函数零点易错题、三角函数重难点(教师版)

1、实用标准文案函数零点易错题三角函数重难点教师版函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学 习.下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助.1 .因“望文生义"而致误例1 .函数f (x) =x2 3x+2的零点是()A. (1,0)B. (2,0)C. (1,0 ), (2,0)D. 1 , 2错解：c错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，"望文生义"，认为零点就是一个点. 而函数的零点是一个实数，即使f(x)=0成立的实数x,也是

2、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.正解：由f(x)=x2 3x+2=0得，x=l和2,所以选D.点拨：求函数的零点有两个方法，代数法：求方程f(x )=0的实数根，几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标.即使所求.2 .因函数的图象不连续而致误1 例2 .函数f (x )= x + 的零点个数为()xA.O B.l C.2D.3错解：因为 f (1) =2 , f (1 )=2 ,所以 f (-1 )f(1 )<0,函数 y = f(x)有一个零点，选B .1错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数f(x)=x+的图

3、象是x不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理.正解：函数的定义域为(吗0上(0,收)，当x >0时，f(x)>0,当xc0时，f(x)<012所以函数没有零点.也可由 x+ =0得x +1=0方程无实数解.x点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性.若函数 y = f (x庭区间Q,b】上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )f (b )< 0 ,则在区间(a,b )内，函数f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)=0在区间(a,b戌少有一个实数解.然而对于函数的

4、f(x),若满足f(a)f(b)<0,则f(x位区间6处内不一定有零点；反之， f(x而区间b,bl内有零点也不一定有 f (a )f(b)< 0 .前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根.如下图所示：yxa ob-3.因函数值同号而致误例3.判定函数f(x)=2x-3在区间L 1,1】内是否有零点.错解：因为 f(1)=f(1)=1,所以 f(1)f(1)>0,函数 f(x)= 2x -3在区间 Ll,l 内没有零点.错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数f(x)在区间la,b上的函数图像是连续曲线，且f (a )f(b)>0,也可能在 kb】内有

5、零点.如函数g(x)= 2x -1在 区间 匚1,1上有g(1 g(1 )>0,但在 匚1,1】内有零点x = 土工.2正解：当xw 1,1时，f仅)=2x 3 W1 ,函数y= f(x心1,1上的图象与x轴没 有交点，即函数f仅)=2x -3在区间匚1,1】内没有零点.法二：由2x 3 = 0得*=土|更11,1，故函数f(x)=2x3在区间1,1内 没有零点.点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号.如函数y =(x-1)2有零点1 ,(如上图)但函数值没变号.对函数零点的判定一定 要抓住两点：函数 y = f(x庇区间a,b】上的图象是连续曲线

6、，在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)<0.4.因忽略区间端点而致误例4 .已知二次函数f(x)=x2 (m 1)x + 2m在0,1】上有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围.错解：由函数的零点的性质得f(0)f(1)<0,即2m(m+2)<0,解得2<m<0.所以实数 m的取值范围为(-2,0 ).错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用， 而忽略问题的其它形式： 在0,1】上有二重根；终点的函数值可能为0.正解：当方程x2 - (m - 1)x + 2m = 0在0,1】上有两个相等实根时， = (m -1 f -8m =0且 0 <

7、m-1 <1 ,此时无解.2当方程x2 一(m1)x+2m = 0有两个不相等的实根时， 有且只有一根在 0,1】上时，有f(0)f(1)c0,即2m(m+2)<0,解得2<m <0当 f (0 )=0 时，m= 0 , f(x) = x2+x=0,解得 x1 =0,x2 = -1 ,合题意.当f (1)=0时，m =2,方程可化为x2+3x 4 = 0,解得x1=1,x2= Y合题意.综上所述，实数 m勺取值范围为1-2,0 1.点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类 讨论使复杂的问题简单化.本文已在学苑新报上发表方程的根与函数的

