理论力学万能解题法(运动学)

1、理论力学万能解题法 （未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学2009级学生参考）郑慧明 编华中科技大学理论力学教研室序言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。 但其解题方法众多，不易掌握。有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公

2、理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书

3、上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解题

4、方法遵循如下原则 ：（1） 一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。那些只对此道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。这一点可能与以往一些理论力学教材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧的读者，提请读者注意。（2） 对

5、同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。（3） 优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。前几年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考验宝典，并引起一些批评。我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的目光，也许

6、你因此发现本书正适合你。正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，特此说明。本书许多内容是材料李智宇、机械李梦阳、能源海腾蛟等同学根据本课堂内容整理的,武汉科技大学力学系李明博士提供宝贵意见，在此表示感谢。因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。 郑慧明 2011 年于华工园前言：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则：尽量用同一种方法解题，优先

7、考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量（对于动力学问题，用一个方程即可求出一个待求量是不可能的。）。采用此方法，即可容易将不同的复杂的机械系统看成一个类似系统，采用同一种思路分析，这是本书解题思路与众不同的根源。第5章 点的运动学和刚体的基本运动一 问题问题1：点的运动的主要知识点是什么？答：直角：矢径：弧坐标：问题2：点的运动难点是什么？答：如何由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。 切向加速度，全加速度问题3 刚体简单运动1）平动：在同一瞬时，各点一样，且，在其他任意时刻，尽管可能与上一时刻不同，但在同一时刻，各点一样，且，机

8、构特点为平行四边形。而瞬时平动，仅在此瞬时，各点一样，且。机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行，且与两点连线不垂直。2）定轴：矢量表示法（起点必须为为 向量上任一点）二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。 哈工大第6版例题6-5. 解法提示：利用全速度和加速度无论在直角和弧坐标下均相等的桥梁即可。注意【说明】哈工大第6版例题6-6解法与此类似。通过该题，可深入了解在静止地面作纯滚动轮子的与地面接触点的速度和加速度特点。该点是理论力学中难点，建议多加注意。【例2】平动问题何锃课后习题7.2在图示两机构中，请就所给结果作出判断（正确的在

9、括号里画“”，错误的画“×”）图a：（1）（ ）；（2）（ ）； （3）（ ）；（4）（ ）； （5）（ ）。图b：（1）（ ）； （2）（ ）； （3）（× ）；b）a）w 1a 1w 2a 2BAO2O1(a)qqw 1a 1w 2a 2O1O2AB(b)（4）（× ）； （5）（× ）。【例3】哈工大第6版例题7-2.解法提示 矢量表示法（起点必须为为 向量上任一点）第6章 点的合成运动一 问题问题1：动点动系问题存在哪些难点？答： 动点、动系和静系的选择原则1）动点、动系和静系必须分别属于不同的三个物体，否则绝对,相对和牵连运动中就缺少一种运动，

10、不能成为合成运动2）动点相对于动系的相对运动轨迹易于直接判断，一般为直线或圆周，否则，求速度可能是正确的，但求加速度时，由于仅相对加速度就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。因为的切向分量一般未知，法向分量与相对速度和曲率半径有关，相对速度肯定可求出，故只要相对运动为直线或圆周，曲率半径也确定，故在加速度关系矢量方程中垂直的切向分量即可贡献一个有用方程。3）一定要说明动点是在哪个物体上具体方法一、1）构件A、B的接触点是构件A上不变的点D，则选取A上不变的点D为动点，动系为B2）构件A B的接触点，不是构件A或B上不变的点，则一定

11、不能选接触点作为动点。一般选取其中一圆盘的圆心为动点。 大小 ？ ？ ？方向 ？ ？ ？知道任意4个由于只有3个矢量，任意知2个可用几何法（平行四边形法则）对于多于3个矢量的加速度合成时尽量用解析法。1）动系作平动？ ？ 已知 ？ 已知故只有3个未知量2）动系作转动在动系上（平面）与动点重合相对于静系牵连速度科氏加速度用求出W动系，后，若为负数，应在图中将,方向修正为实际方向。此时，W动系，为正数，并由确定出方向问题2：动点动系有几种题型，如何选取动点动系？答：六种题型：AB上A点为接触点作法：选取接触点A为动点两刚体无固定的接触点作法：该接触点不能为动点，原因是若取接触点为动点，求V，有时也

12、能得到正确结果，这是因为求速度问题只是研究瞬时问题，与下一时刻如何运动无关，即与相对运动轨迹无关。但求加速度时，由于仅相对加速度就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。套筒滑杆问题作法：选取轨迹明确的杆件或套筒为动系，轨迹一般为平动或定轴圆周运动。另一个构件上已知信息较多的点或构件上待求点为动点。这是因为还要兼顾牵连速度方向已知（求速度问题）和牵连加速度不至于引入两个未知量（求加速度问题）。套环（或称交点）问题作法：取套环为一个动点，分别选取多个动系。多动点、多动系作法：为体现刚体间的所有联系，应多次选取不同的动点、动系。一个动系、

