应用扩展F_展开法求解非线性薛定鄂方程

1、23卷第1期应用扩展F展开法求解非线性薛定鄂方程何晓莹（广西工学院信息与计算科学系，广西柳州545006）摘要：考虑非线性薛定鄂方程的行波解，对方程进行行波变化，把求解偏微分方程转化为求解常微分方程.通过应用扩展F-展开法，获得了非线性薛定鄂方程的精确行波解.关键词：非线性薛定鄂方程；扩展F展开法；精确行波解中图分类号：O17529文献标志码：A0引言自然科学领域中很多问题的数学模型，最终可用非线性演化方程（组）来描述由于这类方程的解析解对于洞察这些问题的物理本质具有很重要的意义；因此，寻求非线性演化方程的孤子解一直是物理学和数学工作者的重点课题人们已经提出了许多方法，如齐次平衡法、Darbo

2、ux变换法、Hirota双线性变换法、Exp函数法、tanh函数法等1-4本文通过利用扩展的F展开法来求解非线性薛定鄂方程i（ut+uy）-uxx+uv=0vt-2（u2）x=0!（1）1行波约化及方程求解令11行波约化u（x，y，t）=eiU（），v（x，y，t）=V（），=px+qy+rt，=kx+cy+dt方程（1）化为（2）!i（d+c-2pk）U+（p2-r-q）U+UV-k2U=0dV-4kUU=0d+c-2pk=0，-k2U+（p2-r-q）U+UV=0（3）由（3）第一个方程得（4）（5）（6）由（3）第二个方程可得V=2KU2带入（5）化为-k2dU+d（p2-r-q）U+2

3、kU3=012利用扩展F展开法求解（7）收稿日期：20110815基金项目：广西工学院自然科学基金项目（院科自0977104）；广西自然科学基金项目（2011GXNSFAO18137；广西区教育厅科研立项项目（201010LX250）资助作者简介：何晓莹，讲师，理学硕士，研究方向：微分方程，Email：hexiaoying0331yahoocomcn第1期何晓莹：应用扩展F展开法求解非线性薛定鄂方程83设U（）可表示为F（）的有限幂级数：U（）=a0+aiFi（）+biFi（）F（）i=-ni=-nnn（8）F（）满足Riccati方程：（9）F（）+A+BF（）+CF2（）其中an0，ai（

4、i0，1，2，n），A，B和C为待定常数通过平衡方程（7）的最高阶导数U与最高非线性项U3得到n=1从而方程（7）的解一般表示式为：（10）U（）=a-1F-1（）+a0+a1F（）+b-1F-1（）F（）+b1F（）F（）将（10）带入方程（7），整理成为F（）的展开式，并令F（）的各幂次项的系数为0，得到关于a-1，a0，a1，b-1，b1，p，q，r，k，c，d的代数方程组，借助Maple软件解方程组得到3组情形：情形1：当A=0时，方程组有如下解：22222222，k=k，p=p，q=k2B2+p2-r，r=r，a-1=0，a0=（），c=2，d=2kCkC22Ca1=a1，b-1=b

5、-1，b1=0.情形2：当B=0时，方程组有如下解：22222222，d=，k=k，p=p，q=-2Ak2C+p2-r，r=r，a-1=a-1，a0=0，a1=-b-1C，c=22kAkAb-1=b-1，b1=0.情形3：当A=0，B=0，C0时，方程组有如下解：22222222，k=k，p=p，q=p2-r，r=r，a-1=0，a0=0，a1=a1，b-1=b-1，b1=0.c=2，d=2kCkC将以上各解带入（10），并结合（2）进行分析可得精确行波解方程的类孤子解如下：（I）当A=0，B=1，C=-1，则F（）=+tanh（），可得222sech（）2，u1（）=eia0+a12+2ta

6、nh（2）+b-11+tanh（）2sech2（）u1（）=a0+a12+2tanh（2）+b-1d1+tanh（）222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=-a+2ba-b+2pk，22d=a1-2b-1a1+b-1，q=1k2+p2-r，a0=a1+b-1，k，p，r，a1，b-1为任意常数（II）当A=0，B=-1，C=1，则F（）=1+1coth（），可得csch2（）11，u2（）=eia0+a1+tanh（）+b-11-coth（）22csch（）11u2（）=2ka0+a1-coth（）+b-11-coth（）222842广西工学院学报22第23卷其中=px+qy+r

7、t，=kx+cy+dt，c=，k22d=，q=1k2+p2-r，a0=，k，p，r，a1，b-1为任意常数k（III）当A=1，B=0，C=-1，则F（）=coth（）±csch（），则或F（）=tanh（）±isech（）可得a+bcoth（）csch（），u3（）=ei（）（）2u3（）=2k或者a+bcoth（）csch（）coth（）±csch（）u3*（）=ei·（）（）+，tanh（）±isech（）tanh（）±isech（）2u3*（）=2ka+b（）（）222·（）（）tanh（）±isech（）

