概率论讲义 第三章多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见, 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.第一节 二维随机变量一、二维随机变量的分布函数 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X, Y)称为二维随机向量或

2、二维随机变量.一般地, (X, Y)的性质不仅与X有关, 与Y有关, 而且还依赖于X、Y的相互关系, 因此必须把(X, Y)作为一个整体来研究. 首先引入(X, Y)的分布函数的概念.定义 设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数F(x, y) = P(X £ x)(Y £ y)= PX £ x, Y £ y称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和y的联合分布函数.分布函数F(x, y)表示事件(X £ x)与事件(Y £ y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X,

3、Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y)落在矩形区域x1 < X £ x2, y1 < Y £ y2的概率为Px1 < X £ x2, y1 < Y £ y2 = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)与二元函数类似, 二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:1° F(x, y)是变量x和y的单调不减函数

4、, 即当x1 < x2时, F(x1, y) £ F(x2, y); 当y1 < y2时, F(x, y1) £ F(x, y2).2° 0 £ F(x, y) £ 1, 且F(-¥, y) = 0, F(x, -¥) = 0, F(-¥,-¥) = 0, F(+¥,+¥) = 1.3° F(x, y)关于x和y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4° 对任意的(x1, y1)、(x

5、2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) ³ 0.注: 二元分布函数具有性质1° 4°, 其逆也成立(2°中0 £ F(x, y) £ 1可去), 即若二元实值函数F(x, y)(x Î R, y Î R)满足1° 4°, 则F(x, y)必是某二维随机变量的(X, Y)的分布函数. 其中4°是必不可少的, 即它不能由1° 3°推出(除去0 £

6、; F(x, y) £ 1).二、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).记PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )则由概率定义有 pij ³ 0; .我们称PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表

7、格表示. 其分布函数为=这里表示对一切xi £ x, yj £ y的那些指标i、j求和.例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X、Y的联合分布律与分布函数.解: (X, Y)的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.同理, 有 PX = 2, Y = 1= , PX = 2, Y = 2=.即(X, Y)的分布律如右表所示. 当x <

8、; 1, 或y < 1时, Fx, y = 0;当1 £ x < 2, 1 £ y <2时, Fx, y = 0;当1 £ x < 2, y ³ 2时, Fx, y = ;当x ³ 2, 1 £ y <2时, Fx, y =;当x ³ 2, y ³ 2时, Fx, y = 1.所以, (X, Y)的分布函数为三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X, Y)的分布函数为Fx, y, 若存在非负函数f (x, y), 使对任意的x、y有，则称(X, Y)为连续型的二维随机变量, f (x,

9、 y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度, 或称随机变量X、Y的联合概率密度.概率密度f (x, y)具有以下性质:1° f (x, y) ³ 0;2° 3° 若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有4° 设G是xOy平面上的一个区域, 则点(X, Y)落在G内的概率为 (2)例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为求: (1) 系数A; (2) 分布函数F(x, y); (3) 概率P(X, Y)ÎD, 其中D: x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.解: (1)

10、由, 得.(2) =(3) .例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 , 求PY ³ X.解: PY ³ X=.以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n(n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E是一个随机试验, 它的样本空间为S, 设X1、X2、Xn是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个n维向量(X1, X2, , Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数x1、x2、xn, n元函数F(x1, x2, , xn) = PX1 £ x1, X2 £ x2, , Xn £ xn称为n维随机变量(X1, X

11、2, , Xn)的分布函数或随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.第二节 边 缘 分 布设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为F(x, y), 事件X £ x即为 X £ x, Y < +¥, 从而由(X, Y)的分布函数可定出X的分布函数, 记为FX (x).FX (x) = PX £ x = P X £ x, Y < +¥ = F(x, +¥)=.我们称FX (x)为关于X的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y的边缘分布函数为FY (y) = PY 

12、3; y = PX < +¥, Y £ y= F(+¥, y) = .一、离散型设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ), 则, .从而X与Y的分布律分别为, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, ;记, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .分别称pi ×和p× j为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律.注: 1° 边缘分布律具有一维分布律的一般性质.2° 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.例1 一袋中装

13、有3只黑球和2只白球, 分别采用有放回与不放回摸球两种方式. 若设求(X, Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律.解: 有放回不放回边缘分布律经常写在联合分布律的边缘, 这就是为什么称为边缘分布律的缘由.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y), 由;.知X与Y都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为;.称fX (x)与fY (y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度.例2 设D是平面上的有界区域, 其面积为A, 若二维随机变量(X, Y)的概率密度为则称(X, Y)在D上服从均匀分布.现(X, Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边

14、缘概率密度.解: 由, 得A = p.当|x| < 1时, ; 当|x| ³ 1时, fX (x) = 0, 即同理可得, 例3 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 .其中m1、m2、s1、s2、r 都是常数, 且s1 > 0, s2 > 0, -1 < r < 1. 我们称(X, Y)为服从参数为m1、m2、s1、s2、r的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. 解: 令m = .所以, =.令, 则, 从而,.所以, (). 同理可得, ().表明, , . 此例说明, 二维正态随机变量(X, Y)中的X、Y都服从正态分布, 并且与

15、参数r 无关. 所以对于确定的m1、m2、s1、s2而取不同的r, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X和Y的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道, 两事件A、B相互独立的充要条件是P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义 设F(x, y)及FX (x)、FY (y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、y, 有 PX £ x, Y £ y = PX £ x PY £

16、; y, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)则称随机变量X和Y是相互独立的. 可见, 在随机变量X和Y相互独立的情况下, 由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数, 而且还可推得= FY (y) = PY £ y.这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.一、离散型 设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .则X和Y相互

17、独立的充要条件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij = (2) 例1 设(X, Y)的联合分布律为证明: X和Y相互独立. 例2 设X和Y相互独立, 且分别具有分布律X-2-10Y13pkpk试写出(X, Y)的联合分布律.二、连续型 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y), 关于X和Y的边缘概率密度为fX (x)和fY (y), 则X和Y相互独立的充要条件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)(3)几乎处处成立. 例3 设(X, Y)服从二维正态分布, 即其联合概率密度为 .证明: X和Y相互独立的充要条件

18、是r = 0. 例4 若(X, Y)的联合概率密度为则X和Y相互独立. 证: 显然 故有f (x, y) = fX (x) fY (y). 从而X和Y相互独立. 例5 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在0, 0.2上服从均匀分布, Y的概率密度为试求: (1) X与Y的联合概率密度;(2) PY £ X. 解: (1) 由已知条件, 得 从而得X与Y的联合概率密度为 (2) PY £ X= PY - X, 积分区域如图, 化成二次积分后得.以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n维随机变量的情形.设n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为F(x1, x2, , xn)