13、多个动点作法：该方法可转化为一个动点、多个动系。实际上，此问题可选取一次动点动系，再应用同一刚体上两点关系的平面运动章节的问题来求解。那样，分析思路更清晰，易想到。二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】 何锃课后习题6.7半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅垂导轨滑动，在图示位置时，凸轮有速度和加速度，求该瞬时推杆AB的速度和加速度 哈工大第6版例题6-5. 解法提示：作法：1）选取AB上A点为动点，动系为o.求速度则 Va= Ve + Vr 大小 ？ ？方向 (平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Va,Vr大小，若只求Va，则Vr投

14、影。若只求Vr，则Va投影，使得一个方程解出一个未知量) 求加速度则 aa= ae + +大小 ？ ？ 方向 (投影,求 出aa)【说明】1）此题属于AB上A点为接触点问题。2）建议采用上述方法分析和表述解题步骤，使思路清晰。当然，应画出速度关系图、加速度关系图（本书忽略）。3）何锃课后习题6.3，哈工大第6版习题8-5。与此方法类似。当然，此题可用列出几何关系方程，对时间求一阶导，得到待求速度量；对时间求2阶导，得到待求加速度量。但此种几何法仅对简单问题有效，且纯粹是数学问题，本课程理论没有得到训练，故本书不推荐。类似问题如何锃例题6.3，例题6.5，哈工大第6版习题8-9，8-10，4）何

15、锃例题6.3，课后习题6.3；哈工大第6版例题8-5，习题8-5，8-12，8-19，8-21。与此方法类似【例2】 何锃例题6.5如图所示，半径为R的圆轮D以匀角速度w 绕轮缘上的轴转动，杆OA定轴转动并与圆轮始终接触。求图示瞬时杆OA的角速度和角加速度。 哈工大第6版例题6-5. ？ 解法提示：作法：1）选取上D点为动点，动系为AB.求速度则 Va= Ve + Vr 大小 ？（） ？方向 (平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则Vr投影。若只求Vr，则Ve（）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、为负，将其改为正值，并在速度图中

16、，将其指向换向，这是为了求科氏加速度时,大小和方向不易出错)求加速度则 aa= + + ar + +大小 ？ ？ 方向 (ar投影,求 出)【说明】1）此题属于两刚体无固定的接触点。2）动系为AB实际意思是将动系固定在AB上，动系是一个无穷大平面，故其上必然有一点与轮D上重合的D点，D点即为牵连点，其运动由AB杆确定。3）何锃课后习题6.12（无），6.16，哈工大第6版习题8-10，8-20。与此方法类似。【例3】 何锃例题6.4如图机构中，OA杆以匀角速度转动，图示瞬时，。求该瞬时AC杆的角速度和角加速度。 哈工大第6版例题6-5. ？ 解法提示：作法：套筒B作定轴转动，以后求牵连加速度更

17、方便，而AB作平面运动选取AB上A点为动点，动系为套筒B.求速度则 Va= Ve + Vr 大小 ？（） ？方向 (平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则Vr投影。若只求Vr，则Ve（）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、为负，将其改为正值，并在速度图中，将其指向换向，这是为了求科氏加速度时,大小和方向不易出错)求加速度则 aa= + + ar + +大小 ？ ？ 方向 (ar投影,求 出)【说明】 1）此题属于套筒滑杆问题。2）当然 ，也可取滑杆为动系，套筒上地面点为动点，在应用刚体平面运动的求同一刚体上两点加速度关系的基点法也

18、可以，但对于选取平面任意运动的刚体作动系，牵连速度/加速度分析不便，非必须则尽量不用。何锃例题6.3如图机构，AB杆与套筒B固连，可在铅垂滑道中滑动，已知，杆以匀角速度绕轴转动。求在图示位置，AB杆的速度和加速度。解法提示：作法：套筒B和滑杆CD均作平动，任选取哪一个为动系均可，故此题方法多样.方法1：套筒B为动系，C为动点。方法2：CD为动系，套筒B(或A)为动点。何锃课后习题6.17a,计算下列机构在图示位置CD杆上D点的速度和加速度。设图示瞬时水平杆AB的角速度为，角加速度为零。解法提示：作法：套筒B作平面运动，而滑杆CD作定轴转动，故选取CD为动系，套筒B（退化为一点，称为滑块）为动点

19、.因此，可把套筒和滑块当作同类。【例4】 交点问题何锃例题6.6如图所示，小环P同时套在AB杆和圆环E上，AB杆和圆环E均以匀角速度w作定轴转动，图示瞬时，AB杆与圆环半径DE垂直，。求该瞬时小环P的速度和加速度的大小。 哈工大第6版例题6-5. ？ 解法提示：作法：求速度1）选取套环（交点）为动点，取AE为动系。则 VPX+ VPY = Ve1 + Vr1 大小 ？ ？ ？方向 平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程2）选取套环（交点）为动点，取OE为动系。则 VPX+ VPY = Ve2 + Vr2 大小 ？ ？ ？方向 新增加一个？，则4个方程即

