人教版九年级数学圆242 点和圆直线和圆的位置的关系切线长定理讲义

1、合作探究探究点1 直线与圆的三种位置关系及实际应用知识讲解 (1)直线和圆的三种位置关系:相离:一条直线和圆没有公共点.相切: 一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.相交:一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设的半径为,圆心到直线的距离为.直线和相交；直线和相切；直线和相离.注意 要判断一条直线与圆的位置关系有两种方法:一看直线与圆的公共点的个数;二看圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系.典例剖析例1 如下图，在中，以为圆心，为半径的圆与直线有何位置关系？为什么？（1）

2、；（2）；（3）.解析 过作,垂足为，求出的长，比较与的大小即可判断与直线的位置关系.答案 如图，过作于.在中，则.又,所以.即,所以.（1） 当时，与直线相离.（2） 当时，与直线相切.（3） 当时，与直线相交.类题突破1 的半径为，圆心到直线的距离为，且是方程的两根，则直线为的位置关系是_.答案 相交或相离点拨 方程的两根为，或.当时，直线为相交；当时，直线为相离.探究点2 切线的判定定理知识讲解（1） 定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2） 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线.典型剖析

3、例2 如下图，是的直径，点在的延长线上，点在圆上，直线是的切线吗？为什么？解析 运用切线的判定方法，连接，说明答案 如图，连接是的直径，且，即为等边三角形，又.根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线可知直线是的切线.规律总结 若已知一直线经过圆上某一点，那么连接这点和圆心，说明该直线与半径垂直即可判定该直线与圆相切.类题突破2 如下图，为平分线上一点，于、为圆心、为半径作.求证：与相切.答案 如图，过作于.又为平分线上一点，,即点到的距离等于的半径.与相切.点拨 如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径，从而证明直线为圆的切线.这是证明切线的另一

4、种情形.要证与相切，只需证明点到的距离等于半径即可.探究点3 切线的性质定理知识讲解(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:a.直线过圆心;b.直线过切点;c.直线与圆的切线垂直.典例剖析例3 如下图,是的直径,为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为,求证:平分.解析 是的切线，连接，则,再结合,问题即可解决.答案 如图，连接. 是的切线,又，,即平分.类题突破3 如图，是的两条切线，是切点，连接，与直线交

5、于,请你根据圆的对称性，写出中的三个正确的结论.结论（1）：_;结论（2）：_;结论（3）：_;答案 （1）是等腰三角形 （2）是轴对称图形 （3）平分（4）垂直平分线段等（只写三个即可）点拨 根据切线定理和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到结论.探究点4 切线长定理知识讲解圆的切线长:定义:经过圆外-点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，注意:切线长不是切线的长度，圆的切线是直线，无法度量长度.典例剖析例4 如下图所示，是的切线，切于点,交于点，交于点，若,试求的周长.解析

6、 过圆外一点引圆的两条切线很容易得出,求的周长也就转化为求的长.答案 根据切线长定理,所以的周长为类题突破4 如图所示，四边形的边和分别相切于点.求证：答案 因为都与相切，是切点，所以所以,即点拨 直接利用切线长定理，得出，进而得出结论.探究点5 三角形的内切圆知识讲解与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.注意 任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.典例剖析例5 如图所示，已知的内心为点,求的大小.解析 此例容易混淆了内心和外心的概念，把点当成了的外心

7、,要注意把内心和外心这两个概念区分开来:三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，它是三角形三个内角的平分线的交点，三角形的外心是三角形的外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。答案 因为点为的内心，所以,所以.又因为，所以,所以.类题突破5 如右图所示，是的内切圆，为三个切点，若，则的度数是（ ）A. B. C. D.答案 A重点难点重难点1 直线和圆的位置关系的判定及性质设的半径为，圆心到直线的距离为,直线和相交，直线和 相切，直线和相离.(1)“”左边是直线和圆的位置关系，右边是圆心到直线的距离与半径的大小关系;(2)直线和圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的大小关系是一一对应的;

