曲率度量在医用非线性模型确定中的应用

1、    曲率度量在医用非线性模型确定中的应用        摘要：用曲率度量的方法选取较佳的医用非线性模型，使得非线性模型中的参数能够以较快的速度收敛于最小二乘估计。关键词：固有曲率参数效应曲率非线性模型最小二乘估计中分类号： O 242.1文献标识码：A文章编号：1004-4337(2000)05-0390-02人们在确定非线性模型时，常利用变量代换的方法把非线性模型转化为线性模型，或者改进对模型的拟和方法。近些年来，用微分几何的方法来处理统计中的问题，引起了统计界的广泛关

2、注。其中有1980年Bates和Watts定义的反映非线性模型本质的曲率度量1。他们把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性。他们的研究表明，绝大多数模型的固有非线性是可以接受的，一般地都有较高的参数效应非线性。由于参数效应非线性越高，应用最小二乘法求参数估计就越困难，因此寻找和确定低参数效应非线性的模型非常必要。因为这样的模型线性性态较好，Gauss-Newton迭代法会很快收敛于最小二乘估计2。这就使得为了得到参数估计而发展起来的各种复杂方法都不需要了。1模型参数的最小二乘估计由试验变量xi(i=1,2,n)和响应变量yi(i=1,2,n)所组成的数据分析中，假定我们所建立的模型为

3、：yi=f(xi,)+i(1)其中为待估的P维参数向量，f(xi,)是非线性函数，i为可观测的随机误差。假定它的数学期望E(i)=0，方差Var(i)=2，则(1)式的向量形式为：Y=()+(2)其中()=f(X,),为n维向量。在n维空间Rn中，()可看作一个关于的参数方程。向量的终点轨迹一般为P维曲面，称为解轨迹，记为F。求解将得到的最小二乘估计。2模型非线性强度的度量Bates和Watts从微分几何观点出发，把模型的非线性强度分为固有非线性和参数效应非线性，定义了相应的曲率度量，即固有曲率和参数效应曲率。从几何观点看，模型的固有曲率是解轨迹F在某一点沿着某一方向的法向曲率，它是一个不变量

4、，与参数的选择无关；参数效应曲率是在同一点的切向曲率，它依赖于坐标系的选择，即与参数的选择有关。具体来说，设在解轨迹上点0处取一方向h，通过0的任意一条直线可以用几何参数b表示为(b)=0+bh,其中h(h1,h2,hp)?，这条直线产生解轨迹上的一条曲线为h(b)=(0+bh),沿着h方向的前两阶导数分别为：其中T分别为h的法分量和切分量，则沿h方向的固有曲率和参数效应曲率分别定义为：把沿一切方向最大固有曲率记为KN，最大参数效应曲率记为KT。KN=maxhKhN，KT=maxhKhT。关于这两个曲率的详细推导和计算机程序见文献1，2。3实例分析为了研究在高压氧的条件下工作人员的生理反应特点

5、，在高压氧仓内作了某项试验。表1给出了试验中得到的三组原始记录的数据。根据对试验数据的散点的初步分析，选取模型函数的形式为：Y=-x(3)对于数据组1、2、3，表2给出了固有曲率KN的值和参数效应曲率Kh的值。与曲率度量有关的临界值为,其中F=F(p,n-p;)是从对应于水平为的F分布表中得出的。若,则认为KN和Kh是可以接受的。表2中给出了在水平=0.05时的临界值。由表2可见，(3)式的固有曲率值是可以接受的，但具有显著的参数效应非线性。当参数效应曲率较大时，可以采用参数变换，选取适当参数，使参数效应曲率降低到可以接受的程度2。(3)式的重新参数化有多种方式，下面给出两种常用的模型函数：y

6、=-exp(-x)(4)(5)表1试验原始记录的数据组数据组1数据组2数据组3XYXYXY39.1112.327.1513.0220.147.0613.7429.659.6816.9529.669.7917.4633.4813.21020.0735.01014.21120.8834.71216.51221.9934.81419.11423.81036.71518.01525.61235.31619.21625.91335.91819.31827.31538.02023.01927.61737.22223.62029.51837.02423.52229.51936.92526.52431.421

7、36.52626.62532.12237.52826.52631.62436.03027.22833.52737.03227.63033.23037.23430.13233.83337.63528.23435.03637.33628.13635.43837.03830.03835.84036.24032.64035.84137.94233.34236.04236.54432.14437.24536.94531.74637.04737.14631.24837.14837.24834.05037.55037.45033.4对于数据组1、2、3，模型(3)、(4)的固有曲率和参数效应曲率见表2。由表

8、2可知，对模型(3)重新参数化后，(4)的参数效应曲率不但没有减小，反而增大了，因此该模型不可取。而对每一组数据，(5)的参数效应曲率相对来说是最小的。虽然在统计意义下它仍然有显著的非线性，但是(5)的非线性强度比(3)和(4)都明显减小了。当固有曲率可以接受时，参数效应曲率越小，模型就越接近线性性态。对于线性性态好的非线性模型，根据Bates和Watts的研究表明，这样的模型，它的最小二乘估计可以通过Gauss-Newton迭代法获得。非线性模型在性态上与线性模型越接近，得到LS估计所需迭代的次数越少，甚至对于远离LS估计的任意初始估计值也是这样。与此相反，性态不好的模型根本不能收敛到LS估

9、计，除非取得了很好的初始估计(即与LS估计很靠近的初始估计)。 表2模型的固有曲率和参数效应曲率数据组固有曲率(KN)模型函数的参数效应曲率(Kh)临界值(3)(4)(5)10.2460.6410.6980.6050.29120.1940.3980.4130.3820.29130.2581.6422.0521.5790.291对模型(5)用Gauss-Newton迭代法很容易得到这三组数据相应的最小二乘估计，见表3。 表3模型(5)的参数LS估计和数据组10.02587936.247460.935960.2272420.02690035.063640.697630.5165530.02637634.241830.961041.13652车文（中国医科大学数学教研室沈阳110001） 参考文献1，Bates,D.M.and