8、零点1 .函数f(x) = x2 4x+1的零点为()A、T+? B 、-1 -6C 、T士? D 、不存在2 .函数f(x)=x3 -3x2+2x的零点个数为()A 0 B 、1 C 、2 D 、33 .函数f (x) =ln x，2x _6的零点一定位于区间().A. (1,2) B. (2,3) C. (3, 4) D. (4, 5)1.C 2.D3 .易知函数f (x)在定义域(0,书c)内是增函数.f (1) = ln1 +2 _6 = 4 <0 , f(2) =ln 2 +4_6 =ln 2 _2 <0 , f (3) =ln3 +6_6 =ln3 >0 .f (

9、2)f(3) <0,即函数f(x)的零点在区间(2,3). 所以选B.4 .求证方程3x =2x在(0,1)内必有一个实数根.x 14.证明：设函数f(x)=3x -2x.由函数的单调性定义，可以证出函数 f (x)在(_1，依)是 x 1减函数.而 f(0) =3° 2=1 <0 , f (1)=31 1 =5 >0 ,即 f()宙 0 < ，说明函数 f(x)在区间(0,1)2 2内有零点，且只有一个.所以方程3x =2于在(0,1)内必有一个实数根.x 1点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟3x悉的问题，每个问

10、题的求解过程正是这样一种逐步的转化 实根个数.此题可变式为研究方程2 - xx+1的5. (1)若方程2ax2 1=0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是 .(2)已知函数f(x)=3mx4,若在-2,0上存在x。，使f 联，则实数m的取值范围是 .5.解：(1)设函数f(x)=2ax21,由题意可知，函数 f(x)在(0,1)内恰有一个零点.f(0)|_|f (1) = 1M(2a 1) <0,解得 a1.2.在-2,0上存在 x0,使 f(x0)=0,则 f (-2)|Jf(0) <0, (-6m4)x(K)名0,解得 m 三2.3所以， 实数m的取值范围是(-

11、6;°,2.6.已知关于x的方程x2+2m奸2m+ 3=0的两个不等实根都在区间(0, 2)内， 求实数m的取值范围.26.解：令f (x) =x 2mx 2m 3有图像特征可知方程f (x) =0的两根都在(0, 2)内 需满足的条件是>0, f(0)>0, F(2)>0, 0< -m<27. 已知函数)-35 ：m - 1解得 4。a的取值范围f(x)=| x2-2x-3卜a分别满足下列条件，求实数(1)函数有两个零点；(2)函数有三个零点；(3)函数有四个零点.7 .因为函数f (x)=| x2-2 x-3|- a的零点个数不易讨论，所以可转化为方

12、程| x2-2 x-3卜a=0根的个数来讨论，即转化为方程 | x2-2 x-3|= a的根的个数问题，再转化为函数f(x)=| x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=| x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5),它们交点的个数，即函数f(x)=| x2-2x-3卜a的零点个数.(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点，则0<a<4.8 .已知函数f (x)= ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是 0、1、2,如图所示，求证：b<0.9 .证：因为

13、f(0)= f(1)= f(2)=0,所以 d=0, a+b+c=0,4 a+2b+c=0.所以 a= _b ,c= _2b.所以 f (x)= - - x( x2-3 x+2)= -b x(x-1)( x-2).3333当 x<0 时，f (x)<0 ,所以 b<0.证法二：因为 f (0)= f (1)= f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)( x-2).当x>2时，f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质(单调性，周期性，奇偶性，最值)三角函数的图象，三角恒等变换(主要

14、是求值)，三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用.题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题.例1若x是三角形的最小内角， 则函数y =sin x+cosx+sin xcosx的最大值是()A. -1B.2C. -1 .2D. 1 . 22 . .分析：二角形的取小内角是不大于一的，而(sinx+cosx) =1 + 2sin xcosx ,换元解3决.7 一斛析：由 0<x<一，令 t=sinx + cosx =v 2 sinx 而一Hx十E 一 冗,得344

15、4 12p.2t2 -1又 t =1+2sin xcosx ,得 sin xcosx =2得 y =t +匚二！ =l(t+1)2 -1,有 1+0<yMT2 +(扬 -1 =y/2+1 .选择答案 D. 2222点评：涉及到sin x ±cosx与sin xcosx的问题时，通常用换元解决.1斛法一： y =sinx + cosx+sinxcosx = sin x+l+sin2x, 421当 x =一时，ymax =q2 +二,选 D。 42 _._ o. n例 2.已知函数 f (x) = 2asinxcosx+2bcos x .,且 f (0) =8, f ()=12 .