20、可求出上述所有？求加速度 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at,不要漏掉科氏加速度即可【说明】 1）何锃课后习题6.6，6.15，哈工大第6版例题8-26.解法与此类似。【例5】 多动点、多动系问题何锃例题6.8如图机构中，DE杆以匀速度v 沿铅垂滑道向下运动，图示瞬时，OA杆铅垂，。求此时OA杆的角速度和角加速度。 哈工大第6版例题6-5. ？ 解法提示：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线2表示AB与OA的联系，图中曲线1表示AB与DE的联系. 图中曲线3表示AB与外部的联系，图中曲线4表示D

21、E与外部的联系.作法：求速度 体现曲线2：动点动系问题，即AB上A点为动点，OA为动系。则 VA = Ve1 + Vr1 大小 ()？()？ ？方向 平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程求速度 体现曲线1：动点动系问题，即ED上D点为动点，AB为动系。则 VD = Ve2 + Vr2 大小 ()？ ？方向 新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？求加速度 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at,不要漏掉科氏加速度即可【说明】 1）何锃课后习题6.4,6.5,6.10,6.18,6.19，哈

22、工大第6版课后习题8-18,8-27解法与此类似。【例6】 多动点、1动系问题何锃例题6.7如图机构中，转臂OA以匀角速度绕O转动，转臂中有垂直于OA的滑道，DE杆可在滑道中相对滑动。图示瞬时DE垂直于地面，求此时D点的速度、加速度。 哈工大第6版例题6-5. ？ 解法1提示：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线1表示DE上D点与OA的联系，图中曲线2表示表示DE上E点与OA的联系. 图中曲线3表示OA与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系.作法：求速度 体现曲线1：动点动系问题，即DE上D点为动点，OA为动系。则 VADX + VADY = Ve1

23、+ Vr1 大小 ？ ？ ？方向 平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程求速度 体现曲线1：动点动系问题，即ED上E点为动点，OA为动系。则 VADX + VADY = Ve2 + Vr2 大小 ？ ？ ？方向 新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？求加速度 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成an,at,不要漏掉科氏加速度即可解法2提示：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线1表示DE上D点与OA的联系，图中曲线2表示表示DE同一个刚体两点的联系，用刚体平面运动

24、知识即可。 图中曲线3表示OA与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系. 因为各曲线是串联关系，故此法相对解法1，更直观，更易想到。作法：求速度 体现曲线1：动点动系问题，即DE上D点为动点，OA为动系。则 VADX + VADY = Ve1 + Vr1 大小 ？ ？ ？方向 平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程求速度 体现曲线1：刚体平面运动（基点法）则 VADX + VADY = VE + VDE 大小 ？ ？ ？ DE 方向 新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？求加速度 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步

25、骤完全一样，只要将V换成an,at,不要漏掉科氏加速度即可。刚体平面运动（基点法）, 无科氏加速度。【说明】 何锃课后习题6.17b解法与此完全一样。第7章 刚体的平面运动一 问题问题1：平面运动存在哪些主要知识点1求同一刚体上两点的速度/加速度关系，动系原点与基点A相同，但作平动，2，角加速度也如此。3求速度的3种方法a) 基点法 ，可同时求V , b) 速度投影法（对连杆问题，只求速度，此法最好，不能直接求）纯滚动瞬时平动： VA=VB=VC= WAB=0c) 速度瞬心法可替代基点法，一般较简单。故求，一般用速度瞬心法。对连杆问题，只求速度，则优先考虑采用速度投影法。熟悉求速度瞬心的几种方

26、法。4建议求加速度只用基点法！注意，速度瞬心一般不是加速度瞬心。因为加速度投影法和加速度瞬心法仅在非常特殊的情况下在成立，故求加速度推荐尽量只用基点法！5如果刚体B上的A点满足以下条件之一，则定轴转动的定轴点若，但通过B点问题2：如何列出独立的运动学关系方程？答：1）体现刚体与刚体，刚体与外部的联系。 2）不要有重叠的关系（即线条重叠或称为闭合回路现象）问题3：运动学中如何列出所有的独立的运动关系方程（速度和加速度的）？答：求速度问题，利用待求点、部分信息已知点将系统通过线段串联起来(不要出现闭合回路，否则信息重复利用，会列出线性相关的方程，此时应3选2。)。若是刚体以外的点相对刚体运动，动系应整个固定在刚体上。若是同一刚体上两点，用刚体平面运动知识即可（动系原点固定在刚体上基点上做平动）。1）体现刚体与刚体，刚体与外部的联系。2）不要有重叠的关系（即线条