8、(3)从左边推出右边是直线和圆的位置关系的性质，从右边推出左边是直线和圆的位置关系的判定.例1 已知的圆心到直线上一点的距离等于的半径，则直线和的位置关系是_.解析 要判断直线和的位置关系，必须先弄清的圆心到直线的距离与半径的大小关系，此题有两个可能:一是直和相切;二是直线和相交.答案 相切或相交易错警示 区分开的长度不一定是圆心到直线的距离.类题突破1 在 中，为边上一点（不与点重合），的半径，则在什么范围内取值时，直线与相交?相切?相离?思路图示 过圆心作垂线计算OD的长比较OD的长与r的大小关系结论答案 如图，过点作于点，则.当，即时，直线与相交；当，即时，直线与相切；当，即时，直线与相

9、离.重难点2 切线的判定定理与性质定理的应用(1)在应用判定定理时注意:切线必须满足两个条件: (i)经过半径的外端;(ii)垂直于这条半径，否则就不是圆的切线，切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的，在判定条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单地说成“无交点，作垂线段，证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。(2) 在应用性质定理时应注意:切线和圆只有一个公共点

10、;圆心到切线的距离等于半径;经过圆心并垂直于切线的直线必过切点;经过切点并垂直于切线的直线必过圆心.例2 如图所示，已知中，以为直径作，交于，交于，过作于.（1） 求证：是的切线；（2） 求四边形的面积.解析 （1）由题意知，与有公共点，故只需证即可.（2)用,得.答案 (1)如图，连接.是的直径，.又，又.又.即是的切线.（2）在中,.设,则,即，解得规律总结在切线的三种判定方法中，常用的有两种;当题目中未出现直线与圆的公共点时，一般过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径;当题目中出现了公共点时，往往连接该点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可，类题突破2 直线切于点,为的任一条直径，点

11、在直线上，且与不在同一条直线上),画出图形，试判断四边形是怎样的特殊四边形，证明你所得到的结论。答案 如图(1)，当与直线不平行时，四边形是直角梯形证明如下:在中,又，与直线相切于点，又与直线不平行，四边形为直角梯形.如图(2),当时，四边形是正方形，证明如下:同(1)可证得.，四边形为矩形，又,四边形为正方形.点拨 本题可根据题意先画出与它的切线,再画直径,最后根据来确定点的位置，在探索四边形的形状时，可转动直径,画出几个不同位置的图形进行观察和猜想，发现在一般情况下，四边形是直角梯形，而当时，四边形就变成了正方形，所以在解题时须分两种情况进行分类讨论。重难点3 切线长定理的应用(1)切线长

12、要与切线区别开，切线是直线，不可以度量;切线长是切线上一条线段的长，可以度量，不要理解为切线长就是切线的长度.(2)经过圆外一点，可以作两条直线与该圆相切.(3)切线长的性质与切线的性质联系非常密切，切线的所有性质仍然适合切线长.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:垂直关系三处;全等关系三对;弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.例3 如图，都为的切线，切点分别为，则（1）求的周长；（2）求的度数.解析 (1)根据切线长定理得到,于是得到,即可得到结论;(2)根据切线的性质得到,根据四边形的内角和得到,即可得到结论.答案 (1)都为O的切线，即的周长为12.(2)如图，连接OF.分别切

13、0于A、B、F三点，类题突破3 如图所示，为外一点,切于切于是直径,请问:与平行吗?为什么?答案 平行，理由:连接AB交OP于D.为的切线，是直径，,易错指导易错点1 判断直线和圆的位置关系时出错例1 的圆心到直线的距离为,的半径为,若,是方程的两个实数根，则直线和的位置关系是_.错解 相交错因 分析产生错解的原因是判断直线和圆的位置关系时考虑问题不全面，求出一元二次方程有两个不相等的实数根，所以判断相交，而没有考虑到,的值有两种情况.正解 相交或相离纠错心得 在解决问题的过程中，要注意分类讨论，对直线与圆的位置关系进行正确判断.易错点2 对三角形的外心、内心、垂心的概念混淆而导致出错例2  在中，若，点分别为的内心外心、垂心时，则的度数分别为_.错解  80°,80°,80°错因分析 不能正确理解三角形的外心、内心、垂心的概念，正解  110°,80°,140° 纠错心得 要注意三条角平分线的交点叫做三角形的内心;三条边垂直平分线的交点叫做三角形的外心;三条高线的交点叫做三角形