16、 6(1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时 x的值.分析：待定系数求a, b ；然后用倍角公式和降哥公式转化问题.一二、 33, _ _f(-)=ya+-b=12 ,所以解析：函数 f(x)可化为 f (x) =asin 2x + bcos2x + b .(1)由 f(0)=8, f(一) =12 可得 f(0) =2b = 8, 6b =4 , a = 4石.(2) f (x) =473sin 2x +4cos 2x +4 =8sin(2 x + 土)+46JITEJI故当2x+- = 2kn十一即x = kn + (kw Z)时，函数f(x )取得最大值为12

17、. 626点评：结论asin e+bcos9 = V'a2+b2 sin (8+中)是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、 单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用, 是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重 点内容.题型2三角函数的图象： 三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考 所重点考查的问题之一.例3.(2009年福建省理科数学高考样卷第8题)为得到函数九1, 一y =cos. 2x+的图象, 3只需将函数y=sin2x的图象A.向左平移旦个长度单位12B.向右平移5个长度单位12C.向左平移2个长

18、度单位6D.向右平移5个长度单位6解析：函数y =cos 2x + I3=sin i 2x 一 = sin i 2x =sin 2 i xA.例4 （2008高考江西文故要将函数y =sin2x的图象向左平移 巨个长度单位，选择答案y小o22y 八3 二23 二210）函数 y = tanx+sin x - tanxsinx 在区间（一,）内的分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.文档图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断.解析：函数 y = tanx+sinxtanxsinx2tanx,当tanx<sinx寸=i ，.结合选择支、2sin x,当tanx 之sinx寸和一

19、些特殊点，选择答案 D.点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目.题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的， 二倍角的三角变换公式解决. 分析：所求的sin fa +72）=sin（a十三），将已知条件分拆整合后解决.A.5 （2008高考山东卷理 5）已知cos8一 7tI 6）+ sin « = 4 J3 ,则 sin I 汽十 5的值2 .352 3B. 5C. 454D. 一5I 6 ）6解析：4.33 .、34.3. 二 4C - cos 0 -叶Sina =u -Sina + cosa =y Sin

20、la 十一=一,6522565所以sin上二-sin =三二6.65点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数 学思想和运算能力.解题的关键是对cos la+sina =4J3的分拆与整合.65例 6 （2008 高考浙江理 8）若 cosa+2sina =J5,则 tana 二A. 1B. 2C. - D -2222.1邛=,即 tan ,5 52分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路.方法一：J5sin （o（十中）=一 J5,其中 sin 审=弓二,cos 再由sin （a+中）=1知道a +中=2kn -（k= Z ）,所以口 =2M -金中

21、，s 冗 、 f n 、 sin '一 中 i 中1 所以 tana = tan 12kn 一 二一甲 Utan 1 -1=2.I 2V 2J s 中sin 中cos -2方法二：将已知式两端平方得22_. 22cos & " 4cos - sin " , 4sin - =5=5 sin - cos -22= sin - -4sin - cos- > , 4cos - =0 2=tan - -4tan： ' 4=0= tan - - 2方法三：令sin ct -2cos« =t ,和已知式平方相加得 5 = 5 + t2,故t = 0

