求解非线性方程组的二分法

1、科技创新导报学术论坛求解非线性方程组的二分法张飞飞马群黄家庆佟晓君（河北理工大学河北唐山；中材建设有限公司北京）摘要：文中给出一种解非线性超越方程组的数值方法，先用二分法原理给出解一个一元方程的流程，继而利用这个流程给出解二元方程组的流程，再推广到元的方程组中。在数值计算过程中，通过对超越方程组的一元化处理，仅利用方程有根区间两端的函数值互为相反数这一特性便可得到方程根，拓展了数值计算的收敛区间，克服了传统解法中初值难以确定的问题。在工程可靠度的计算中，采用本文方法具有独特的优势。关键词：可靠度计算非线性超越方程组二分法数值计算中图分类号：文献标识码：文章编号：（）（）引言在结构可靠度计算过程

2、中，需要运用数值方法求解复杂的非线性超越方程组。大量实践表明，采用传统的梯度法、拟牛顿法等常因不收敛而导致求解失败，原因是这些方法要求在解的收敛区域不仅连续光滑，而且函数和导数具有单调性，这就使得收敛区域被限定在很小的范围内。由于所选择的初值很难进入这个范围内，因此使得结果发散。我们提出了一种依照二分法原理求解多元超越方程组的新方法，由于该方法仅要求有根区间两端的函数值互为相反数的条件，因此收敛区域很大，初值非常容易确定。大量计算表明，当随机变量为非正态分布且极限状态方程高度非线性时，采用本文提出的的方法具有明显的优势。解一元超越方程的二分法设方程为f(x)=0，令f(x)，在区间，上取值，给

3、定精度和步长，从开始取值，求出值，再让增加一个步长，求出f(x+h)值，判断是否小于零，若小于零，则在这个步长内有解，那么二分步长，计算这个步长中点值f(x+h)，若小于给定精度，则此时的步长中点值是方程的解，若不小于给定精度，则判断是否小于零，小于则区间有根，那么把赋值给，即后，再重复判断和二分区间；若大于零，则小于零，那么把赋值给，即，重复判断和二分区间，直到二分的区间小于给定精度，则取区间中点为根，找到满足精度要求的根，找到根之后，在把找跟区间向前推进一步；若大于零，则这个小区间无根，就把区间向前推一步，再重复判断。那么重复以上步骤，直到取值到区间有端点。解的过程的简要流程如下：如图。图

4、解二元超越方程组的二分法设方程组为：（，），（）（，），（）则先令，（，），则方程组变为：（，），（）（，），（）用中介绍的方法解一元方程（），解出，把解出的值代入，求出其函数值，并增加给定元一个步长值，此时方程图科技创新导报学术论坛（）和（）变为：（，），（）（，），（）再用中介绍的的方法解一元方程（），解出，把解出的值代入，求出其函数值，并与前一次的函数值相乘，若乘积小于零，则在的这一个步长中，方程组有解，可用二部分所述二分这个步长的方法求出解集；若大于零，则此步长区间中无解，则增加给定元一个步长值，把求根区间科技创新导报向前推进，重复前面的步骤，直到给定元取值结束。简要的流程图如下：如图

5、。元超越方程组的二分法在给出了用二分法求解一元超越方程和二元方程组的思路之后，我们把求解多元的方程组转化到求解一元方程来达到求解的目的。对于一个有三元的方程组来说，可先给定其中一个元的初值，使方程组变成一个二元的方程组和一个二元方程，然后用部分所述方法解出二元方程组，再把方程组的解集代入剩下的一个方程中，求出其函数值；再增加给定元一个步长值，使方程组变成一个二元的方程组和一个二元方程，然后用部分所述方法解出二元方程组，再把方程组的解集代入剩下的一个方程中，求出这时的函数值，并与前一次的函数值相乘，若乘积小于零，则在这个步长中方程组有解，可用二部分所述方法求出解集；若大于零，则此步长区间中无解，

6、则增加给定元一个步长值，重复前面的步骤，直到给定元取值结束。对于元方程组则是以此类推。解元方程组的流程图如下：如图。结语二分法是一种逐一搜索的方法，运用二分法原理求解多元非线性超越方程组时，由于收敛条件要求很低，初值便于确定，因此对于诸如工程可靠度计算之类复杂问题采用本文方法具有明显的优势。但是随着未知元的增加，搜索的次数会增加的很多，与传统方法相比计算时间会延长，但目前计算机的性能可以解决此类问题。现已编制了计算机应用程序供工程应用。参考文献魏毅强数值计算方法北京：科学出版社，刘永强等编，算法语言与计算方法基础科学出版社，工程中的数值方法北京：科学出版社，数值分析版北京：高等教育出版社，罗坚

7、等语言程序设计北京：中国铁道出版社，图（上接页）重要地位和协助职能。在精忠庙庙首的协助下，确保民间行会及戏曲活动的有序、正常运行。精忠庙庙首的一项重要职责就是负责处理行会内部、外部纷争，及违犯行规等日常事件，借以维护和确保戏行内部及民间戏班、戏园演出活动的正常、有序进行。此仅光绪十五年京城梨园两件大事的处理上，即可看出精忠庙庙首在行内的权威性，及职权行使的有效性。“御使轿夫、家奴庆和园兹事，梨园公愤罢演七天”光绪十五年七月二十一、二十二日，左御使许应騤和副都御使杨颐家中轿夫、家奴张大顺、张文纪等数人，在大栅栏庆和园戏园肆意兹事，还仗势伙同巡城御使、中城坊官正指挥等人私自封闭庆和园，斥责戏园卯头

8、，当即引起周边各处戏园、戏班同僚的一致不满。经孙菊仙、杨月楼等诸庙首、戏园园主、戏班班主及各界票友、友人共议，决定不能纵容此事。遂京城梨园决定罢演七天，以表斗争之决心。罢演之前，精忠庙共集钱四千八百余吊发放于民间各班，用以罢演期间艺人糊口。罢演规模之大，气势之高，振动京师，甚至得到了孝钦皇后（慈禧）的重视。其下令着吊赏银九千六百吊补于艺人，牵涉班社每班约获赏银一千二百吊。并勒令许应騤、杨颐二人即刻查办相关责任人，于庆和园门前示众十日，以示惩戒。精忠庙几位庙首在此事件中，借助多方的合作和配合，凭借行会内部的团结和自身的果断与机智，妥善的处理了此次冲突，控制了混乱的局面。不仅圆满解决了问题，亦向世人证明了梨园公会内部的团结与力量和对梨园事务的有效管理。参考文献周明泰清昇平署存档事例漫抄北京：几礼居戏曲丛书第四种，中华民国二十二年朱希祖整理昇平署档案记北京：北平燕京大学出版，民国二十年王芷章清昇平署志略北京：国立北平研究院史学研究会出版，中华民国二十六徐兰沅、唐吉徐兰沅操琴生活北京：中国戏剧出版社，（清）吴长元宸垣识略北京：北京古籍出版社，赵翼檐曝杂记北京：中华书局，年中国人民政治