8、2其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22，q=k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数d=2k（IV）当A=1，B=0，C=-1，则F（）=tanh（）或F（）=coth（），可得u4（）=ei（a-1+b-1）coth（），2v4（）=（a-1+b-1）coth（）d或者u4*（）=ei（a-1+b-1）tanh（），2（a-1+b-1）tanh（）v4*（）=d222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22，q=2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数d=k方程的三角函数解如下：（V）当A=，B=0，C=，则F（）=sec（）+t

9、an（）或F（）=csc（）-cot（），22可得u5（）=eiv5（）=d或者，2sec（）-tan（）2a-1-b-1（）（）2u5*（）=ei，2sec（）-cot（）v5*（）=csc（）-cot（）d2222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k2第1期何晓莹：应用扩展F展开法求解非线性薛定鄂方程8522d=，q=1k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数2k（VI）当A=-1，B=0，C=-1，则F（）=sec（）-tan（）或F（）=csc（）+cot（），可得2a-b，u6（）=ei2sec（）-tan（）v6（）=2kd或者2sec（）-tan（）2

10、u6*（）=ei*62a-b，2csc（）+cot（）v（）=2kcsc（）+cot（）d2222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=-4a+4ab-b+2pk，k224a-4ab+b，q=-1k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数d=（VII）当A=1（-1），B=0，C=1（-1），则F（）=tan（）或F（）=cot（），可得u7（）=ei（a-1+b-1）cot（），2（a-1+b-1）cot（）v7（）=2kd或者2，u7*（）=eia-1tan（）-b-12cot（）+tan（）v7*（）=a-1tan（）-b-12cot（）+tan（）d222其中=px

11、+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22d=，q=-2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数k2方程的有理函数解如下：，R为任意常数，可得C+Ru8（）=ei（），C+R2v8（）=2k（a-bC）dC+R22222-a-2baC-bC+2pkC其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，2222C，q=-2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1为任意常数d=a+2baC+b（VIII）当A=0，B=0，C0，则F（）=2结论论文利用扩展的F展开法求解了非线性薛定鄂方程，得到其精确解此方法不像原有的F展开法以得到Jacobi椭圆函数解为出发点，而是以直接得到物理意

12、义深刻的类孤子解和三角函数解等为出发点，使得应用更加广阔，其中不乏一些用其他方法没有得到的新的精确解，这对方程的研究会有一定积极的意义（下转第91页）第1期吴卫红：红外光谱研究十八胺、硬脂酸及氘代硬脂酸LangmuirBlodgett膜相变行为91filmofoctadecylamineJLangmuir，2000，16:661366215KRay，HNakaharaAdsorptionofsulforhodaminedyesincationicLangmuirBlodgettfilms：spectroscopicandstructuralStudiesJJPhysChemB，2002，106

13、:921006VPatil，MSastryFormationofclosepackedsilvernanoparticlemultilayersfromelectrostaticallygrownoctadecylaminecolloidnanocompositeprecursorsJLangmuir，2000，16:22072212InfraredspectroscopystudyonthephasebehavioroftheLangmuirBlodgettfilmsofoctadecylamine，stearicacidanddeuteratedstearicacidWUWeihong（D

14、epartmentofBiologicalandChemicalEngineering，GuangxiUniversityofTechnology，Liuzhou545006，China）Abstract：11monolayerLBfilmsofoctadecylamine，stearicacidanddeuteratedstearicacidwereprepared，andthephasebehaviorsofthethreekindsofLBfilmswereinvestigatedbyvariabletemperatureFTIRtransmissionspectroscopyItwas

15、found：thephasetransitionoftheoctadecylamineLBfilmsundergoesinthelongandlowtemperaturerangeof5575，andthefrequenciesoftheCH2symmetricandantisymmetricstretchingmovetohighenergyareasuccessively；theobviousorderdisordertransitionofthealkylchainsinthestearicacidLBfilmsproceedsinthenarrowtemperaturerangeof7

16、080，theCH2stretchingfrequenciesandintensityratioofa（CH2）tos（CH2）changesnotably；phasebehaviorofdeuteratedstearicacidLBfilmstakesplacebetween6575，especiallyinthetemperaturerangeof6570，thephasetransitionisremarkableKeywords：infraredspectroscopy；octadecylamine；stearicacid；deuteratedstearicacid；LangmuirB

17、lodgettfilms；variabletemperature；phasebehavior（责任编辑李彦青）!（上接第85页）参考文献1WangMLThesolitarywavesolutionsforvariantBoussinesqequationsJPhysLettA，1995，199（3）：1671722HeJH，WuXHExpfunctionmethodfornonlinearwaveequationsJChaosSolitonsFract，2006，30（3）：7007083施业琼，韩松修正的藕合KadomtsevPetviashvili方程的精确解J广西工学院学报，2008，19（1）：9124施业琼应用展开法求解高阶非线性薛定谔方程J广西工学院学报，2009，20（3）：4548TheextendedFexpansionmethodtosolvethenonlinearequationsHEXiaoying（DepartmentofInformationandComputingScience，GuangxiUniversityofTechnology，Liuzhou545006，China）Abstract：WestudythetravellingwavesolutionsforthenonlinearSchrdingerequationsWefirstc