22、 ,即 sin a -2cos a = 0 ,故 tan a = 2 .方法四：我们可以认为点 M （cosa ,sin a渔直线x + 2y = J5上，x =而点M又在单位圆x2 + y2=1上，解方程组可得55 ,v 2、巧从而tana =丫 =2 .这个解法和用方程组卜箕+2sin 了75求解实质上是一致的.xsin 二 - cos : -1方法五：a只能是第三象限角，排除 C. D.,这时直接从选择支入手验证，,一 1 、由于一计算麻烦，我们假定tana =2,不难由同角二角函数关系求出2,2.55 B.sin « =-,cos« =,检验符合已知条件，故选55点

23、评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知1sin P +cosP = , P w 0,n ,求tan P的值（人教A版必修4第三章复习题 B组最后 5一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力.题型4正余弦定理的实际应用： 这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型.例7. （2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点 E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 E正北55海里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东45且与

24、点A相距40 J2海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东45 +9 （其中sin日=，。" 日 90° ）且与点A相距10彳3海里的位置C .（1）求该船的行驶速度（单位：海里（2）若该船不改变航行方向继续行驶./小时）;判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.分析：根据方位角画出图形，如图.第一问实际上就是求BC的长，在 MBC中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E到直线BC的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决.解析：（1）如图，AB = 40>/2 8 AC=10A，/BAC =8,sin8 =遮26由于 0二：90”，

25、所以 cos?=1-（ 226）25/2626由余弦定理得 BC 二,AB2 AC2 -2ABACcos<i -10、, 5.所以船的行驶速度为 1025 g5 (海里/小时).3(2)方法一：如上面的图所示，以 A为原点建立平面直角坐标系，设点B,C的坐标分别是B(x,y11c(x2,y2 ), BC与x轴的交点为D.由题设有，x1 = y1 = - AB = 40 , 2x2 = AC cos/CAD =10Vi3cos（45l：，-6） =30, y2 =ACsin. CAD =10 ,T3sin（45）=20.20所以过点B,C的直线l的斜率k= =2,直线l的方程为y=2x 4

26、0 .10又点E (0, 55)到直线l的距离d =|0 55 一40|二35二7 ,所以船会进入警戒水域.；1 . 4解法二：如图所示，设直线 AE与BC的延长线相交于点 Q .在AABC中，由余弦定理得,cos/ABC =AB2 +BC2 AC2 =402 父2+102 父 5 102 父13=3日02AB BC2 40,2 10 510从而 sin ABC = . 1 - cos2 ABC在MBQ中，由正弦定理得,AB sin. ABCsin(45； - ABC)40、2 -10_102 2,10210= 40.由于AE =55 >40 =AQ ,所以点Q位于点A和点E之间，且EQ

27、=AEAQ=15.过点E作EP _L BC于点P ,则EP为点E到直线BC的距离.T"3'5".在 Rt AQPE 中，PE =QEsin. PQE =QE sin AQC =QE sin(45 -/ABC) =15所以船会进入警戒水域.点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图.本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错.题型5三角函数与平面向量的结合： 三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函

28、数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点.例8 ( 2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题)已知向量 r.f ra = (2cos®x,cos2sx),b = (sinsx,1)a0),令 f(x) = a b ,且 f (x)的周期为冗. 求f 三 的值；(2)写出f (x )在工，口上的单调递增区间.44 )2 2分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数f(x2解析式求出来，再根据f(x)的周期为H就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可.解析：f ff-JIf

29、(x) = a b =2cosoxsinwx +cos2wx =sin 2©x +cos2cox = V2sin(20x +一),4fn,' f(x)的 周期为 n .8=1, f(x) = v,'2sin(2x+),JTJT二 f() =sin +cos =1422，一一 r - n、(2) 由于 f (x) = 42 sin(2x+一)，4兀n冗._ _.当+2。M2x+E +2心(k 匚 Z )时，f x)单增，242r一 3 二二._ ,二二.即十knWxW 一 + k (k 匚 Z), x 匚,一882 2 3 二二f(x昨-鼻上的单调递增区间为-y -.点

