了教学目标中所要求的理解圆周角的概念的目的.环节三 活动探究（小组合作）现在我们回过头再来看一下射门游戏中的三个角，问题1：这三个角是什么角，它们所对的弧分别是什么？问题2：我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么同一条弧所对的圆心角和圆周角会不会有什么关系呢”接下来我们就一起来研究这个问题.（教师板书补充课题）设计意图：首先回过头去观察情境引入中的三个角，引导学生发现三个角所对的是同一条弧，进而联系“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.“提出猜想”那么同一条弧所对的圆心角和圆周角

9、会不会有什么关系呢”，把学生的思维引导到圆周角与圆心角的关系上，以“同一条弧所对”作为联系纽带，顺利过渡到对圆周角定理的探究活动.活动一 画一画下面请大家四人一小组合作，在导学案上的探究一中按照提示画出图形.探究一 同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系.请在下列各圆中画出AC弧所对的圆周角与圆心角，若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分，你能分为几类.（注意要做到不重不漏.）.OACACACAC.OACOACOOOO图5结论：按照圆心O与圆周角的位置关系可将同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系分为_类.（派两个小组代表上台展示小组结果，教师总结分为三类）现在老师利用几何画板再给大家演示一下，

10、看看还有没有别的情况.（演示显示只有三种情况）.设计意图：由于对圆周角定理的证明要分三种情况进行探讨，这点学生不易想到，所以我先让学生小组合作，在导学案上按照提示尽可能多地画出同一条弧所对的圆心角与圆周角，经过小组交流和教师指点，总结出圆心角与圆周角的三种位置关系（圆心在圆周角一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外），然后点两个小组代表上台展示结果，教师再借助几何画板动态演示从而进一步验证圆周角和圆心角的三种位置关系，为下一步化归做好铺垫.（特别说明：导学案上给出的圆不能仅限三个，而应该多给几个，然后对比得到三种结果，这样可以避免对学生的思维限制.）活动二 量一量同一条弧所对的圆周角与圆心角

11、的位置关系我们已经知道了，那么他们的数量关系又是怎样的呢？利用你手中的工具，你能完成这项工作吗？下面请大家小组合作共同完成这项工作.(学生可借助量角器测量)探究二 请你用手中的工具分别测出探究一中你所找到的三种情况下圆周角和圆心角的度数，看看每一种情况下两个角的度数各有什么关系？由此，你得到猜想： .你们得到了什么结论？明晰：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半？提问：到底是不是这样的呢，咱们借用几何画板也来验证一下.（验证结束后，教师板书圆周角定理，并在其后打上“？”.）设计意图：明确了圆周角和圆心角的三种位置关系后，如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难，于是我通过教师的提问

12、引导学生，利用手中的工具测量得到同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，进而合作交流得出对于二者关系的猜想：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.教师再利用几何画板中的测量工具度量同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，并改变弧的大小再次测量，从而进一步验证学生的猜想，为下一步对圆周角定理的证明铺设了道路.验证结束后教师总结并板书圆周角定理并在其后打上“？“号，打问号是因为截至目前我们仅仅是通过测量了有限数量的实例得到了这样的猜想，还不能说明这个定理的一般性.活动三 证一证刚刚我们通过测量得到了这一猜想，那么我们的猜想对于所有的同一条弧所对的圆周角和圆心角是否都成立呢？这个就需要我们从一般性出

13、发去证明它.下面请大家小组合作，在导学案上的探究三中完成证明. 探究三 证明圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.已知：在中，所对的圆周角B和圆心角AOC求证：（对于以下三种情况你认为哪种情况最为特殊，最便于我们证明.） （1） （2） （3）圆心O在ABC外部 圆心O在ABC一边上 圆心O在ABC内部图6证明：（2）圆心O在ABC一边上，如图6（2）明晰：圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。设计意图：本节课的难点正在于此.对于三种情况的证明，大多数学生都会感觉很困难，于是我先让学生小组合作，在导学案上根据提示进行证明.有了猜想为基础，证明“（2）圆心在圆周角一边

14、上”这种情况学生完全可以自己完成，教师展示正规证明过程以供学生参考，另外两种情况通过教师语言提示“其他两种情况是不是可以转化成（2）的形式再加以证明呢”启发学生转化成第一种情况去解决，认识到转化的条件是：加以角的顶点为端点的直径作为辅助线，这一过程中教师要巡视指导，与此同时，充分给予学生交流的时间，体会将一般情况转化成特殊情况的过程，体验了化归的思想方法，达到了突破难点的目的.对于情况（1）找小组代表上台叙述思路，教师多媒体展示正规证明过程，情况（3）点学生上台板演，教师加以总结，把黑板上圆周角定理后面的“？“号擦除，接着明晰把情况（1）（3）转化成（2）的形式解决的方法属于化归的数学方法.活

15、动四 解决分歧，得出新知此时根据以上内容的学习，你认为射门游戏中到底是不是ADC大呢，这个游戏对三位同学公平吗？为什么？由此你又能得到什么结论？能否用圆周角定理证明你的结论？明晰：同弧或等弧所对的圆周角相等。设计意图：利用圆周角定理解决激趣引入环节所遗留的问题，前后呼应，同时自然得出圆周角定理的第一个推论.环节四 大显身手1.填空：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的_.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_.同弧或等弧所对的圆周角 .设计意图：让学生从不同角度认识圆周角定理，达到活学的目的.2.如图7，在O中，BOC=50°，则BAC=_ABCO变式训练1：如图，点A，B，C是O

16、上的三点，BAC=40°，则BOC=_ 变式训练2：如图，BAC=40°，则OBC=_ 图7设计意图：2是圆周角定理的直接应用，侧重于考查学生面对多个圆周角与圆心角时的识图辨图能力.变式训练1是反面考察圆周角定理，与练习2相呼应，变式训练2与等腰三角形知识联系，考察了学生综合运用知识的能力.3、如图8，已知圆心角AOB=100°，求圆周角ADB、AEB、ACB的度数？E变式训练：如图8，已知,求证：.图8 设计意图：3考察圆周角定理及其推论1，变式训练将圆周角定理的推论1与三角形全等相结合，进一步考察学生综合运用知识的能力。环节五 品味收获问题：今天这节课大家表现的都非常的不错，相信每一位同学都开动了脑筋，交流了思想，那你能说说你今天这节课的收获吗？（学生陈述，教师再小结）1.圆周角的概念: 顶点在圆上，两条边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角2.圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半3.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等4.分类讨论的思想和化归的数学方法.5.在合作中体会到了集体力量之大.设计意图：在这一环节中，先找学生陈述，