30、评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点.例9 (2009江苏泰州期末15题)一一3 3 . L. ,3n)一已知向量 a = (3sina ,cos), b =(2sina,5sin a 4cosc( ), a = I 2n匕且12 ')(1)求tan a的值；(a n )(2)求 cos 十 I的值.23分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问.I _.斛析：(i) a_Lb, ab=0 .而 a=(nsso( a),b =(2

31、sin a ,5sina _4cosa ),2-4cos =0故 a b = 6sin2 工二 5sin j cos-：26 t ： a n ：5= t, a n 40解得 tanot =4，或 tanot =1tana <0,1,人，、4故 tanot =a （舍去）.1- tana =-.（2）件2。一22a人，tan=2 （舍去）.241由 tan a =,求得 tan =,二：-：?5 _ _ 12 5sin =,cos=25252.5 .1510豆n）an汽汽cos .+I = cos-cossinsin =123 J2323点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等

32、变换.在解题要注意角的范围对解题结果的影响.题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是冗，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然 后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型.例10.(安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题)三角形的三内角 A,B , C所对边的长分别为 a , b , c,设向量m = (c a,b a), n = (a + b,c),若m/n ,(1)求角B的大小；(2)求sin A +sin C的取值范围.分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关

33、系，结合余 弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角 A,C就不是独立关系了， 可以用其中 的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题.解析：(1) '/,/- c(c-a)-(b-a)(a+b),222712.22 a c -b1 _，c ac=b -a，,=1 . 由余弦te理，得 cosB= ,B =ac22 二(2) , A+B +C =n,. A+C =，3,.八 .，2 二 、.2二 2二.sin A sin C =sin A sin(-A) = sin A sin cos A - cossin A 3333 . =sin A2cos A =、3si

34、n( A ) 62 二 二 二 5 二0 ： A < ,.：A :3 666.:sin( A ' ) <1,. 3 : sin A sin C < . 3 262点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等 变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影 响.题型7用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征 （能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现.考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题.例11.如图，已知点 G

35、是AABO的重心，点 P在OA上，点Q在OB上，且PQ过 一.11ABO 的重心G , OP =mOA , OQ = nOB，试证明一十一为常数，并求出这个常m n分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点P,G,Q共线，利用这个关系寻找 m,n所满足的方程.解析：令oA=a, oB=b,则OP =ma, OQ = nb,设AB的中点为M ,显然OM =1(a + b).,因为G是AABC的重心，所以OG =-OM23G、Q三点共线，有PG、GQ共线，所以，有且只有一个实数1 , 夫 ,-=-(a + b).由 P、3九，使 PG =

36、ZGQ ,1而 PG =OG -OP (a b)- 311ma = (一 一m)a +b,33Gq-OQ-OG1 .=nb- -(a b)1 41 .a (n )b33，1、. 1 . 14 ,1、士所以(m)a+ b = M a+ (n _)b.333311、m- - m = 一一九又因为a、b不共线，由平面向量基本定理得 <33,消去人，11、-=九（n -）,33» 一,11一*、*，整理得3mn = m+ n,故 一 + = 3.结论得证.这个吊数是 3 .m n【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题 是一个重要方面，其基本思路是根

37、据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出 来，再根据平面向量的有关知识加以处理.课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应 引起同学们的注意.题型8用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工 具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值.JT 31例 12.已知函数 f （x） =cos2 x+2tsinxcosx sin2x ,若函数 f （x）在区间（一，一上12 6是增函数，求实数t的取值范围.分析：函数的f （x揖数在（一，一大于等于零恒成立.12 6解析：函数f （x）在区间（三，三上是增函数，则等价于不等式f6）之0在区间（,-12

38、612 6,Ji Ji上恒成立，即f （x）= 2 si n 2+ t2 cos<2在区间（一，一上恒成立， 从而12 6JI J J Jttan2（在区间（一，一上恒成立， 而函数y = tan2x在区间（一，一上为增函数，12 612 6JI JIn尸L所以函数y=tan2x在区间（一，一上的最大值为ymax = tan（2父一）=。3 ,所以t之J312 66为所求.点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识.本题如将 f (x)化为f (x ) = tsin 2x + cos2x = Jt2 +1sin(2 x)中)的形式, 则中与t有关

39、，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决.题型9三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进 行思考.例13.设二次函数f (x) =x2+bx + c(b,cw R),已知不论 a , B为何实数，恒有f(sin «)之0和 f (2 +cosP) <0 .(1)求证：b + c = -1 ；(2)求证：c >3 ；(3)若函数f(sin 口)的最大值为8,求b, c的值.分析：由三角函数的有界性可以得出f (1 )=0,再结合有界性探求.解析：(1 )因为一1

40、 Wsi n M且f (sina)父0恒成立，所以f (1)之0,又因为1M2+cosPM3 且 f (2 +cos?) <0 恒成立，所以 f (1)<0 , 从而知 f(1)=0 ,1 +b +c = 0 ,即 b +c = -1 .(2)由 1 W2+cosP M3 且 f (2 +cos P) E 0 恒成立得 f (3) < 0 , 即 9 + 3b+c<0 ,将b=1c代如得 933c+cM0, IP c>3.91 c 91 c 9(3) f (sin a) =sin 口+(Tc)sin 口 +c = (sin 口 -) +c (),221 c. _1

41、 -b c=8因为 之2,所以当sin 口 = 一1时f (sinB)max =8 ,由4, 斛得21 b c=0b = -4 , c = 3.一 ,，f, f (sin ： ) - 0 r 人、一一点评：本题的关键是b+c = -1,由<()利用正余弦函数的有界性得出f (2 cos ”0If 1 -0V，从而f (1)=0,使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用.f 1工0【专题训练与高考预测】-、选择题1.若 口三02近,且 J1 cos2a + J1sin2。= since cosot ,则a 的取值范围是(2.A- 0,5设汽是锐角，且a. m - nr r冗 rB.

42、 一 , 二2lg(1 cosot) = m ,lgc 1 ,1、B. (m -)r 3二】C. -：,2D.1=n，则 lgsin a1 cos ;m - n C2D.1/1、-(n)2 m3.若 |a| = 2sin150,| b| = 4cos150 , a与 b的夹角为 304.5.6.A 3 A. 2B. ,3C. 2、3若O为AABC的内心，且满足(OBOC) <OB+OCA.等腰三角形在AABC中，若A.直角三角形C.钝角三角形D.2OA) = 0 ,则AABC的形状为B.正三角形bcos A cosB已知向量OB =(2,0)、OC的夹角的取值范围是一二 5 二.A- -

43、，12 12二、填空题C.直角三角形c,则AABC是 cosCB.等边三角形D.等腰直角三角形D.钝角三角形=(2,2)、CA = (<'2cosa,V2sina),则直线 OA与直线 OB二 5二.8- 一,4 12一 5二二.C. ，12 2D. 0,4,6622 7.sin x+cos x+3sin xcos x 的化简结果是8.若向量a与b的夹角为0,则称a Mb为它们的向量积，其长度为|axb|=|a| |b|sin日,已知 |a|=1, |b|=5,且 a b = -4,则 |aMb|二9.一货轮航行到某处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海

44、里，随后货轮 按北偏西30中的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里.、解答题21sin 2( 一二) 4cos :10 . 已知：tan(几+a) = , tan(a + P)=2-310cos" sin 2 ;(1)求 tan(< + B)的值;(2)求tan P的值.11 .已知函数 f (x )=V3sin i2x£1+ 2sin2(x三)(xwR 612(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f ( x )取得最大值的x的集合.Jb = (cosP,sin P),12.已知向量 a =(cosa,sin a),513<0 ,且sin P =(1)求 cos(a 一 P)的值；(2)育 0<c( < 一 , <P 22且cos a <0 ,故得正确选项 B.【参考答案】1 .解析：B由已